Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 35
D1 — BAC — sujet officiel
À tout entier naturel \(n\) non nul, on associe la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f_n(x)=\frac{4\mathrm{e}^{nx}}{\mathrm{e}^{nx}+7}.\] On désigne par \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthonormal.
Étude de la fonction \(f_1\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_1(x)=\dfrac{4\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+7}\).
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Se connecterVérifier que, pour tout réel \(x\), \[f_1(x)=\frac{4}{1+7\mathrm{e}^{-x}}.\]
Démontrer que la courbe \(\mathcal C_1\) admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
Démontrer que la fonction \(f_1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(0<f_1(x)<4\).
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À tout entier naturel \(n\) non nul, on associe la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f_n(x)=\frac{4\mathrm{e}^{nx}}{\mathrm{e}^{nx}+7}.\] On désigne par \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthonormal.
Étude de la fonction \(f_1\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_1(x)=\dfrac{4\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+7}\).
Vérifier que, pour tout réel \(x\), \[f_1(x)=\frac{4}{1+7\mathrm{e}^{-x}}.\]
Démontrer que la courbe \(\mathcal C_1\) admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
Démontrer que la fonction \(f_1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(0<f_1(x)<4\).
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