Définition — Deux ensembles de nombres

Les entiers naturels forment l’ensemble \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}\). Les entiers relatifs sont les naturels et leurs opposés : \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\).

La notation \(n\in\mathbb{N}\) se lit « \(n\) appartient à \(\mathbb{N}\) » ; \(x\notin\mathbb{Z}\) signifie que \(x\) n’est pas entier. Tout naturel est relatif, mais un relatif négatif n’est pas naturel.

Méthode — Reconnaître un entier à sa valeur exacte

Premier geste : calculer ou simplifier l’écriture, sans l’arrondir. Ainsi \(6{,}0=6\in\mathbb{N}\), et \(\dfrac{-42}{6}=-7\in\mathbb{Z}\), mais \(-7\notin\mathbb{N}\). En revanche \(\dfrac72=3{,}5\notin\mathbb{Z}\). Une virgule ou une barre de fraction ne suffit donc pas pour classer un nombre. Vigilance : \(9{,}99\) est proche de 10, mais n’est pas 10.

Théorème rappelé — Division euclidienne

Pour un entier relatif \(a\) et un entier \(b>0\), il existe un unique couple d’entiers \(q,r\) tel que \[\boxed{a=bq+r\qquad\text{et}\qquad 0\leq r<b.}\] \(a\) est le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient euclidien et \(r\) le reste. Lorsque \(a\geq0\), le quotient \(q\) est naturel. Ce résultat est rappelé ici ; sa preuve générale n’est pas reprise.

Méthode — Encadrer, calculer le reste, contrôler

Pour diviser 173 par 12, on cherche deux multiples consécutifs : \[12\times14=168\leq173<180=12\times15.\] Donc \(q=14\) et \(r=173-168=5\). La conclusion contient deux informations : \[173=12\times14+5,\qquad 0\leq5<12.\] Le quotient exact \(173/12=14+5/12\) ne doit pas être confondu avec 14. Un reste égal ou supérieur à 12 permettrait encore un paquet de 12.

Avec un dividende négatif : \(-25\leq-23<-20\), donc \(-23=5\times(-5)+2\), avec \(0\leq2<5\). Le reste n’est pas négatif.

Définition — Une égalité avec un facteur entier

Pour deux entiers relatifs \(d,n\), on dit que \(n\) est un multiple de \(d\), ou que \(d\) est un diviseur de \(n\), lorsqu’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(n=dk\). La notation \(d\mid n\) se lit « \(d\) divise \(n\) ».

Par exemple \(-35=7\times(-5)\) prouve \(7\mid(-35)\) : le facteur \(-5\) est le témoin entier. En revanche \(10=4\times2{,}5\) ne prouve pas \(4\mid10\), car \(2{,}5\) n’est pas entier. On a effectivement \(10=4\times2+2\), avec un reste non nul.

Propriété — Zéro, un, opposés

Tout entier \(d\) divise zéro, car \(0=d\times0\). Les entiers 1 et \(-1\) divisent tout entier : \(n=1\times n=(-1)(-n)\). Tout entier est multiple de lui-même : \(n=n\times1\).

Changer le signe du diviseur ne change pas la divisibilité : \(n=dk=(-d)(-k)\). Avec la définition par un produit, zéro ne divise que zéro : \(0\times k\) vaut toujours 0. Cela n’autorise jamais une division numérique par zéro : \(0/0\) n’est pas défini.

Caractérisation — Quotient entier et reste nul

Pour \(d\ne0\), \(d\mid n\) équivaut à dire que \(n/d\) est entier. Pour \(d>0\), cela équivaut aussi à un reste nul dans la division euclidienne de \(n\) par \(d\).

Propriété — Somme, différence et transmission d’une divisibilité

La somme et la différence de deux multiples d’un même entier \(d\) sont encore des multiples de \(d\).

Proposition. Si \(a\mid b\) et \(b\mid c\), alors \(a\mid c\). En effet, \(b=ak\) et \(c=b\ell\) donnent \(c=a(k\ell)\), avec \(k\ell\) entier.

Méthode — Démontrer une divisibilité pour tout entier

On reconnaît une expression dépendant d’un entier. On cherche d’abord à mettre le diviseur attendu en facteur, puis on justifie que le facteur restant est entier.

Pour tout entier \(n\), \[15n+21=(3\times5)n+3\times7=3(5n+7).\] Comme \(5n+7\) est entier, \(15n+21\) est divisible par 3. Avec \(n=-2\), on retrouve \(-9=3\times(-3)\) : ce calcul contrôle un cas, mais ne remplace pas la démonstration générale.

Méthode — Trouver tous les diviseurs positifs

Pour un entier \(n>0\), associer les facteurs par paires. Pour 72 : \[72=1\times72=2\times36=3\times24=4\times18=6\times12=8\times9.\] Les tests de 5 et 7 échouent : \(72=5\times14+2=7\times10+2\). On s’arrête après 8, car \(9^2>72\). En effet, si \(n=de\) avec \(0<d\leq e\), alors \(d^2\leq n\) : chaque paire possède un petit facteur déjà testé.

Les diviseurs positifs de 72 sont donc \(1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\). Contrôles : vérifier les produits et trier la liste. Pour un carré, un facteur peut être son propre partenaire : dans \(36=6\times6\), on ne liste 6 qu’une fois. Zéro, lui, possède une infinité de diviseurs positifs : cette méthode de liste finie suppose \(n>0\).

Méthode — Lister les multiples dans une plage

Pour les multiples de 7 entre 50 et 100, bornes incluses : \(7\times7=49<50\) et \(7\times8=56\geq50\). On commence donc à 56, puis on ajoute 7 : \[56,63,70,77,84,91,98.\] Le suivant 105 dépasse 100. Les produits voisins contrôlent que la liste est complète. Si la borne supérieure était 98 exclu, il faudrait retirer 98.

Critères rappelés — Choisir les chiffres à regarder

Pour un entier naturel, les critères suivants sont des équivalences.

Si le nombre n’a qu’un chiffre, on peut le précéder d’un zéro pour le critère par 4 : \(7=07\). Justification du critère par 4. Écrivons \(n=100q+t\), où \(t\) est le nombre formé par les deux derniers chiffres. Comme \(100q=4(25q)\) est un multiple de 4, \(t\) multiple de 4 entraîne \(n\) multiple de 4 par addition. Réciproquement, \(n\) multiple de 4 entraîne \(t=n-100q\) multiple de 4 par soustraction. Les autres critères sont ici rappelés du collège, sans reprendre leurs démonstrations générales.

Pour un entier négatif, on teste son opposé positif : \(n=dk\) entraîne \(-n=d(-k)\). Zéro vérifie tous ces critères, car \(0=d\times0\).

Exemple — Décider rapidement, puis contrôler

Pour 5832, la somme des chiffres vaut \(5+8+3+2=18\) : le nombre est divisible par 9, donc aussi par 3. Ses deux derniers chiffres forment 32, multiple de 4. On contrôle \(5832=9\times648=4\times1458\).

Pour un diviseur sans critère connu, revenir à la division : \(5832=7\times833+1\). Le reste non nul montre que 5832 n’est pas divisible par 7. La somme des chiffres n’aurait pas permis ce test.

Définition — Pair et impair

Un entier \(n\) est pair s’il s’écrit \(n=2k\) avec \(k\) entier. Il est impair s’il s’écrit \(n=2k+1\) avec \(k\) entier. Sa parité indique à laquelle de ces deux catégories il appartient.

Zéro est pair : \(0=2\times0\). Les négatifs sont aussi concernés : \(-12=2\times(-6)\) est pair et \(-11=2\times(-6)+1\) est impair. Un nombre non entier, par exemple \(3{,}2\), n’est ni pair ni impair.

Propriété — Deux possibilités, sans chevauchement

Tout entier est soit pair, soit impair, et ne peut pas être les deux.

Propriétés — Sommes, différences et produits

Vigilance : « produit pair » n’impose pas deux facteurs pairs : \(2\times5=10\) est pair. Il suffit d’au moins un facteur pair.

Méthode — Déterminer la parité d’une expression

Vérifier d’abord que les lettres désignent des entiers. Repérer ensuite les opérations : les produits se traitent avant les sommes.

• Par les règles de parité, on peut conclure sans connaître les nombres.

• Pour une preuve algébrique, remplacer chaque pair par \(2k\) et chaque impair par \(2k+1\), avec des lettres distinctes pour des nombres indépendants.

On conclut après avoir obtenu \(2K\) ou \(2K+1\) et précisé que \(K\) est entier. Un essai numérique vérifie la cohérence, pas tous les cas.

Exemple — Deux voies pour la même expression

Soient \(a\) un entier impair et \(b\) un entier quelconque. Déterminons la parité de \(3a+2b-5\).

Par les règles : \(3a\) est impair, \(2b\) est pair ; leur somme est impaire. En soustrayant l’impair 5, on obtient un nombre pair.

Par le calcul : écrivons \(a=2k+1\), avec \(k\) entier. Alors \[\begin{align*} 3a+2b-5 &=3(2k+1)+2b-5\\ &=3\times2k+3\times1+2b-5\\ &=6k+2b-2=2(3k+b-1). \end{align*}\] Comme \(3k+b-1\) est entier, l’expression est paire. Aucune parité particulière de \(b\) n’est nécessaire. Pour \(a=-3,b=4\), le contrôle donne \(-9+8-5=-6\).

Théorème — Le carré d’un entier impair est impair

Si \(n\) est un entier impair, alors \(n^2\) est impair.

Piège : \((2k+1)^2\) ne vaut pas \(4k^2+1\) : les produits croisés fournissent \(4k\).

Corollaire — Un entier et son carré ont même parité

Pour un entier \(n\), \(n^2\) est pair si et seulement si \(n\) est pair. De même, \(n^2\) est impair si et seulement si \(n\) est impair.

Méthode et vocabulaire — Choisir un raisonnement

Une implication va d’une hypothèse à une conclusion ; sa réciproque les échange et n’est pas automatique. « La somme de deux pairs est paire » est vrai, mais une somme paire n’impose pas deux pairs : \(7+9=16\) est un contre-exemple.

La contraposée de « si A alors B » est « si non B alors non A ». Dans le corollaire, «\(n\) impair entraîne \(n^2\) impair» permet le retour «\(n^2\) pair entraîne \(n\) pair». Une équivalence exige de justifier les deux sens.

Pour démontrer, partir des hypothèses et transformer l’expression, ou répartir la situation en cas qui la couvrent entièrement. Pour réfuter un « toujours », un seul contre-exemple respectant les hypothèses suffit. Quelques exemples favorables, eux, ne démontrent pas une règle générale.

Exemple démontré — Le produit de deux entiers consécutifs

Pour tout entier \(n\), le produit \(n(n+1)\) est pair.

Définition et propriété — Nombres premiers

Un nombre premier est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs distincts :1 et lui-même. Les nombres \(2,3,5,7,11\) sont premiers ; 0 et 1 ne le sont pas. En effet, 0 est divisible par tous les entiers positifs et 1 n’a qu’un diviseur positif. Un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier est dit composé.

2 est le seul premier pair : un pair supérieur à 2 possède le diviseur 2, distinct de 1 et de lui-même. La réciproque « impair donc premier » est fausse : \(9=3\times3\).

Définition — Décomposition en facteurs premiers

Décomposer un entier \(n\geq2\), c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers. Les puissances regroupent les répétitions : \(72=2\times2\times2\times3\times3=2^3\times3^2\). Un exposant compte des facteurs : \(2^3=8\), et non \(2\times3=6\). On convient que \(p^0=1\).

Théorème rappelé — Existence et unicité

Tout entier naturel \(n\geq2\) se décompose en facteurs premiers, de façon unique à l’ordre des facteurs près.

Justification de l’existence. S’il n’est pas premier, on le partage en deux facteurs supérieurs à 1, puis on partage chaque facteur composé. Le long d’une branche, les entiers diminuent strictement et restent au moins égaux à 2 ; les découpages finissent donc avec des facteurs premiers. Le produit est conservé à chaque découpage.

L’unicité est admise ici. Deux décompositions n’ont pas deux inventaires différents de facteurs premiers.

Méthode — Décomposer 420, puis vérifier

Diviser par le plus petit nombre premier possible et recommencer sur le quotient, en gardant le même diviseur tant qu’il convient.

Ainsi \(420=2\times2\times3\times5\times7=2^2\times3\times5\times7\). On s’arrête au quotient 1 :1 n’est pas un facteur premier à ajouter.

L’arbre est une autre voie : \(420=42\times10\), \(42=6\times7\), \(6=2\times3\) et \(10=2\times5\). On multiplie seulement les feuilles premières entourées, pas les nombres intermédiaires déjà remplacés. Contrôle : \(4\times3\times5\times7=420\), et chaque base est première.

Propriété — Lire les facteurs disponibles

Pour deux entiers \(d,n\geq2\), \(d\) divise \(n\) si et seulement si chaque facteur premier de \(d\) figure dans \(n\) avec un exposant au moins aussi grand.

Le diviseur 1 est traité directement : il divise tout entier. Cette propriété explique les choix de facteurs dans les fractions et les problèmes suivants.

Définition et convention — Quotient, signe et zéro

Pour \(a,b\) entiers avec \(b\ne0\), \(a/b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). \(a\) est le numérateur, \(b\) le dénominateur. On écrit habituellement la forme finale avec un dénominateur positif : \[\frac5{-8}=\frac{-5}{8}=-\frac58,\qquad \frac{-5}{-8}=\frac58.\] On ne divise jamais par 0. En revanche, \(0/b=0\) pour \(b\ne0\) ; sa forme fractionnaire irréductible à dénominateur positif est \(0/1\).

Propriété — Conserver la valeur d’une fraction

Si \(b\ne0\) et \(k\ne0\), alors \(\displaystyle\frac ab=\frac{ka}{kb}\).

Réciproquement, si \(a=da'\) et \(b=db'\) avec \(d\ne0\), on peut simplifier le facteur commun : \(\displaystyle\frac ab=\frac{a'}{b'}\). La même opération doit porter sur le numérateur et le dénominateur.

Définition — Une écriture irréductible

Une fraction \(a/b\), avec \(b\ne0\), est irréductible lorsque ses deux termes n’ont aucun diviseur commun positif autre que 1. On dit alors qu’ils sont premiers entre eux.

Cela ne signifie pas que chacun est premier : \(35=5\times7\) et \(64=2^6\) sont composés, mais \(35/64\) est irréductible. L’irréductibilité concerne l’écriture : \(2/3=4/6\), mais seule la première est irréductible.

Critère — Justifier que la simplification est terminée

On suppose le dénominateur positif. Si le numérateur vaut 1 ou \(-1\), ou si le dénominateur vaut 1, la fraction est déjà irréductible. Dans les autres cas de numérateur non nul, on décompose le numérateur sans son signe et le dénominateur : ces deux entiers sont au moins égaux à 2. La fraction est irréductible exactement lorsque leurs décompositions n’ont aucun facteur premier commun.

Le cas zéro est séparé : tout diviseur du dénominateur divise 0 ; seul \(0/1\) est irréductible avec un dénominateur positif.

Méthode — Deux voies pour réduire la même fraction

Première voie : simplifications successives. Pour \(-84/132\), diviser les deux termes par 2, encore par 2, puis par 3 : \[\frac{-84}{132}=\frac{-84\div2}{132\div2}=\frac{-42}{66} =\frac{-42\div2}{66\div2}=\frac{-21}{33} =\frac{-21\div3}{33\div3}=\frac{-7}{11}.\] Les nombres 7 et 11 sont premiers distincts : le résultat est irréductible. Cette voie convient lorsqu’un petit facteur commun se voit immédiatement ; on continue tant qu’il en reste un.

Deuxième voie : décompositions premières. On écrit \(84=2^2\times3\times7\) et \(132=2^2\times3\times11\). Le facteur commun \(2^2\times3=12\) donne \[\frac{-84}{132}=\frac{12\times(-7)}{12\times11}=\frac{-7}{11}.\] Cette voie organise tous les facteurs. On ne retire que les exemplaires présents des deux côtés. Un facteur entièrement simplifié laisse 1, pas 0. Contrôle : \(-7\times12=-84\) et \(11\times12=132\).

Propriétés rappelées — Addition, soustraction et multiplication

Pour des entiers \(a,b,c,d\) avec \(b\ne0\) et \(d\ne0\) : \[\frac ab\mathbin{\pm}\frac cd=\frac{ad\mathbin{\pm}bc}{bd}, \qquad \frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}.\] Pour additionner ou soustraire, l’invariance donne les écritures \(ad/(bd)\) et \(bc/(bd)\) : on réunit des parts de même taille. On conserve le dénominateur et on opère sur les numérateurs. Un multiple commun plus petit que \(bd\) peut faciliter le calcul. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : aucun dénominateur commun n’est nécessaire.

Exemples — Choisir la règle selon l’opération

Somme. Comme \(36=12\times3=18\times2\) : \[\frac5{12}+\frac7{18} =\frac{5\times3}{12\times3}+\frac{7\times2}{18\times2} =\frac{15+14}{36}=\frac{29}{36}.\] \(36=2^2\times3^2\), tandis que 29 n’est divisible ni par 2 ni par 3 : la fraction est irréductible.

Différence. Garder le signe et le dénominateur commun : \[\frac58-\frac7{12} =\frac{5\times3}{8\times3}-\frac{7\times2}{12\times2} =\frac{15-14}{24}=\frac1{24}.\] Produit. Les simplifications portent sur des facteurs : \[\frac{14}{15}\times\frac{25}{21} =\frac{(2\times7)(5\times5)}{(3\times5)(3\times7)} =\frac{(7\times5)\times10}{(7\times5)\times9} =\frac{10}{9}.\] Les facteurs premiers de 10 et 9 sont distincts : le résultat est irréductible.

Propriété — Diviser par une fraction non nulle

Pour \(b\ne0\), \(d\ne0\) et \(c\ne0\), \[\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc.\]

Le numérateur \(a\) du dividende peut être nul : c’est le diviseur qui doit être non nul.

Exemple — Nommer le diviseur avant de l’inverser

Dans \(\dfrac{-9}{10}\div\dfrac35\), le diviseur \(3/5\) est non nul et son inverse est \(5/3\) : \[\frac{-9}{10}\div\frac35=\frac{-9}{10}\times\frac53 =\frac{-45}{30}=-\frac32.\] Le résultat est irréductible. Contrôle : \(\displaystyle-\frac32\times\frac35=-\frac9{10}\). On ne retourne ni la première fraction, ni les deux.

Propriété et exemple — Comparer des fractions

Avec des dénominateurs positifs \(b,d\), comparer \(a/b\) et \(c/d\) revient à comparer \(ad\) et \(bc\), car leur dénominateur commun \(bd\) est positif. Par exemple \[\frac7{12}=\frac{14}{24}<\frac{15}{24}=\frac58.\] On retrouve le même ordre avec \(7\times8=56<60=5\times12\). Si un dénominateur est négatif, placer d’abord le signe au numérateur.

Piège — On simplifie des facteurs, pas des termes isolés

Dans \(\dfrac{6+9}{3}\), on ne peut pas simplifier 3 seulement dans 6 et obtenir \(2+9\). Il faut traiter tout le numérateur : \(\displaystyle\frac{6+9}{3}=\frac{3(2+3)}3=2+3=5\).

Méthode — Traduire avant de calculer

Définir l’inconnue et son unité ; traduire les contraintes par des produits ; préciser si l’on cherche une solution, toutes, un maximum ou un minimum positif. Choisir ensuite une liste complète, des facteurs premiers ou une division euclidienne. Enfin, contrôler les contraintes et justifier que la réponse est complète ou optimale.

Exemple — Le plus grand nombre de lots identiques

Un atelier dispose de 168 crayons verts et 126 crayons bleus. Il veut tout utiliser pour faire le plus grand nombre de lots identiques, avec la même quantité de chaque couleur par lot.

Si \(g\) est le nombre de lots, on doit avoir \(168=gv\) et \(126=gb\), où \(v,b\) sont des quantités entières. Le nombre \(g\) est donc un diviseur commun positif des deux stocks. \[168=2^3\times3\times7,\qquad126=2\times3^2\times7.\] Un diviseur commun ne peut utiliser qu’un facteur 2, un facteur 3 et un facteur 7 au maximum. Leur produit \(42\) convient ; tout autre diviseur commun ne prend qu’une partie de ces facteurs et ne peut donc pas être plus grand.

On réalise 42 lots de 4 crayons verts et 3 crayons bleus, puisque \(168=42\times4\) et \(126=42\times3\). Ces égalités contrôlent le partage ; l’argument sur les facteurs justifie le maximum. Maximiser le nombre de lots ne signifie pas maximiser la taille de chacun.

Exemple — La prochaine coïncidence de deux signaux

Deux signaux s’allument ensemble au départ, puis toutes les 12 minutes pour l’un et toutes les 18 minutes pour l’autre. On cherche le premier nouvel allumage commun.

Le temps \(t\) doit s’écrire \(t=12u=18v\), avec \(u,v\) entiers positifs. Il faut donc le plus petit multiple commun strictement positif. \[\begin{array}{l|llll} \text{premier signal}&12&24&36&48\ldots\\ \text{second signal}&18&36&54&72\ldots \end{array}\] La réponse est 36 minutes : \(36=12\times3=18\times2\). Avant 36, les seuls multiples positifs de 12 sont 12 et 24 ; aucun n’est multiple de 18. Cela justifie que 36 est le premier temps possible. Zéro correspond au départ et doit être exclu ici.

Notation — Quotient, reste, affectation et comparaison

Pour \(a\geq0\) et \(b>0\) entiers, a // b donne le quotient euclidien, a % b le reste. Ainsi \(157=7\times22+3\) : 157 // 7 renvoie 22 et 157 % 7 renvoie 3. La division / répond à une autre question.

a = 24 affecte 24 à la variable ; a == 24 compare sa valeur à 24 et produit True ou False. def définit une fonction, return renvoie son résultat et termine l’appel ; while répète les instructions indentées tant que son test est vrai. L’indentation indique quelles instructions appartiennent à la fonction ou à la boucle.

Algorithme — Tester si un naturel est multiple d’un autre

Entrées : entiers \(a\geq0\) et \(b>0\). Sortie : vrai exactement lorsque \(a\) est multiple de \(b\).

def est_multiple(a, b):
    # Entrees : a entier >= 0 et b entier > 0.
    return a % b == 0

Le programme calcule le reste, le compare à 0 et renvoie le booléen. Un reste nul caractérise précisément un multiple : \(a=bq+0\).

Domaine : on n’appelle pas cette fonction avec \(b=0\), car a % 0 est interdit. C’est une entrée hors contrat, pas une réponse fausse à la définition multiplicative. Le programme ne traite pas tous les cas possibles de cette définition.

Propriété — Le plus grand multiple sous une borne

Dans cette nouvelle tâche, \(a\) est le pas, entier strictement positif, et \(b\) la borne, entière positive ou nulle. On autorise le multiple 0. Si \(b=aq+r\) avec \(0\leq r<a\), le plus grand multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\) est \(aq\).

Méthode — Utiliser directement le quotient

def plus_grand_multiple(a, b):
    # Entrees : a entier > 0 et b entier >= 0.
    q = b // a
    return a * q

Pour \(a=8,b=59\), \(59=8\times7+3\) : q vaut 7 et la fonction renvoie 56. On contrôle \(56\leq59<64\).

Cas limites : pour \((10,40)\), la sortie est 40, car la borne est incluse ; pour \((12,7)\), elle est 0 ; pour \((9,0)\), elle est encore 0. On ne suppose pas \(b\geq a\).

Algorithme — Autre voie : avancer de multiple en multiple

def plus_grand_multiple_boucle(a, b):
    # Entiers a > 0 et b >= 0.
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Trace pour \(a=8,b=59\).

La condition examine le prochain multiple. Dans m = m + a, on calcule avec l’ancienne valeur de m, puis on y range le résultat : ce n’est pas une équation. Au test faux, la boucle ne modifie plus m : ici, la sortie est 56. Justification. Au départ \(m=0\) est un multiple de \(a\) ne dépassant pas \(b\). Chaque mise à jour autorisée garde ces deux propriétés. Les valeurs augmentent d’au moins 1 dans l’ensemble fini \(0,1,\ldots,b\) : la boucle s’arrête. À l’arrêt, \(m\leq b<m+a\) ; le résultat est bien maximal.

Piège : tester seulement m < b autoriserait, pour \(m=56\), le passage à 64, trop grand. Il faut contrôler la valeur après l’ajout envisagé.

À retenir — Les repères essentiels

• \(\mathbb{N}\) contient 0 et les entiers positifs ; \(\mathbb{Z}\) contient aussi leurs opposés. La valeur exacte décide de l’appartenance.

• \(d\mid n\) signifie \(n=dk\) pour un entier \(k\). Pour \(d>0\), le reste de division est nul. Une somme ou une différence de multiples d’un même entier reste un multiple de cet entier.

• Un pair s’écrit \(2k\), un impair \(2k+1\). Deux entiers de même parité ont une somme paire ; un produit est pair dès qu’un facteur est pair. Un entier et son carré ont même parité.

• Une décomposition utilise seulement des facteurs premiers et son produit doit retrouver le nombre initial. Les exposants comptent les répétitions.

• Une fraction irréductible n’a plus de diviseur commun positif autre que 1 entre ses termes. Dénominateur non nul, signe et numérateur 0 doivent être traités correctement.

• Un critère numérique aide à décider ; une preuve générale conserve un entier quelconque. Une affirmation générale fausse se réfute avec un contre-exemple.

Méthode — Les premiers gestes à retrouver