Limites de fonctions — Exercice 19

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\left(x^2+2x+2\right)\text{e}^{-x}.\]

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. On sait que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe.

   Donner le tableau de variation de \(f\).

3. Dans un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\), unité graphique 2 cm, on note \(C'\) la représentation graphique de \(f\).

   1. Déterminer une équation cartésienne de la tangente \(T\) à \(C'\) au point \(\Omega\) d’abscisse \(-1\).

   2. Tracer avec soin la courbe \(C'\) et la tangente \(T\) dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).