Ce cours apprend à lire et à calculer des coordonnées, à déterminer une longueur ou un milieu, puis à démontrer un alignement ou un parallélisme. Les définitions donnent le sens ; les démonstrations expliquent pourquoi les résultats fonctionnent ; les méthodes indiquent quand et comment les employer.

Il s’adresse à la classe de Seconde générale et technologique, pour l’année scolaire 2026–2027. Le parcours suppose les premières notions de vecteur, les propriétés géométriques du collège et le calcul numérique et littéral ; chaque unité rappelle localement les outils dont elle a besoin.

Les équations et les représentations analytiques des droites relèvent de l’unité suivante : elles ne sont pas utilisées ici. Les deux prolongements de l’unité 10 sont facultatifs ; ils ne constituent pas un passage obligé pour comprendre le cours principal.

Pour apprendre : lire le rappel et faire le repérage bref ; étudier l’exemple en cachant la ligne suivante ; essayer le guidage puis la tentative avant de regarder la correction. Les corrections restent complètes même lorsque l’aide de l’énoncé diminue.

Pour réparer : identifier la première erreur, lire le rappel ciblé et l’exemple plus simple du bloc Reprise, refaire le nouvel essai, puis revenir au calcul initial.

Pour retrouver rapidement : utiliser le sommaire cliquable et la synthèse finale. Chaque grande unité rassemble son contexte, ses conditions, ses exemples et ses corrections ; les petits encadrés ne sont pas conçus comme des cours isolés.

Lors d’une autre séance, tenter la tâche « À reprendre plus tard » avant relecture. Les indications de reprise sont des propositions de travail : elles ne supposent pas que tu as déjà réussi.

Une définition fixe le sens d’un mot ou d’une notation ; on ne la démontre pas. Une propriété, une proposition ou un théorème énonce un résultat à justifier : ces noms ne correspondent pas à des degrés de certitude. Un lemme est un résultat utilisé pour une autre preuve ; un corollaire découle d’un résultat établi. Une caractérisation ou une équivalence doit fonctionner dans les deux sens.

Les résultats nouveaux sont accompagnés de leur démonstration lorsqu’elle est donnée ici. Les résultats antérieurs utilisés, comme Pythagore ou les propriétés du parallélogramme, sont identifiés comme rappels. Une intuition aide à comprendre ; elle ne remplace pas une preuve.

Sur un quadrillage, on part d’un point, on avance de \(3\) carreaux vers la droite et on descend de \(2\) carreaux. Le couple \((3;-2)\) indique-t-il une position ou un déplacement ? Que donnerait le déplacement inverse ? Correction expliquée. Ici il décrit un déplacement, car aucune origine du plan n’est précisée. Le retour consiste à reculer de \(3\) vers la gauche et à monter de \(2\) : \((-3;2)\). Si les signes te gênent, associe provisoirement droite/haut à positif et gauche/bas à négatif, puis lis les flèches des axes : ce sont elles qui fixent les sens positifs.

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est représenté par la flèche qui part de \(A\) et arrive en \(B\). Pour un vecteur non nul, on distingue sa direction (celle de la droite qui le porte), son sens et sa norme (sa longueur). Deux flèches ayant ces trois caractéristiques identiques représentent le même vecteur, même si elles ne partent pas du même point.

Le vecteur nul, noté \(\vec0\), est le déplacement qui ne change pas de point : \(\overrightarrow{AA}=\vec0\). Sa norme est \(0\) ; on ne lui attribue ni direction ni sens. La relation de Chasles, déjà rencontrée avec les translations, dit : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Enchaîner un déplacement puis le suivant donne le déplacement total.

Une base du plan est un couple ordonné \((\vec i,\vec j)\) de deux vecteurs non colinéaires : leurs directions sont différentes et les vecteurs ne sont pas nuls. L’ordre compte : le premier vecteur sert à lire la première coordonnée.

Un repère \((O;\vec i,\vec j)\) est constitué d’un point \(O\), l’origine, et d’une base. On trace par \(O\) les axes de directions \(\vec i\) et \(\vec j\), orientés dans les sens de ces vecteurs.

Une base est orthonormée lorsque les directions sont perpendiculaires et que \(\left\lVert \vec i\right\rVert=\left\lVert \vec j\right\rVert=1\) dans l’unité de longueur choisie. Le repère correspondant est orthonormé. « Ortho » indique la perpendicularité ; « normée » rappelle les vecteurs unitaires.

Dans une base \((\vec i,\vec j)\), chaque vecteur \(\vec u\) s’écrit d’une seule manière

Les coordonnées du vecteur \(\vec u\) dans la base sont les nombres \(x\) et \(y\) de son écriture \(\vec u=x\vec i+y\vec j\). On note

La base fournit deux déplacements de référence. Le couple \((4;2)\) signifie « quatre fois le premier déplacement, puis deux fois le second ». L’adresse du point d’arrivée dépend du départ ; la consigne, elle, ne change pas. Limites : les axes peuvent être obliques ; les coefficients peuvent être des fractions. Un déplacement en diagonale n’a pas pour longueur la somme des nombres de pas sur les deux axes. On revient toujours à l’égalité exacte \(\vec u=4\vec i+2\vec j\).

Je reconnais : une flèche dans un repère, ou deux coordonnées à représenter. Premier geste : repérer la base, ses unités et les sens des axes, puis le départ et l’arrivée de la flèche. Pour lire, décomposer le déplacement selon les axes ; compter les unités signées, pas seulement les carreaux. Pour représenter \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), choisir un point de départ \(A\), effectuer \(x\vec i\) puis \(y\vec j\), et tracer la flèche de \(A\) au point final. Contrôle : refaire les deux déplacements en suivant l’orientation des axes. Une flèche de même direction mais deux fois plus longue n’est pas le même vecteur.

\(\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3/2\end{pmatrix}\) signifie \(\vec u=-2\vec i+\frac32\vec j\) : deux unités dans le sens opposé à \(\vec i\), puis une unité et demie dans le sens de \(\vec j\). Les coordonnées de \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}\) indiquent aucun déplacement selon \(\vec i\), puis trois unités dans le sens opposé à \(\vec j\). Le vecteur nul a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) : \(0\vec i+0\vec j=\vec0\). Par unicité de la décomposition, deux vecteurs sont égaux exactement lorsque leurs deux coordonnées sont égales. Ainsi \(\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\), malgré les deux mêmes nombres utilisés dans un autre ordre.

Essai guidé. Écrire les coordonnées de \(\vec a=3\vec i-2\vec j\). Puis décrire sa construction depuis un point \(P\). À tenter avant de lire. Représenter à main levée \(\vec b=-\frac12\vec i+2\vec j\), puis \(\vec c=2\vec j\). Justifier la première coordonnée de \(\vec c\). Indice avant correction. Un coefficient absent devant \(\vec i\) vaut \(0\), et non \(1\). Correction expliquée. \(\vec a=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) : depuis \(P\), trois unités selon \(\vec i\), puis deux dans le sens contraire à \(\vec j\). Pour \(\vec b=\begin{pmatrix}-1/2\\2\end{pmatrix}\), on recule d’une demi-unité sur le premier axe puis on avance de deux sur le second. Enfin \(\vec c=0\vec i+2\vec j=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\). Le coefficient \(0\) exprime l’absence de déplacement selon le premier axe. Critères pour te vérifier : Je respecte l’ordre des coordonnées, le sens et l’unité ; je donne un départ et une arrivée à chaque flèche ; je sais lire un coefficient nul.

Sur un dessin, une flèche avance de quatre carreaux et monte de deux. Si \(\vec i\) vaut deux carreaux et \(\vec j\) un carreau, quelles sont ses coordonnées ? Correction expliquée. Elle vaut \(2\vec i+2\vec j\), donc \(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), pas \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). Les coordonnées dépendent de la base, et non de la seule forme de la flèche. Déplacer seulement l’origine, sans changer la base, ne change pas les coordonnées des vecteurs ; cela peut changer celles des points.

L’erreur est de donner à \(\overrightarrow{AB}\) les coordonnées de \(B\) sans tenir compte de \(A\). Rappel : les coordonnées d’un point sont le déplacement depuis l’origine. Exemple plus simple : sur un axe, de l’abscisse \(2\) à l’abscisse \(5\), on avance de \(3\), pas de \(5\). Nouvel essai : de \(P(1;1)\) à \(Q(1;4)\), décrire le déplacement. Correction : aucun changement horizontal, trois unités vers le haut, donc \(\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\). Reviens à la figure de \(A\) à \(B\) : le départ \((-3;1)\) impose bien \(4\) et \(2\), pas \(1\) et \(3\).

Un vecteur correspond à \(-3\vec i+\frac12\vec j\). Donner ses coordonnées, le représenter depuis un point de ton choix et expliquer pourquoi deux départs différents peuvent convenir. Indice avant correction. Les coordonnées décrivent le déplacement, pas le départ. Correction expliquée. Les coordonnées sont \(\begin{pmatrix}-3\\1/2\end{pmatrix}\). On effectue trois unités dans le sens contraire à \(\vec i\), puis une demi-unité selon \(\vec j\). Deux flèches obtenues depuis deux départs ont la même direction, le même sens et la même longueur : elles représentent donc le même vecteur. Critères pour te vérifier : Je peux reconstruire la flèche sans confondre point et vecteur, et expliquer le rôle de la base.

Sur une droite graduée, on va de \(-2\) à \(3\). Quel nombre faut-il ajouter à \(-2\) pour arriver à \(3\) ? Correction expliquée. \(5\), car \(-2+5=3\). Le calcul \(3-(-2)=3+2=5\) donne l’arrivée moins le départ. Si tu avais trouvé \(-5\), tu aurais calculé le trajet inverse ; reprends la flèche de \(-2\) vers \(3\).

Dans un repère du plan, si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), alors

Dans un repère, \(A(-3;5)\) et \(B(4;-2)\). On cherche le déplacement de \(A\) vers \(B\), donc on écrit arrivée moins départ dans les deux coordonnées :

Contrôle par recomposition : départ \(+\) déplacement doit redonner l’arrivée :

\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Ses coordonnées sont les opposées de celles de \(\overrightarrow{AB}\) : \(x_A-x_B=-(x_B-x_A)\) et \(y_A-y_B=-(y_B-y_A)\). De plus, \(\overrightarrow{AB}=\vec0\) exactement lorsque \(A=B\) : les deux différences sont nulles exactement lorsque \(x_A=x_B\) et \(y_A=y_B\). Ces deux conséquences découlent directement du théorème.

Pour calculer un vecteur : écrire d’abord les deux points, puis leurs rôles départ/arrivée ; appliquer la différence dans le même ordre pour les deux coordonnées. Mettre les nombres négatifs entre parenthèses. Pour trouver l’arrivée \(B\) quand \(A\) et \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) sont connus : le premier geste est d’écrire « départ \(+\) déplacement \(=\) arrivée ». Si \(\vec u=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\), alors \(B(x_A+p;y_A+q)\). Pour retrouver le départ : soustraire le déplacement à l’arrivée : \(A(x_B-p;y_B-q)\). Contrôle : recalculer le vecteur entre les deux points obtenus, dans l’ordre de la consigne.

On donne \(A(2;-4)\) et \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\). Alors

Pour \(P(-\frac12;\frac34)\) et \(Q(\frac56;-\frac14)\), calculons séparément les deux différences :

Essai guidé. \(A(-2;4)\), \(B(3;1)\). Compléter \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-(\ldots)\\1-(\ldots)\end{pmatrix}\), puis calculer \(\overrightarrow{BA}\). À tenter avant la correction. Trouver \(D\) tel que \(C(5;-3)\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}\). Indice avant correction. Pour trouver \(D\), ajouter le déplacement aux coordonnées de \(C\). Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-(-2)\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\) ; donc \(\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\). Pour l’arrivée, \(x_D=5+(-2)=3\) et \(y_D=-3+(-4)=-7\) : \(D(3;-7)\). Vérification : \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}3-5\\-7-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}\). À justifier. Pourquoi ne soustrait-on pas les coordonnées de \(C\) à celles du vecteur pour obtenir \(D\) ? Réponse possible : le vecteur donne ce qu’il faut ajouter au départ pour obtenir l’arrivée ; ce n’est pas un second point. Critères pour te vérifier : Je nomme le départ et l’arrivée, je garde le même ordre dans les deux différences et je vérifie par recomposition.

\(A(-1;2)\), \(B(3;5)\), \(C(4;-2)\), \(D(8;1)\). Comparer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{DC}\). Les points \(B\) et \(D\) sont-ils nécessairement confondus si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ? Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-(-1)\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}8-4\\1-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) : ils sont égaux. En revanche \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}\) est l’opposé. Les arrivées \(B(3;5)\) et \(D(8;1)\) sont différentes : une même consigne appliquée à des départs différents ne donne pas la même arrivée.

Écriture erronée : \(4-(-3)=4-3=1\). La première erreur est d’avoir remplacé « soustraire un négatif » par « soustraire un positif ». Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : \(a-b=a+(-b)\). Exemple plus simple : \(1-(-2)=1+2=3\). Nouvel essai : calculer \(-1-(-4)\). Correction : l’opposé de \(-4\) est \(4\), donc \(-1-(-4)=-1+4=3\). Revenir au calcul initial : l’opposé de \(-3\) est \(3\), d’où \(4+3=7\). Puis refaire les deux coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) de l’exemple de référence.

\(E(\frac12;-2)\) et \(F(-\frac32;1)\). Calculer \(\overrightarrow{EF}\) et vérifier son abscisse en retrouvant celle de \(F\). Indice avant correction. Les deux fractions ont déjà le même dénominateur. Correction expliquée. \(x_F-x_E=-\frac32-\frac12=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2\) et \(y_F-y_E=1-(-2)=3\). Ainsi \(\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\). Le retour donne \(\frac12+(-2)=\frac12-\frac42=-\frac32\) et \(-2+3=1\). Critères pour te vérifier : Je peux expliquer les signes et contrôler sans recopier la formule mécaniquement.

On effectue un déplacement de \((2;1)\), puis de \((3;-1)\). Quel est le déplacement total ? Correction expliquée. Sur le premier axe, \(2+3=5\) ; sur le second, \(1+(-1)=0\). Le total vaut \((5;0)\). Si tu additionnais les deux nombres d’une même colonne, tu mélangerais deux directions : garde une ligne de calcul pour chaque axe.

Dans une même base, soient \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) et \(k\) un réel. Alors

Si \(\vec u=\overrightarrow{OU}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OV}\), on peut transporter le représentant de \(\vec v\) pour le faire partir de \(U\) : on obtient \(\overrightarrow{UW}=\vec v\). Alors \(\overrightarrow{OW}=\vec u+\vec v\) par Chasles. Pour des directions distinctes, \(OUWV\) est le parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

Premier geste : garder la flèche \(O\to U\), puis tracer depuis \(U\) une flèche égale à \(O\to V\). La diagonale \(O\to W\) représente la somme. Si les vecteurs sont colinéaires, le chemin de Chasles fonctionne encore, même si le parallélogramme est aplati.

Soient \(\vec u=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\). Calculons \(2\vec u-3\vec v\). Le coefficient multiplie chaque coordonnée ; la soustraction porte sur tout le second vecteur :

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}3/2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}-1/3\\2\end{pmatrix}\), calculons \(\vec u+3\vec v\) :

Une expression comme \(a\vec u+b\vec v\), où \(a\) et \(b\) sont des réels, s’appelle une combinaison linéaire des deux vecteurs. Ici « linéaire » indique que l’on additionne des multiples ; cela ne signifie pas que les vecteurs sont colinéaires. Pour retrouver les coordonnées, calculer \(a\vec u\) et \(b\vec v\), puis additionner les coordonnées de même rang. Aucun produit de deux vecteurs n’est défini dans ce chapitre.

Essai guidé. \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\). Compléter \(2\vec a=\begin{pmatrix}2\times2\\2\times(-3)\end{pmatrix}\), puis calculer \(2\vec a+\vec b\). À tenter. Avec les mêmes vecteurs, calculer \(\vec a-2\vec b\) et contrôler en ajoutant \(2\vec b\) au résultat. Indice avant correction. Multiplier d’abord, soustraire ensuite ; mettre les coordonnées négatives entre parenthèses. Correction expliquée. \(2\vec a=\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}\), donc \(2\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}4+(-1)\\-6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\). Pour la seconde expression, \(2\vec b=\begin{pmatrix}2\times(-1)\\2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}\), puis \(\vec a-2\vec b=\begin{pmatrix}2-(-2)\\-3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}\). Contrôle :

Avec \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) dans une base orthonormée, dessiner la somme. Peut-on annoncer que sa longueur vaut \(1+1=2\) ? Correction expliquée. La somme est \(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) : c’est la diagonale d’un carré de côté \(1\), pas le chemin formé par deux côtés. Pythagore donne une longueur \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\), différente de \(2\) car \(2^2=4\ne2\). La somme des coordonnées traduit les déplacements ; elle ne commande pas l’addition des longueurs.

L’écriture erronée \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-1\\2+(-3)\end{pmatrix}\) a oublié que l’on soustrait aussi la seconde coordonnée. Rappel : \(\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)\) ; les deux coordonnées de \(-\vec v\) sont opposées. Exemple simple : \(-\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\). Nouvel essai : calculer \(\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\). Correction : \(\begin{pmatrix}2-(-1)\\0-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\). Retour au calcul initial : \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\), et non \(\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\).

\(\vec u=2\vec i-\vec j\) et \(\vec v=-\vec i+3\vec j\). Trouver les coordonnées de \(-\vec u+2\vec v\), puis le décrire avec la base. Indice avant correction. Lire d’abord les coordonnées dans les expressions données. Correction expliquée. \(\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\). Donc \(-\vec u+2\vec v=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\times(-1)\\2\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-2\\1+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix}\). L’écriture dans la base est \(-4\vec i+7\vec j\). Le contrôle en développant \(-(2\vec i-\vec j)+2(-\vec i+3\vec j)=-2\vec i+\vec j-2\vec i+6\vec j\) donne la même décomposition. Critères pour te vérifier : Je peux passer des lettres aux coordonnées puis revenir à l’écriture dans la base.

Calculer \((-3)^2\) puis \(\sqrt{25}\). Pourquoi ne donne-t-on pas deux valeurs pour \(\sqrt{25}\) ? Correction expliquée. \((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\). Par définition, \(\sqrt{25}\) est le nombre positif ou nul dont le carré vaut \(25\), donc \(5\). L’équation \(t^2=25\) a deux solutions \(-5\) et \(5\), mais le symbole \(\sqrt{25}\) désigne une seule valeur. Si ce point bloque, distinguer la question d’équation du nom d’un nombre.

La norme d’un vecteur \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), notée \(\left\lVert \vec u\right\rVert\), est la longueur \(AB\). Tous les représentants du même vecteur ont la même longueur : cette définition ne dépend donc pas du représentant choisi. Les écritures \(\overrightarrow{AB}\), \(AB\) et \(AB^2\) désignent respectivement un vecteur, une longueur et le carré d’une longueur. Les doubles barres de \(\left\lVert \vec u\right\rVert\) ne désignent pas des coordonnées.

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) dans une base orthonormée,

Dans un repère orthonormé,

Dans un repère orthonormé, \(A(-2;3)\) et \(B(4;-1)\). On calcule d’abord le déplacement, puis sa longueur :

Je veux une longueur : vérifier d’abord « repère orthonormé », puis calculer le vecteur, ses deux carrés, leur somme et enfin sa racine. On peut aussi substituer directement dans la formule de distance, en gardant les parenthèses autour des différences. Je veux seulement comparer des longueurs : calculer leurs carrés suffit souvent. Pour deux longueurs positives ou nulles, l’ordre est conservé par le carré : \(a<b\) exactement lorsque \(a^2<b^2\). En effet \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\) et \(b+a>0\) sauf si les deux longueurs sont nulles, cas immédiat. Contrôle : une longueur ne peut pas être négative ; son carré doit redonner la somme des carrés. Une valeur décimale arrondie s’écrit avec \(\approx\), pas avec \(=\).

Dans un repère orthonormé, \(A(0;0)\), \(B(3;1)\), \(C(2;4)\).

\(\left\lVert -\vec u\right\rVert=\left\lVert \vec u\right\rVert\), car les deux flèches ont même longueur et des sens contraires. Plus généralement, si \(k\geq0\), alors \(\left\lVert k\vec u\right\rVert=k\left\lVert \vec u\right\rVert\) ; si \(k<0\), alors \(\left\lVert k\vec u\right\rVert=(-k)\left\lVert \vec u\right\rVert\). Démonstration. On choisit une base orthonormée. Les coordonnées de \(k\vec u\) sont \((kx;ky)\). Le carré de sa norme est \((kx)^2+(ky)^2=k^2(x^2+y^2)\). Si \(k\geq0\), le nombre \(k\left\lVert \vec u\right\rVert\) est positif ou nul et a ce carré ; si \(k<0\), c’est le nombre \((-k)\left\lVert \vec u\right\rVert\). L’unicité de la racine positive donne les deux cas. \(\square\) Par exemple, pour \(\vec u=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\), \(\left\lVert \vec u\right\rVert=5\) et \(\left\lVert -2\vec u\right\rVert=2\times5=10\), jamais \(-10\).

Essai guidé. Dans une base orthonormée, \(\vec u=\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}\). Écrire les deux produits dont la somme donne \(\left\lVert \vec u\right\rVert^2\), puis la norme. À tenter avant la correction. Dans un repère orthonormé, \(P(1;-2)\) et \(Q(-2;2)\). Calculer \(PQ\) en passant par \(\overrightarrow{PQ}\), puis vérifier par substitution directe. Indice avant correction. Une soustraction négative doit rester dans ses parenthèses avant le carré. Correction expliquée. \(\left\lVert \vec u\right\rVert^2=(-5)\times(-5)+12\times12=25+144=169\) ; donc \(\left\lVert \vec u\right\rVert=13\), car \(13^2=169\). Ensuite \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-2-1\\2-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\) ; \(PQ=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\). Directement, \(PQ=\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\). À justifier : pourquoi la coordonnée négative ne rend-elle pas la distance négative ? Réponse possible : elle indique un sens ; son carré est positif, puis la racine choisie est positive ou nulle. Critères pour te vérifier : Je vérifie le repère, je distingue coordonnée et longueur, je calcule les carrés avant la racine.

Dans un repère orthogonal avec \(\left\lVert \vec i\right\rVert=2\) et \(\left\lVert \vec j\right\rVert=1\) centimètres, \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Peut-on annoncer \(\left\lVert \vec u\right\rVert=\sqrt2\) centimètres ? Correction expliquée. Non : les côtés du triangle rectangle mesurent ici \(2\) et \(1\) centimètres. Pythagore donne \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\) centimètres. La formule \(\sqrt{x^2+y^2}\) exige des vecteurs de base unitaires dans la même unité. Les coordonnées restent parfaitement valides, mais ne sont pas directement des longueurs dans cette unité.

Erreur : \(\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}=7\). La première égalité est fausse : la racine ne se distribue pas sur une somme. Rappel : additionner dans la racine, puis chercher le nombre positif dont le carré convient. Exemple plus simple : \(\sqrt{1+3}=\sqrt4=2\). Nouvel essai : calculer \(\sqrt{36+64}\). Correction : \(36+64=100\) et \(\sqrt{100}=10\), pas \(6+8=14\). Retour à l’erreur : \(9+16=25\), donc \(\sqrt{25}=5\) ; \(7^2=49\) aurait révélé le défaut.

Dans un repère orthonormé, un cercle a pour centre \(S(1;2)\) et rayon \(\sqrt{10}\). Le point \(T(4;3)\) appartient-il au cercle ? Indice avant correction. Comparer \(ST^2\) au carré du rayon, sans arrondir. Correction expliquée. \(ST^2=(4-1)^2+(3-2)^2=3^2+1^2=10\) et \((\sqrt{10})^2=10\). Comme ce sont des longueurs positives, \(ST=\sqrt{10}\) : \(T\) appartient au cercle. La seule proximité sur un dessin ne suffirait pas ; ici l’égalité est exacte. Critères pour te vérifier : Je relie le calcul à la définition géométrique : être à la distance du rayon du centre.

Quel est le milieu entre les abscisses \(-3\) et \(5\) ? Justifier sans se fier seulement au dessin. Correction expliquée. La distance entre ces abscisses vaut \(5-(-3)=8\) ; sa moitié vaut \(4\). Partir de \(-3\) et avancer de \(4\) donne \(1\). On retrouve la moyenne \(\frac{-3+5}{2}=\frac22=1\). Si tu avais trouvé \(4\), tu aurais donné la demi-longueur, pas la position du milieu.

Le milieu du segment \([AB]\) est le point \(I\) de ce segment tel que \(IA=IB\). Si \(A=B\), le segment se réduit à ce point, qui est aussi son milieu. Attention : l’égalité de distances \(IA=IB\), sans la condition \(I\in[AB]\), ne suffit pas à reconnaître le milieu. Par exemple, dans un triangle isocèle non aplati, le sommet principal est à égale distance des deux autres sommets mais n’est pas leur milieu.

Pour des points \(A,B,I\), les affirmations suivantes sont équivalentes :

Dans un repère, le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées

Pour \(A(-3;2)\) et \(B(5;-2)\),

\(I(2;-1)\) est le milieu de \([AB]\) et \(A(-4;3)\). Cherchons \(B(x_B;y_B)\). La formule du milieu donne \(2=\dfrac{-4+x_B}{2}\) et \(-1=\dfrac{3+y_B}{2}\). On multiplie chaque égalité par \(2\), nombre non nul, puis on isole la coordonnée :

Je connais les deux extrémités : calculer la moyenne des abscisses et celle des ordonnées, séparément. Je connais le milieu et une extrémité : écrire les deux équations du milieu, puis les résoudre. On retrouve \(x_B=2x_I-x_A\) et \(y_B=2y_I-y_A\). Le point \(B\) est alors le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\). Cette symétrie centrale impose que \(I\) soit le milieu ; elle n’échange pas arbitrairement les coordonnées. Contrôle : refaire les moyennes avec le point obtenu. Cette vérification est particulièrement utile lorsque certaines coordonnées sont négatives.

Essai guidé. \(P(-4;1)\), \(Q(2;5)\). Calculer \(\frac{-4+2}{2}\) et \(\frac{1+5}{2}\), puis nommer le milieu. À tenter. \(J(1;2)\) est le milieu de \([RS]\), avec \(R(-3;0)\). Déterminer \(S\). Indice avant correction. Le point à trouver est à la même distance du milieu, dans le sens opposé. Correction expliquée. Le milieu de \([PQ]\) est \(K(-1;3)\), car \(\frac{-2}{2}=-1\) et \(\frac62=3\). Pour \(S\), \(1=\frac{-3+x_S}{2}\) donne \(2=-3+x_S\), puis \(2+3=-3+x_S+3\), soit \(x_S=5\). De même \(2=\frac{0+y_S}{2}\) donne \(4=y_S\). Donc \(S(5;4)\) ; contrôle : \(\frac{-3+5}{2}=1\) et \(\frac{0+4}{2}=2\). À justifier. Pourquoi la moyenne \(\frac{x_A+y_A}{2}\) ne donne-t-elle pas l’abscisse du milieu ? Réponse possible : elle mélange deux axes d’un seul point ; il faut partager le déplacement entre les deux extrémités sur un même axe. Critères pour te vérifier : Je reconnais données et inconnue ; je ne mélange pas les deux axes ; je contrôle le milieu obtenu.

Pour un quadrilatère non aplati dont les sommets sont pris dans l’ordre \(A,B,C,D\), les affirmations suivantes sont équivalentes :

• \(ABCD\) est un parallélogramme ;

• \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ;

• les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.

Les caractérisations géométriques sont celles du collège. Voici aussi le lien calculatoire entre les deux derniers critères. Démonstration. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) équivaut à \(x_B-x_A=x_C-x_D\) et \(y_B-y_A=y_C-y_D\). En ajoutant \(x_A+x_D\) puis \(y_A+y_D\) aux deux membres concernés, on obtient \(x_B+x_D=x_A+x_C\) et \(y_B+y_D=y_A+y_C\). Diviser chacune par \(2\) montre précisément que les milieux des diagonales sont identiques. Les opérations sont réversibles. Le critère géométrique des diagonales de même milieu achève le lien avec le parallélogramme. La condition non aplati reste nécessaire si l’on veut un véritable quadrilatère. \(\square\)

\(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(4;3)\) sont trois sommets successifs d’un rectangle. Cherchons \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Il faut \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), donc \(\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-x_D\\3-y_D\end{pmatrix}\). Pour la première coordonnée, on soustrait \(4\) aux deux membres :

Dans l’exemple précédent, \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}\) ? Non : \(C(4;3)\) et \(D(0;3)\) donnent \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}\). Il est l’opposé de \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\), pas son égal. Pour \(ABCD\), les bons sens à comparer sont \(A\to B\) et \(D\to C\). L’égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) correspondrait à l’ordre \(A,B,D,C\) lorsque les points forment un parallélogramme non aplati. Toujours dessiner l’ordre demandé avant d’écrire l’égalité.

Erreur : écrire \((x_A+x_B;\frac{y_A+y_B}{2})\). Le milieu doit partager les deux déplacements, pas uniquement le déplacement vertical. Rappel et exemple simple : entre \((0;0)\) et \((2;2)\), le milieu est \((1;1)\), car chacune des coordonnées est partagée en deux. Nouvel essai : trouver le milieu entre \((2;0)\) et \((6;4)\). Correction : \((\frac{2+6}{2};\frac{0+4}{2})=(4;2)\). Les deux vecteurs successifs valent \((2;2)\). Retour au premier essai \(P(-4;1),Q(2;5)\) : les deux moyennes donnent bien \((-1;3)\), pas \((-2;3)\).

Un quadrilatère non aplati a pour sommets successifs \(A(-2;1)\), \(B(3;2)\), \(C(4;5)\), \(D(-1;4)\). Prouver que c’est un parallélogramme de deux façons. Indice avant correction. Comparer d’abord deux vecteurs convenablement orientés, puis les milieux de ses diagonales. Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-(-2)\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4-(-1)\\5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\) : premier critère satisfait. Le milieu de \([AC]\) est \((\frac{-2+4}{2};\frac{1+5}{2})=(1;3)\) ; celui de \([BD]\) est \((\frac{3+(-1)}2;\frac{2+4}2)=(1;3)\) : second critère satisfait. L’hypothèse non aplati est donnée ; les deux voies prouvent le même résultat, une seule suffit si l’énoncé n’en demande pas deux. Critères pour te vérifier : Je distingue côtés et diagonales, je garde l’ordre des sommets et je conclus avec le critère utilisé.

On travaille dans une base orthonormée \((\vec i,\vec j)\). Écrire \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) signifie \(\vec u=x\vec i+y\vec j\). Deux vecteurs sont égaux exactement lorsque leurs deux coordonnées sont égales. Le vecteur nul est \(\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\). Pour un réel \(k\), la règle de multiplication déjà établie est

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\), calcule les coordonnées de \(-2\vec u\). Essaie avant de lire la correction. Correction expliquée. Le nombre \(-2\) multiplie chaque coordonnée :

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) ou \(\vec u=k\vec v\). Pour deux vecteurs non nuls, cela signifie qu’ils ont la même direction, sans être obligés d’avoir le même sens ni la même longueur.

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur : pour n’importe quel \(\vec v\), on a \(\vec 0=0\vec v\). Cette convention algébrique ne lui attribue pas une direction.

Imagine un déplacement qui avance de deux unités horizontalement et d’une unité verticalement. Le multiplier par \(3\) revient à effectuer trois fois ce déplacement : les deux composantes sont multipliées par \(3\). Le multiplier par \(-2\) revient à doubler sa longueur et à prendre le sens opposé. Le déplacement reste porté par la même direction.

Cette image explique le coefficient commun. Elle ne signifie pas que les flèches doivent partir du même point : on peut déplacer un représentant sans changer le vecteur. Une image seule ne décide pas non plus une colinéarité exacte ; les calculs vont la justifier.

Si \(\vec u\ne\vec0\), les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\). Ce coefficient est alors unique. Le vecteur \(\vec v\) peut être nul : dans ce cas, \(k=0\). Démonstration. L’égalité \(\vec v=k\vec u\) entraîne la colinéarité par définition. Réciproquement, si la définition donne déjà cette égalité, il n’y a rien à changer. Si elle donne \(\vec u=t\vec v\), alors \(t\ne0\) : sinon \(\vec u\) serait nul. On multiplie les deux membres par \(1/t\) et l’on obtient \(\vec v=(1/t)\vec u\).

Pour l’unicité, écrivons \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\). Au moins une de ses coordonnées est non nulle. Si \(k\vec u=\ell\vec u\) et \(x\ne0\), alors \(kx=\ell x\) ; la division des deux membres par \(x\) donne \(k=\ell\). Si \(x=0\), alors \(y\ne0\) et le même raisonnement s’effectue avec \(ky=\ell y\). Deux coefficients différents ne peuvent donc pas convenir. \(\square\)

Quand ? Cette méthode est rapide lorsqu’un rapport simple se voit entre des coordonnées. Elle explique aussi le sens et le facteur d’agrandissement.

1. Vérifie d’abord si l’un des vecteurs est nul. S’il l’est, la colinéarité est acquise.

2. Sinon, choisis un vecteur de référence non nul, par exemple \(\vec u\). Écris \(\vec v=k\vec u\) sous la forme de deux égalités de coordonnées.

3. Utilise une coordonnée non nulle de \(\vec u\) pour trouver le seul coefficient possible.

4. Teste ce coefficient dans l’autre égalité. Si elle échoue, aucun coefficient commun ne convient ; les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Contrôle. Reconstitue les deux coordonnées de \(k\vec u\) et compare-les à celles de \(\vec v\). Un coefficient différent sur chaque ligne ne convient pas. Ne forme jamais un quotient avant d’avoir vérifié que son dénominateur n’est pas nul.

Dans la base orthonormée choisie, pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), on définit le déterminant de \(\vec u\) et \(\vec v\) par le nombre

Par exemple, pour \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\), \(\det(\vec a,\vec b)=1\times4-3\times2=4-6=-2\).

Deux vecteurs du plan sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

De la colinéarité au déterminant nul. Lorsque \(\vec u\ne\vec0\), la propriété précédente donne \(\vec v=k\vec u\), donc \(x'=kx\) et \(y'=ky\). En remplaçant :

Du déterminant nul à la colinéarité. Supposons maintenant \(xy'-yx'=0\). Le cas \(\vec u=\vec0\) est déjà traité. Sinon, au moins une des coordonnées \(x,y\) est non nulle.

• Si \(x\ne0\), on ajoute \(yx'\) aux deux membres :

  \[xy'-yx'+yx'=0+yx',\qquad xy'=yx'.\]
  On divise ensuite par le réel non nul \(x\) :
  \[\frac{xy'}x=\frac{yx'}x,\qquad \left(\frac xx\right)y'=\frac{x'}x\,y,\qquad y'=\frac{x'}x\,y.\]
  Posons \(k=x'/x\). Alors \(kx=(x'/x)x=x'\) et \(ky=y'\). Les deux coordonnées de \(k\vec u\) sont celles de \(\vec v\) : \(\vec v=k\vec u\).

• Si \(x=0\), le vecteur \(\vec u\) non nul impose \(y\ne0\). L’égalité \(xy'-yx'=0\) devient \(-yx'=0\). On divise par le coefficient non nul \(-y\) :

  \[\frac{(-y)x'}{-y}=\frac0{-y},\qquad \left(\frac{-y}{-y}\right)x'=0,\qquad x'=0.\]
  Posons \(k=y'/y\), ce qui est possible car \(y\ne0\). On a \(kx=k\times0=0=x'\) et \(ky=(y'/y)y=y'\). De nouveau, \(\vec v=k\vec u\).

Les deux cas couvrent tous les vecteurs \(\vec u\) non nuls, y compris ceux dont une coordonnée est nulle. Dans chaque cas, on a construit un coefficient commun : la réciproque est démontrée. \(\square\) Portée. La preuve utilise uniquement les coordonnées dans une base et les opérations sur les réels : le test de colinéarité par \(xy'-yx'=0\) reste donc valable dans une base quelconque. L’orthonormalité est nécessaire pour les formules usuelles de longueur, pas pour ce test.

Pour deux vecteurs quelconques,

Quand ? Dès que l’on connaît les coordonnées des deux vecteurs. Cette méthode est particulièrement sûre lorsque des coordonnées sont nulles ou que le coefficient commun n’est pas évident.

Premier geste : écris les deux couples dans le même ordre, puis la formule \(xy'-yx'\). Remplace les quatre lettres par leurs valeurs en parenthésant les nombres négatifs. Calcule les deux produits avant leur différence. Un déterminant nul prouve la colinéarité ; un déterminant non nul prouve son absence.

Contrôle : si le déterminant est nul et qu’un vecteur est non nul, cherche un coefficient commun et vérifie ses deux coordonnées. Cette seconde méthode contrôle le calcul ; il n’est pas nécessaire de fournir deux méthodes dans un devoir, sauf si la consigne le demande.

Les vecteurs \(\vec u=\begin{pmatrix}\frac34\\-\frac25\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{15}8\\1\end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

Par le déterminant. Les coordonnées sont placées dans l’ordre \(x=3/4\), \(y=-2/5\), \(x'=-15/8\) et \(y'=1\). On calcule les deux produits avant de les soustraire :

Par un coefficient, pour contrôler. La seconde coordonnée de \(\vec v=k\vec u\) doit vérifier \((-2/5)k=1\). Le coefficient \(-2/5\) n’est pas nul. Son inverse est \(-5/2\), car

On donne \(\vec u=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}6\\-10\end{pmatrix}\).

1. Écris les deux égalités nécessaires pour avoir \(\vec v=k\vec u\).

2. Trouve \(k\) avec la première coordonnée, puis teste la seconde.

3. Contrôle ta conclusion par un déterminant.

Indice avant correction. Une seule valeur de \(k\) doit satisfaire \(-3k=6\) et \(5k=-10\). Correction expliquée. Le vecteur \(\vec u\) n’est pas nul. Pour résoudre \(-3k=6\), on divise les deux membres par \(-3\ne0\) :

Étudie la colinéarité de \(\vec a=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec b=\begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix}\). Si elle est vérifiée, donne le coefficient \(k\) tel que \(\vec b=k\vec a\). Indice avant correction. Le premier quotient \(0/0\) n’existe pas. Utilise la seconde coordonnée, qui est non nulle dans \(\vec a\). Correction expliquée. Le déterminant vaut \(0\times(-6)-4\times0=0-0=0\) : les vecteurs sont colinéaires. Le coefficient est déterminé par \(4k=-6\). Puisque \(4\ne0\),

Pour \(\vec p=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec q=\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}\), Léa affirme : « La première coordonnée a été multipliée par \(2\), donc les vecteurs sont colinéaires. » Localise l’étape manquante et réfute sa conclusion. Correction expliquée. La première coordonnée impose \(2k=4\), donc \(k=2\) après division par \(2\ne0\). Mais ce coefficient donnerait \(2\times3=6\) pour la seconde coordonnée, alors que celle de \(\vec q\) est \(7\). Aucun coefficient commun ne convient : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le déterminant vaut aussi \(2\times7-3\times4=14-12=2\ne0\). Critères pour te vérifier : ma réponse mentionne le même coefficient sur les deux lignes ; elle compare \(6\) et \(7\) et ne se contente pas de dire que Léa a tort.

On donne \(\vec u=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\). Sont-ils colinéaires ? Peut-on pourtant écrire \(\vec v=k\vec u\) ? Explique pourquoi les deux réponses ne se contredisent pas. Correction expliquée. Ils sont colinéaires puisque \(\vec u=0\vec v\). Le déterminant confirme : \(0\times(-2)-0\times3=0\). En revanche, pour tout réel \(k\), \(k\vec u=\begin{pmatrix}k\times0\\k\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\), qui n’est pas \(\vec v\). Il est donc impossible d’écrire \(\vec v=k\vec u\). La caractérisation orientée par cette écriture supposait \(\vec u\ne\vec0\). La définition générale, elle, permet que l’un ou l’autre soit un multiple de son partenaire.

Erreur à examiner. Avec \(\vec u=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\), un élève calcule correctement les deux produits \(12\) et \(12\), puis écrit à tort \(12+12=24\) pour leur déterminant.

Première erreur. Il a remplacé la soustraction entre les produits par une addition. Le produit \((-3)\times(-4)=12\) est positif, mais il est ensuite soustrait : le calcul attendu est \(12-12\), pas \(12+12\).

Exemple plus simple. Pour \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec b=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}\),

Retour au calcul initial. \(2\times6-(-3)\times(-4)=12-12=0\) ; les vecteurs initiaux sont eux aussi colinéaires. La multiplication des deux signes négatifs et la soustraction extérieure sont deux gestes distincts.

À une prochaine séance, étudie \(\vec u=\begin{pmatrix}-\frac23\\\frac12\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\). Rédige un calcul exact, une conclusion et un contrôle par coefficient. Indice avant correction. Commence par les deux produits du déterminant. Pour le contrôle, la seconde coordonnée est commode. Correction expliquée.

Un déterminant nul signifie colinéarité, pas égalité des vecteurs. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Si un vecteur de référence est non nul, un coefficient commun existe exactement en cas de colinéarité. Le déterminant évite toute division ; la recherche d’un coefficient permet un contrôle et renseigne sur le sens. Un déterminant non nul signifie seulement « non colinéaires » : il ne prouve pas une perpendicularité.

Dans un repère orthonormé, si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\),

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\),

Une droite \((AB)\) est définie par deux points distincts : si \(A=B\), l’écriture \((AB)\) ne désigne pas une droite déterminée. Aucune équation de droite n’est nécessaire ici.

On donne \(A(-2;1)\) et \(B(1;3)\). Calcule \(\overrightarrow{AB}\). Que représentent les deux nombres obtenus ? Correction expliquée.

Des points sont alignés lorsqu’il existe une droite qui les contient tous. Pour trois points \(A,B,C\) avec \(A\ne B\), cette définition revient à dire que \(C\) appartient à \((AB)\). La position de \(C\) peut être entre \(A\) et \(B\), au-delà de l’un d’eux, ou même confondue avec l’un d’eux. « Alignés » ne veut donc pas dire « dans cet ordre ».

Si \(A\ne B\), les affirmations suivantes sont équivalentes :

Je reconnais l’objectif : trois points sont donnés et l’on demande s’ils appartiennent à une même droite.

1. Vérifie quels points sont distincts. Choisis deux points distincts pour définir la droite, par exemple \(A\) et \(B\).

2. Calcule deux vecteurs qui relient les trois points, de préférence \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : le départ commun \(A\) réduit les risques de confusion.

3. Calcule leur déterminant. S’il est nul, les points sont alignés ; sinon ils ne le sont pas.

4. Termine par une phrase sur les points, pas seulement sur les vecteurs.

Autre voie utile. Si un coefficient commun entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est évident, vérifie-le sur les deux coordonnées. Il prouve lui aussi l’alignement. Le dessin sert à anticiper ou à repérer une erreur manifeste, pas à remplacer le calcul exact.

On donne \(A(-2;1)\), \(B(1;3)\) et \(C(4;5)\). Les points \(A\) et \(B\) sont distincts. On choisit les vecteurs de même origine \(A\) :

Contrôle par coefficient. On trouve \(2\times3=6\) et \(2\times2=4\) : \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\). Les deux coordonnées confirment le même facteur \(2\). Le point \(C\) est situé dans le même sens que \(B\) depuis \(A\), deux fois plus loin.

Étudie les points \(A(2;1)\), \(B(-1;5)\) et \(C(-4;9)\). Commence par \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis écris séparément les deux produits du déterminant. Indice avant correction. Une soustraction de deux nombres négatifs demande de garder les parenthèses. Correction expliquée. Les points \(A\) et \(B\) sont distincts.

Les points \(A(-3;2)\), \(B(-3;-1)\) et \(C(-3;5)\) sont-ils alignés ? Donne une justification par les vecteurs. Indice avant correction. Une première coordonnée nulle n’interdit pas le déterminant. Correction expliquée. \(A\ne B\) et

On donne \(A(1;1)\), \(B(2;2)\) et \(C(1;3)\), dans un repère d’origine \(O\). Un élève observe que \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) sont colinéaires, puis affirme que \(A,B,C\) sont alignés. Pourquoi son argument ne suffit-il pas ? Vérifie ce qui se passe réellement. Correction expliquée. \(\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}\) est vrai : cela concerne \(O,A,B\), mais ne contient aucune information sur \(C\). Pour étudier \(A,B,C\), on calcule

On donne \(A(0;0)\), \(B(2;1)\) et \(C(4;2{,}01)\). Un tracé peu précis semble aligner les points. Le calcul exact confirme-t-il cette impression ? Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\2{,}01\end{pmatrix}\).

Si \(C=A\) ou \(C=B\) et \(A\ne B\), les trois points appartiennent à \((AB)\) ; le critère fonctionne encore. Si \(A=B\), on ne peut pas écrire « la droite \((AB)\) ». S’il reste deux points distincts, on les choisit pour définir la droite ; si tous les points sont confondus, n’importe quelle droite passant par ce point les contient.

Si \(A\ne B\), on peut aussi tester la colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) pour décider si \(A,B,C\) sont alignés. Démonstration. Le théorème précédent caractérise l’alignement par \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\). La relation de Chasles donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). En soustrayant \(\overrightarrow{AB}\) aux deux membres, puis en remplaçant \(\overrightarrow{AC}\),

Erreur à examiner. Pour \(A(-1;2)\) et \(C(5;-4)\), une copie écrit à tort \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\2-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}\). La première coordonnée suit arrivée moins départ ; la seconde a inversé les rôles.

Rappel ciblé. Pour \(\overrightarrow{AC}\), on soustrait dans les deux lignes la coordonnée de \(A\) à celle de \(C\) : \((x_C-x_A;y_C-y_A)\).

Exemple plus simple. Avec \(P(1;3)\) et \(Q(4;1)\), \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4-1\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) : on avance de \(3\) et on descend de \(2\).

Nouvel essai. Étudie l’alignement de \(A(0;1)\), \(B(2;0)\) et \(C(4;-1)\). Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-0\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4-0\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\). Le déterminant vaut \(2\times(-2)-(-1)\times4=-4-(-4)=-4+4=0\). Les points sont alignés.

Retour à l’erreur initiale. Les bonnes coordonnées sont \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\-4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-6\end{pmatrix}\). Si l’on ajoute \(B(2;-1)\), alors \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\times(-6)-(-3)\times6=-18-(-18)=0\). L’inversion d’une seule soustraction aurait fait conclure à tort à un non-alignement.

À une séance suivante, avant de relire, étudie \(A(\frac12;-1)\), \(B(\frac32;2)\) et \(C(\frac52;5)\). Présente les coordonnées, le test et une conclusion. Indice avant correction. Les abscisses ont déjà le même dénominateur. Correction expliquée. \(A\ne B\). Pour les différences d’abscisses, \(\frac32-\frac12=\frac{3-1}{2}=\frac22=1\) et \(\frac52-\frac12=\frac{5-1}{2}=\frac42=2\). Pour les ordonnées, \(2-(-1)=3\) et \(5-(-1)=6\). Donc \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\). Le déterminant est \(1\times6-3\times2=6-6=0\) : les points sont alignés. Le contrôle \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) vérifie bien les deux coordonnées : \(2\times1=2\) et \(2\times3=6\). Critères pour te vérifier : je garde les fractions exactes, je choisis deux vecteurs pertinents et ma conclusion porte sur les trois points.

Pour \(A(1;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\) et \(D(2;1)\), peut-on parler du parallélisme des droites \((AB)\) et \((CD)\) ? Correction expliquée. Les coordonnées de \(A\) et \(B\) sont identiques, donc \(A=B\). Les deux points ne définissent pas une droite \((AB)\). On ne peut pas répondre à la question de parallélisme sous cette forme. En revanche, \(C\ne D\) et \((CD)\) est bien définie. Si tu avais commencé par un déterminant, reprends le rappel initial : il faut vérifier les objets géométriques avant de tester leurs directions.

Dans le plan, deux droites sont parallèles lorsqu’elles sont confondues ou n’ont aucun point commun. On emploie ici « parallèles » au sens large.

• Deux droites confondues sont une seule et même droite : tous leurs points sont communs.

• Deux droites strictement parallèles sont parallèles et distinctes : elles n’ont aucun point commun.

Il faut donc un argument supplémentaire pour passer de « parallèles » à « strictement parallèles ». La position des droites compte alors, et pas seulement leur direction.

Si \(A\ne B\) et \(C\ne D\), alors

Réciproquement, si les vecteurs sont colinéaires, leurs droites portent la même direction. On utilise la propriété géométrique antérieure : par un point donné, il passe une unique droite parallèle à une droite donnée. La droite passant par \(C\) et portant la direction de \(\overrightarrow{AB}\) est ainsi parallèle à \((AB)\). Comme \(\overrightarrow{CD}\) a cette direction, cette droite est précisément \((CD)\). Le critère du déterminant traduit ensuite cette colinéarité en un calcul de coordonnées. \(\square\)

Supposons \(A\ne B\), \(C\ne D\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\). Les deux droites sont alors parallèles.

• Si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\), elles sont confondues.

• Si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\ne0\), elles sont strictement parallèles.

Démonstration. Le théorème d’alignement montre que le second déterminant est nul exactement lorsque \(C\) appartient à \((AB)\). Si c’est le cas, \((AB)\) et \((CD)\) sont deux droites parallèles passant par \(C\) : par unicité de la parallèle, elles sont la même droite. Sinon, \(C\) est un point de \((CD)\) qui n’appartient pas à \((AB)\) ; les droites sont donc distinctes. Puisqu’elles sont déjà parallèles, elles sont strictement parallèles. \(\square\)

Je reconnais l’objectif : deux droites sont données par des paires de points.

1. Vérifie que chaque paire contient deux points distincts.

2. Calcule un vecteur non nul porté par chaque droite, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).

3. Teste leur colinéarité : par déterminant, ou par coefficient commun s’il se voit facilement.

4. Si le problème demande « strictement parallèles » ou « confondues », teste ensuite l’appartenance de \(C\) à \((AB)\) grâce à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Contrôle. Ne réemploie pas le premier déterminant pour la dernière question : il ne compare que les directions. Le second compare la direction de \((AB)\) avec le déplacement jusqu’à \(C\). Une égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) suffit à prouver le parallélisme, mais elle n’est pas nécessaire : des vecteurs non nuls de longueurs ou de sens différents peuvent aussi être colinéaires.

On donne \(A(-2;0)\), \(B(1;2)\), \(C(-1;3)\) et \(D(2;5)\). On a \(A\ne B\) et \(C\ne D\) : les deux droites sont définies.

On examine donc un point de la seconde droite :

On donne \(A(0;1)\), \(B(2;4)\), \(C(4;7)\) et \(D(6;10)\).

1. Vérifie que \((AB)\) et \((CD)\) sont définies, puis qu’elles sont parallèles.

2. Calcule \(\overrightarrow{AC}\) et étudie l’alignement de \(A,B,C\).

3. Les deux droites sont-elles strictement parallèles ou confondues ?

Indice avant correction. Le mot « parallèles » autorise encore les deux possibilités. Correction expliquée. \(A\ne B\) et \(C\ne D\). \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-0\\4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}6-4\\10-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). Le déterminant est \(2\times3-3\times2=6-6=0\) : les droites sont parallèles. De plus, \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4-0\\7-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\) et

On donne \(A(-2;1)\), \(B(1;-1)\), \(C(0;4)\) et \(D(-6;8)\). Étudie le parallélisme de \((AB)\) et \((CD)\), puis précise si elles sont confondues. Indice avant correction. Deux vecteurs de sens opposés peuvent avoir la même direction. Correction expliquée. Les deux paires de points sont distinctes.

On donne \(A(0;0)\), \(B(3;4)\), \(C(1;0)\) et \(D(5;3)\). Les segments \([AB]\) et \([CD]\) ont la même longueur. Cela suffit-il à prouver le parallélisme des droites ? Justifie avec les coordonnées. Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}5-1\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\). Dans ce repère orthonormé, leurs carrés de longueurs sont bien \(3^2+4^2=9+16=25\) et \(4^2+3^2=16+9=25\) ; les deux longueurs valent \(5\). Mais

Reprends \(A(1;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\) et \(D(2;1)\). On trouve bien \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\). Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème de parallélisme ? Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\), donc le déterminant vaut \(0\times0-0\times2=0\). Ce calcul prouve la colinéarité du vecteur nul et de \(\overrightarrow{CD}\), ce qui est toujours vrai. Mais \(A=B\) : la condition \(A\ne B\) du théorème manque, et la droite \((AB)\) n’est pas définie. Un résultat algébrique vrai ne crée pas l’objet géométrique absent.

Erreur à examiner. Une copie dispose de deux vecteurs portés par des droites définies, \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\), puis conclut : « Ils ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles. »

Première erreur. Le critère demande la colinéarité, pas l’égalité. Il suffit d’un coefficient commun ; il peut être négatif. Exemple plus simple. Les vecteurs \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}\) sont différents, mais le second est \(-3\) fois le premier. Ils ont la même direction.

Nouvel essai. Étudie \((AB)\) et \((CD)\) pour \(A(0;0)\), \(B(1;2)\), \(C(3;1)\) et \(D(1;-3)\). Correction expliquée. Les droites sont définies. On a \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}1-3\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}\). Les deux produits \((-2)\times1=-2\) et \((-2)\times2=-4\) donnent \(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\) : les droites sont parallèles. Le déterminant confirme : \(1\times(-4)-2\times(-2)=-4-(-4)=0\). Si l’on veut préciser leur position, \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) donne \(1\times1-2\times3=1-6=-5\ne0\) ; elles sont strictement parallèles.

Retour à l’erreur initiale. \((-2)\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}\), donc les droites initiales sont bien parallèles. Avec ces seules coordonnées de vecteurs, on ne peut pas encore décider si elles sont confondues.

À une séance suivante, avant de relire, on te donne \(A(-1;-2)\), \(B(3;0)\), \(C(0;4)\) et \(D(2;5)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles strictement parallèles ? Rédige les deux vérifications nécessaires. Indice avant correction. Établis d’abord le parallélisme, puis examine le point \(C\). Correction expliquée. \(A\ne B\) et \(C\ne D\). \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-(-1)\\0-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}2-0\\5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Le déterminant vaut \(4\times1-2\times2=4-4=0\) : les droites sont parallèles. Ensuite, on calcule le vecteur allant de \(A\) à \(C\) :

• Trois points alignés ? Avec \(A\ne B\), tester \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

• Deux droites parallèles ? Avec \(A\ne B\) et \(C\ne D\), tester \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).

• Parallèles et distinctes ? Après le premier test, vérifier que \(C\) n’appartient pas à \((AB)\).

Le calcul doit déboucher sur la conclusion géométrique demandée. Le vecteur nul explique certains déterminants nuls, mais ne définit jamais une direction de droite.

On te demande : a) une distance ; b) si trois points sont alignés ; c) le milieu de deux points. Quel type de résultat faut-il rechercher ? Correction expliquée. a) Un nombre positif ou nul, calculé dans un repère orthonormé par Pythagore. b) Une justification d’alignement, par exemple un déterminant nul de deux vecteurs appropriés. c) Les deux moyennes des coordonnées. Si tu choisis un outil au seul mot « coordonnées », commence plutôt par la nature de la conclusion demandée.

Je reconnais : un point ou un vecteur dépend d’un réel à déterminer, et une condition géométrique est imposée. Premier geste : écrire la propriété qui traduit exactement cette condition, avant de remplacer les lettres. Calculer ensuite, résoudre l’équation obtenue, puis contrôler chaque valeur dans les données initiales et vérifier que les droites éventuellement nommées existent. Une égalité vraie pour une valeur précise du paramètre n’est pas vraie pour toutes ses valeurs. Ici on cherche des valeurs ponctuelles ; on ne construit pas une équation ni une représentation analytique de droite.

Pour quelle valeur du réel \(t\) les vecteurs \(\vec u=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}t\\4\end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ? Le vecteur \(\vec u\) est non nul. On calcule le déterminant, en gardant la lettre comme un nombre à déterminer :

On donne \(A(-1;0)\), \(B(2;3)\) et \(M(t+1;2t-1)\). Cherchons les valeurs de \(t\) pour lesquelles ces trois points sont alignés. Les points \(A\) et \(B\) sont distincts. On calcule \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}(t+1)-(-1)\\(2t-1)-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t+2\\2t-1\end{pmatrix}\).

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}m\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}2\\m\end{pmatrix}\), le déterminant vaut \(m\times m-2\times2=m^2-4\). On reconnaît une différence de carrés : \(m^2-4=(m-2)(m+2)\). Le contrôle par développement montre les quatre produits :

Dans un triangle \(ABC\) non aplati, \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([AC]\). Prouvons \((IJ)\parallel(BC)\).

Voie géométrique. Le théorème des milieux, déjà établi au collège, affirme que le segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Les deux hypothèses de milieu sont ici exactement données : c’est la voie la plus courte.

Voie vectorielle. Chasles et les caractérisations des milieux donnent

Voie repérée. On choisit le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), possible car le triangle n’est pas aplati. On a \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\) ; les formules du milieu donnent \(I(\frac12;0)\), \(J(0;\frac12)\). Alors \(\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{BC}\). Ce repère n’est pas nécessairement orthonormé : cela ne gêne ni le milieu ni la colinéarité. En revanche, on ne pourrait pas y utiliser sans précaution la formule usuelle de distance.

Essai guidé. Trouver \(s\) pour que \(\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}s\\3\end{pmatrix}\) soient colinéaires : commencer par \(2\times3-(-1)\times s\). À tenter avant la correction. \(P(0;1)\), \(Q(2;3)\), \(R(t;5)\). Pour quelle valeur de \(t\) les trois points sont-ils alignés ? Indice avant correction. Le paramètre ne doit apparaître que dans les coordonnées où il est donné. Correction expliquée. Premier essai : \(6+s=0\), donc \(6+s-6=0-6\) et \(s=-6\) ; on retrouve \((-6;3)=-3(2;-1)\). Second essai : \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}t-0\\5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\4\end{pmatrix}\) ; le déterminant est \(2\times4-2t=8-2t\). L’équation \(8-2t=0\) donne \(-2t=-8\) en soustrayant \(8\), puis \(t=\frac{-8}{-2}=4\), puisque \(-2\ne0\). Le contrôle \((4;4)=2(2;2)\) confirme l’alignement. À justifier : pourquoi faut-il garder l’équivalence entre condition géométrique et équation ? Réponse possible : cela assure que l’on ne perd pas de solution et que les valeurs obtenues réalisent bien la condition ; le contrôle final repère en outre une erreur de calcul éventuelle. Critères pour te vérifier : Je traduis avant de calculer, je résous avec les mêmes opérations aux deux membres et je reviens aux points ou vecteurs initiaux.

Erreur : \(3(t+2)\) devient \(3t+2\), ou \(-(3t+6)\) devient \(-3t+6\). Rappel : chaque terme reçoit le facteur extérieur. Exemple simple : \(2(a+1)=2\times a+2\times1=2a+2\) ; \(-(a+1)=-a-1\). Nouvel essai : développer \(2(t-3)-(t+4)\). Correction : \(2\times t+2\times(-3)-t-4=2t-6-t-4=(2-1)t-10=t-10\). Retour au déterminant de l’exemple : \(3(2t-1)-3(t+2)=6t-3-3t-6=3t-9\) ; les deux constantes sont négatives.

Dans un parallélogramme non aplati \(ABCD\), le milieu de \([AC]\) est \(I\). Montrer que \(I\) est aussi le milieu de \([BD]\). Faut-il nécessairement choisir un repère ? Puis traiter séparément : pour quelle valeur de \(r\), les vecteurs \((r;2)\) et \((3;6)\) sont-ils colinéaires ? Indice avant correction. La première question porte sur une propriété géométrique déjà connue ; la seconde donne directement des coordonnées. Correction expliquée. Les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu : la donnée de la nature du quadrilatère suffit, aucun repère n’est nécessaire. Pour les vecteurs, le déterminant vaut \(6r-2\times3=6r-6\). Il est nul pour \(6r=6\), donc \(r=1\) après division par \(6\ne0\). Le contrôle donne \((3;6)=3(1;2)\). Les données ont commandé deux choix différents : une propriété de configuration, puis un calcul coordonné. Critères pour te vérifier : Je choisis un outil adapté à ce qui est donné ; je n’ajoute pas un calcul long qui ne sert pas la preuve.

Pour \(A(a_x;a_y)\), \(B(b_x;b_y)\) et \(C(c_x;c_y)\), on calcule, dans cet ordre,

On exécute n = 7, puis n = n - 3. Que vaut ensuite n ? Que répond le test n == 4 ? Correction expliquée. Avant la seconde instruction, n vaut \(7\). Python calcule d’abord \(7-3=4\), puis range ce résultat sous le nom n : l’ancienne valeur est remplacée. Le test n == 4 répond True, c’est-à-dire « vrai » ; il ne modifie pas n. Si tu as lu la seconde instruction comme l’équation impossible \(n=n-3\), retiens que = est ici une affectation, pas le signe d’égalité d’une équation.

Une fonction reçoit des valeurs, effectue des instructions, puis renvoie un résultat. Les noms entre parenthèses après def sont ses paramètres ; à l’appel, on fournit les valeurs dans le même ordre. Les lignes décalées vers la droite appartiennent à la fonction.

# Domaine annonce : les six coordonnees sont des entiers.
def coord(ax, ay, bx, by):
    return bx - ax, by - ay


def det(ax, ay, bx, by, cx, cy):
    ux, uy = coord(ax, ay, bx, by)
    vx, vy = coord(ax, ay, cx, cy)
    p = ux * vy
    q = uy * vx
    d = p - q
    return d


def alignes(ax, ay, bx, by, cx, cy):
    return det(ax, ay, bx, by, cx, cy) == 0

coord renvoie les deux coordonnées du vecteur allant du premier point au second. Dans ux, uy = coord(...), la première valeur renvoyée est affectée à ux et la seconde à uy. Les six coordonnées des points ne sont pas modifiées. * signifie multiplier. return renvoie une valeur à celui qui a appelé la fonction et termine cet appel. == compare deux valeurs et produit le booléen True ou False. Ce sont des réponses logiques, pas des noms de points.

Méthode d’utilisation. Écris les coordonnées dans l’ordre \(a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y\), appelle alignes, puis traduis sa réponse en phrase. Pour contrôler, appelle det avec les mêmes données et vérifie une fois à la main.

Pour des coordonnées entières, alignes renvoie True si et seulement si les trois points sont alignés, y compris lorsque certains points sont confondus. Démonstration. Les deux appels à coord donnent exactement \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les variables p, q, puis d contiennent donc respectivement \(u_xv_y\), \(u_yv_x\), puis leur différence : le déterminant. La comparaison à zéro traduit le critère rappelé ci-dessus, dans les deux sens. Si \(A=B\), les deux coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont nulles, donc \(d=0\) ; la réponse True correspond bien à l’alignement des positions présentes, sans créer une droite \((AA)\). \(\square\)

Pour \(A(-3;2)\), \(B(1;-1)\), \(C(5;-4)\), on saisit alignes(-3, 2, 1, -1, 5, -4). Voici ce qui se passe pendant cet appel.

Une variable telle que p n’a pas encore de valeur locale avant sa ligne d’affectation. La ligne de d doit venir après celles de p et q. Le résultat est donc : les points \(A,B,C\) sont alignés. Comme contrôle indépendant, \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}8\\-6\end{pmatrix}=2\overrightarrow{AB}\).

Pour \(A(-2;-1)\), \(B(1;5)\), \(C(2;7)\), complète d’abord les quatre coordonnées des vecteurs, puis les produits p, q. Prévois la réponse de alignes avant de lancer le code. Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-2)\\5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\7-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}\). Ainsi \(p=3\times8=24\), \(q=6\times4=24\) et \(d=24-24=0\). L’appel alignes(-2, -1, 1, 5, 2, 7) renvoie True : les points sont alignés. Critères pour te vérifier : les arguments sont dans l’ordre annoncé ; les deux produits sont calculés avant leur différence ; la réponse est interprétée.

Sans exécuter le programme d’abord, prévois les réponses de det puis de alignes pour \(A(2;-3)\), \(B(2;4)\) et \(C(5;1)\). Écris les appels correspondants. Indice avant correction. Une première coordonnée de vecteur peut être nulle : ce programme ne fait aucune division. Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-2\\4-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5-2\\1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\). Le déterminant est \(0\times4-7\times3=0-21=-21\). det(2, -3, 2, 4, 5, 1) renvoie donc \(-21\) et alignes(2, -3, 2, 4, 5, 1) renvoie False : les points ne sont pas alignés.

Pourquoi ne remplace-t-on pas le déterminant par le test ux / vx == uy / vy ? Et pourquoi ne renvoie-t-on pas seulement le nombre d ? Correction expliquée. Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\-14\end{pmatrix}\), la première division serait \(0/0\), interdite, alors que \(\vec v=-2\vec u\) : les vecteurs sont colinéaires. Le déterminant \(0\times(-14)-7\times0=0\) répond sans diviser. Par ailleurs, det renvoie un nombre ; alignes doit renvoyer le résultat de la comparaison de ce nombre à zéro. Critères pour te vérifier : citer la division par zéro ; donner un cas valide que cette division empêcherait de traiter ; distinguer nombre et réponse logique.

Avec les coordonnées décimales exactes \(A(0;0)\), \(B(0{,}1;0{,}3)\) et \(C(0{,}3;0{,}9)\), on a \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\). Pourtant l’appel Python det(0, 0, 0.1, 0.3, 0.3, 0.9) ne donne pas exactement zéro dans le calcul flottant usuel. La raison est que certains décimaux sont stockés sous forme approchée : les deux produits, mathématiquement égaux à \(0{,}09\), peuvent être arrondis différemment.

Réparation adaptée à ces données exactes. Multiplier toutes les coordonnées par \(10\) donne \(A'(0;0)\), \(B'(1;3)\), \(C'(3;9)\). Le déterminant entier vaut \(1\times9-3\times3=9-9=0\) et alignes(0, 0, 1, 3, 3, 9) renvoie True. Cette multiplication commune conserve la colinéarité. Elle ne rend pas exactes des mesures qui étaient déjà incertaines. Remplacer « égal à zéro » par « très proche de zéro » est un autre choix de modèle ; on ne le présente pas ici comme une preuve d’alignement exact.

Première erreur. Une version utilise d = p + q. Pour \(A(-1;3)\), \(B(2;5)\), \(C(5;7)\), elle calcule \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\), puis \(p=3\times4=12\), \(q=2\times6=12\) et renvoie \(24\) au lieu de \(0\). Elle conclurait à tort False.

Rappel et exemple plus simple. Le déterminant est le premier produit moins le second. Avec \(A(0;0)\), \(B(1;1)\), \(C(2;2)\), il vaut \(1\times2-1\times2=2-2=0\). Les vecteurs \((1;1)\) et \((2;2)\) ont bien un coefficient commun \(2\). Il faut donc remplacer la ligne fautive par d = p - q.

Nouvel essai. Teste maintenant \(A(3;-2)\), \(B(1;4)\), \(C(0;7)\) ; prévois les états avant de lire. Indice avant correction. Les deux produits sont négatifs. Soustraire le second n’est pas l’ajouter. Correction expliquée. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-3\\4-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0-3\\7-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\9\end{pmatrix}\). Alors \(p=(-2)\times9=-18\), \(q=6\times(-3)=-18\) et \(d=-18-(-18)=-18+18=0\) : la réponse corrigée est True. Retour à la première situation. La ligne corrigée donne \(12-12=0\), et non \(12+12\) : les trois points initiaux sont alignés. Relance les deux cas après la réparation.

Pour \(A(4;2)\), \(B(-2;5)\), \(C(0;4)\), écris l’appel, donne les quatre coordonnées vectorielles, les deux produits et les réponses des deux fonctions. Si l’on remplace \(B\) par \(A\), la réponse devient-elle fausse ? Peut-on alors parler de la droite \((AB)\) ? Indice avant correction. Le code teste l’alignement de trois positions ; il ne construit pas une droite à partir de \(A\) et \(B\). Correction expliquée. L’appel est alignes(4, 2, -2, 5, 0, 4). \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2-4\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0-4\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}\) ; \(p=(-6)\times2=-12\), \(q=3\times(-4)=-12\), \(d=-12-(-12)=0\). La fonction det renvoie \(0\), et alignes renvoie True. Si \(B=A\), \(\overrightarrow{AB}=\vec0\) et \(d=0\times2-0\times(-4)=0\) encore. La réponse reste True, mais \((AB)\) n’est pas définie par ces deux points confondus. Critères pour te vérifier : trace dans l’ordre ; distinction entre les deux sorties ; conclusion juste même lorsque deux points sont confondus.

Coordonnées entières \(\longrightarrow\) différences arrivée-départ \(\longrightarrow\) deux produits puis leur différence \(\longrightarrow\) comparaison à zéro \(\longrightarrow\) phrase géométrique. Un test correct sur quelques exemples aide à repérer des erreurs ; la justification générale du programme vient du critère mathématique et de sa traduction fidèle.

Dans un repère, \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\) et le milieu de \([AB]\) est \((\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})\). Les coordonnées d’une somme s’additionnent et celles de \(k\vec u\) sont multipliées par \(k\). Chasles donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Deux vecteurs non nuls multiples l’un de l’autre donnent des directions parallèles. Pour un quadrilatère non aplati \(IJKL\), \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}\) caractérise un parallélogramme. Dans un triangle, une médiane est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Ces outils ne demandent pas un repère orthonormé.

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([BC]\), alors

Soient quatre points \(A,B,C,D\). On note \(I,J,K,L\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\). Si les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\) ne sont pas colinéaires, alors \(IJKL\) est un parallélogramme non aplati. Démonstration. Le lemme appliqué aux triplets \(A,B,C\) puis \(A,D,C\) donne

Prenons \(A(0;0)\), \(B(6;1)\), \(C(5;5)\), \(D(-1;3)\). Les milieux sont

Dans un triangle non aplati \(ABC\), les trois médianes passent par un même point \(G\), appelé centre de gravité. Dans un repère,

Notons \(J\) le milieu de \([CA]\) et \(K\) celui de \([AB]\). Les mêmes soustractions, en partant cette fois de \(B\) puis de \(C\), donnent explicitement

Pour \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(0;3)\),

Dans un repère, \(A(-2;1)\), \(B(4;1)\) et \(C(1;7)\). Déterminer leur centre de gravité \(G\) et le milieu \(I\) de \([BC]\), puis vérifier la relation \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}\). Expliquer ce que cette relation dit de la position de \(G\). Indice avant correction. Commencer par deux moyennes différentes : trois coordonnées pour \(G\), deux pour \(I\). Correction expliquée. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(6;0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(3;6)\) ont pour déterminant \(6\times6-0\times3=36\ne0\) : le triangle n’est pas aplati.

Dans un repère \((O;\vec i,\vec j)\), écrire \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) signifie \(\vec u=x\vec i+y\vec j\). Pour \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\), \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) et un réel \(k\) :

1. Deux flèches éloignées peuvent-elles représenter le même vecteur ? Oui : les mêmes direction, sens et longueur donnent le même déplacement. L’origine de la flèche n’est pas une donnée du vecteur libre.

2. Les coordonnées sont-elles toujours des longueurs ? Non. Elles sont des coefficients selon les deux vecteurs de la base ; elles peuvent être négatives. La norme est une longueur, donc positive ou nulle.

3. Faut-il un repère orthonormé pour calculer un milieu ? Non. Les moyennes des coordonnées, les différences, les sommes et la colinéarité fonctionnent dans tout repère du plan. Les formules de longueur rappelées ici exigent, elles, un repère orthonormé.

4. Une coordonnée nulle rend-elle le vecteur nul ? Non : les deux doivent être nulles. Le vecteur \((0;5)\) est non nul et peut diriger une droite verticale.

5. Pourquoi ne pas toujours diviser les coordonnées ? Un dénominateur peut être nul. On choisit alors une coordonnée non nulle, ou l’on utilise le déterminant qui ne comporte aucune division.

6. Déterminant nul signifie-t-il vecteurs égaux ? Non : \((1;2)\) et \((-3;-6)\) sont colinéaires, mais différents. Le facteur commun est \(-3\), pas \(1\).

7. Un déterminant non nul signifie-t-il perpendiculaire ? Non : il dit seulement non colinéaire. Dans un repère orthonormé, par exemple, \((1;0)\) et \((1;1)\) ont un déterminant égal à \(1\) et ne sont pas perpendiculaires.

8. Un résultat de calculatrice ou de programme suffit-il pour une preuve ? Un calcul exact correctement justifié peut établir le résultat. Un dessin approché ou un test en nombres décimaux machine peut seulement donner un indice ; il faut comprendre les conditions et les limites du calcul.

Toutes les coordonnées suivantes sont données dans un repère orthonormé. Tente les six questions avant de consulter les indices, puis les corrections. Écris les conclusions en français, pas uniquement des nombres.

1. \(\vec u=2\vec i-3\vec j\) et \(\vec v=-\vec i+4\vec j\). Donner les coordonnées de \(2\vec u+\vec v\) et sa norme.

2. \(A(-2;1)\) et \(B(4;-3)\). Trouver \(\overrightarrow{AB}\), le milieu \(I\) de \([AB]\), puis le point \(S\) tel que \(I\) soit le milieu de \([AS]\).

3. Les points \(P(1;-1)\), \(Q(3;2)\) et \(R(5;5)\) sont-ils alignés ? Dire si \(Q\) est le milieu de \([PR]\).

4. \(A(0;1)\), \(B(2;2)\), \(C(1;4)\), \(D(5;6)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ? Sont-elles la même droite ?

5. Déterminer tous les réels \(t\) pour lesquels \(\vec a=(t;2)\) et \(\vec b=(6;3)\) sont colinéaires. Contrôler avec un coefficient commun.

6. Pour trois points \(A,B,C\), un programme a correctement calculé les coordonnées de \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec v=\overrightarrow{AC}\) : \(u_x=2\), \(u_y=3\), \(v_x=4\), \(v_y=6\). Il utilise d = ux * vy + uy * vx pour tester leur alignement. Localiser l’erreur, corriger le code et donner le booléen attendu pour d == 0.

Indice avant correction. 1) Coordonner avant de chercher une longueur. 2) Dans le problème inverse, le milieu reste fixé. 3) Choisir deux vecteurs reliés aux trois points. 4) Deux tests différents sont nécessaires. 5) Écrire une équation, puis vérifier sa solution. 6) Relire le signe entre les deux produits.

1. \(2\vec u+\vec v=(2\times2+(-1);2\times(-3)+4)=(4-1;-6+4)=(3;-2)\). Sa norme vaut \(\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\). Le carré de cette longueur vaut bien \(13\) ; ne pas confondre avec \(3+(-2)=1\).

2. \(\overrightarrow{AB}=(4-(-2);-3-1)=(6;-4)\). Le milieu est \(I(({-2+4})/2;({1-3})/2)=(1;-1)\). Pour \(S\), les équations sont \(1=(-2+x_S)/2\) et \(-1=(1+y_S)/2\). Multiplier les deux membres par \(2\) donne \(2=-2+x_S\) et \(-2=1+y_S\). Ajouter \(2\) dans la première donne \(x_S=4\) ; soustraire \(1\) dans la seconde donne \(y_S=-3\). Ainsi \(S=B\), ce qui est cohérent : \(B\) était déjà le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\).

3. \(\overrightarrow{PQ}=(3-1;2-(-1))=(2;3)\) et \(\overrightarrow{PR}=(5-1;5-(-1))=(4;6)\). Le déterminant vaut \(2\times6-3\times4=12-12=0\) et \(P\ne Q\) : les trois points sont alignés. Le milieu de \([PR]\) est \(((1+5)/2;(-1+5)/2)=(3;2)=Q\). Le contrôle \(\overrightarrow{PR}=2\overrightarrow{PQ}\) exprime aussi que \(Q\) est à mi-chemin.

4. Les deux droites sont définies par des points distincts. \(\overrightarrow{AB}=(2;1)\) et \(\overrightarrow{CD}=(5-1;6-4)=(4;2)\). Le déterminant \(2\times2-1\times4=0\) donne des droites parallèles. Pour savoir si elles sont confondues, on teste \(C\) par rapport à \((AB)\) : \(\overrightarrow{AC}=(1;3)\), et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\times3-1\times1=6-1=5\ne0\). Ainsi \(C\notin(AB)\) : les deux droites sont strictement parallèles.

5. Le déterminant vaut \(3t-12\). L’équation \(3t-12=0\) équivaut à \(3t=12\) en ajoutant \(12\) aux deux membres, puis \(t=12/3=4\) en divisant par \(3\ne0\). Pour \(t=4\), \(\vec a=(4;2)\) et \(\vec b=(6;3)=\frac32\vec a\), car \(\frac32\times4=6\) et \(\frac32\times2=3\).

6. Il faut soustraire les produits : d = ux * vy - uy * vx. La mauvaise ligne donnait \(2\times6+3\times4=24\) ; la bonne donne \(12-12=0\). Le test d == 0 retourne donc True. Les coordonnées sont ici des entiers exacts ; la conclusion est justifiée par le critère du déterminant, pas par le seul mot affiché par la machine.

Si une réponse est fausse, repère la première ligne qui ne respecte plus une définition, une condition ou une règle de calcul. Ne recopie pas seulement la dernière ligne du corrigé.

• Lecture et ordre des coordonnées : reprendre les essais de l’unité 1 et de l’unité 2.

• Signes, sommes et produits : reprendre le bloc Reprise de l’unité 3.

• Longueurs, racines, repère : reprendre l’unité 4 ; milieu et point inconnu : l’unité 5.

• Déterminant et coefficient : reprendre l’unité 6 ; points et droites concernés : l’unité 7.

• Choix de méthode et paramètre : reprendre l’unité 8 ; trace d’un programme : l’unité 9.

À une séance ultérieure, refaire la tâche « À reprendre plus tard » de l’unité concernée avant d’en relire la correction. Réussir une fois en regardant une solution et réussir de nouveau sans aide sont deux situations différentes.