Limites de fonctions — Exercice 36

On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \[f(x)=\frac{1}{x^2}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}.\] On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal.

1. Étude des limites.

   1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(0\).

   2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

   3. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats pour la courbe \(\mathcal C\) ?

2. Étude des variations de la fonction \(f\).

   1. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction \(f\) s’exprime, pour tout réel \(x\) strictement positif, par \[f'(x)=-\frac{1}{x^4}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(2x+1).\]

   2. Déterminer le signe de \(f'\) et en déduire le tableau de variation de \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).