Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 33
D1 — BAC — sujet officiel
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=x+2-\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x+3}.\] On désigne par \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
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Se connecterDéterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
Démontrer que la droite \(\mathcal D_1\) d’équation \(y=x+2\) est asymptote à la courbe \(\mathcal C\).
Étudier la position de \(\mathcal C\) par rapport à \(\mathcal D_1\).
On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\). Calculer \(f'(x)\) et montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \[f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x-3}{\text{e}^x+3}\right)^2.\]
Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
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Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=x+2-\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x+3}.\] On désigne par \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).
Démontrer que la droite \(\mathcal D_1\) d’équation \(y=x+2\) est asymptote à la courbe \(\mathcal C\).
Étudier la position de \(\mathcal C\) par rapport à \(\mathcal D_1\).
On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\). Calculer \(f'(x)\) et montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \[f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x-3}{\text{e}^x+3}\right)^2.\]
Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
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