Limites de fonctions — Exercice 32

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=\dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}-3\text{e}^{-3x}.\] On nomme \(\mathcal C_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), on a : \[f(x)=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right).\]

2. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) puis la limite de \(f\) en \(-\infty\).

3. Étudier les variations de la fonction \(f\) et dresser le tableau de variations de \(f\).

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe \(\mathcal C_f\) avec les axes du repère.

5. Calculer \(f(1)\) et tracer l’allure de la courbe \(\mathcal C_f\).