Limites de fonctions — Exercice 34

Soit \(n\) un entier naturel. On note \(f_n\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par : \[f_n(x)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{1+\text{e}^{-x}}.\] On note \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthogonal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), les courbes \(\mathcal C_n\) ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

2. Étude de la fonction \(f_0\).

   1. Étudier le sens de variation de \(f_0\).

   2. Préciser les limites de \(f_0\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

3. Étude de la fonction \(f_n\) pour \(n\geqslant 2\).

   1. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) et pour tout nombre réel \(x\), on a : \[f_n(x)=\dfrac{1}{\text{e}^{nx}+\text{e}^{(n-1)x}}.\]

   2. Étudier les limites de la fonction \(f_n\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

   3. Calculer la dérivée \(f'_n(x)\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(f_n\) sur \(\mathbb{R}\).