Question de départ — Un calcul peut-il expliquer tous les cas ?

On peut vérifier que \(7+9=16\) et que \(15+21=36\). Mais ces deux calculs ne prouvent pas que la somme de deux nombres impairs quelconques est paire. L’arithmétique apprend à passer d’exemples particuliers à une explication qui fonctionne pour tous les entiers concernés.

Elle permet aussi de répondre à des questions concrètes : combien de lots identiques peut-on préparer ? À quel moment deux événements réguliers se produiront-ils ensemble ? Une fraction est-elle vraiment irréductible ? Un programme traite-t-il correctement zéro ?

À retenir — Deux parcours, un même socle

Parcours principal : unités 1 à 8, puis synthèse et mini-test de l’unité 10. Les notions sur les nombres premiers et les fractions sont réenseignées, même si elles ont déjà été rencontrées au collège. Elles rendent les méthodes de seconde réellement utilisables.

Pour aller un peu plus loin : unité 9. Deux prolongements facultatifs sont démontrés avec des outils élémentaires. Aucun exercice du parcours principal n’exige leur lecture.

Vocabulaire — Que signifient les noms des encadrés ?

Une définition fixe le sens d’un mot. Une propriété, une proposition ou un théorème énonce un résultat vrai sous des hypothèses précises : ces mots ne désignent pas des degrés de certitude. Un lemme est un résultat utilisé pour en prouver un autre ; un corollaire découle d’un résultat déjà établi. Un critère permet de décider si une condition est remplie.

Une démonstration justifie tous les cas annoncés. Un exemple illustre un cas ; un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation qui prétend être vraie dans tous les cas. Une intuition ou un dessin aide à comprendre mais ne remplace pas toujours une démonstration.

Repérage — Deux questions avant de commencer

1. Parmi \(-4\), \(0\), \(6{,}0\), \(\dfrac{15}{3}\) et \(\dfrac72\), lesquels sont des entiers ? Lesquels sont naturels ? 2. L’égalité \(58=7\times7+9\) est vraie. Donne-t-elle la division euclidienne de 58 par 7 ?

Si la première question te gêne, travaille la distinction entre nombre et écriture ci-dessous. Si tu as accepté le reste 9, porte une attention particulière à la condition \(0\leq r<b\).

Définition — Entiers naturels et entiers relatifs

Les entiers naturels sont \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), etc. Leur ensemble est noté \(\mathbb{N}\). Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés : \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\). Leur ensemble est noté \(\mathbb{Z}\).

Notation. \(n\in\mathbb{N}\) signifie « \(n\) appartient à l’ensemble des entiers naturels ». \(x\notin\mathbb{Z}\) signifie « \(x\) n’est pas un entier relatif ». Tout naturel est un entier relatif ; la réciproque est fausse, par exemple pour \(-3\).

Méthode — Décider si une écriture représente un entier

Indice : on te demande un ensemble ou on veut appliquer une propriété réservée aux entiers. Premier geste : calcule ou simplifie exactement la valeur, sans arrondir.

1. Cherche si le nombre est égal à \(0\), \(1\), \(2\), etc., ou à l’opposé d’un de ces nombres.

2. S’il est entier et positif ou nul, il appartient à \(\mathbb{N}\) et à \(\mathbb{Z}\) ; s’il est entier négatif, il appartient à \(\mathbb{Z}\) mais pas à \(\mathbb{N}\).

3. Ne confonds pas une valeur exacte et une valeur approchée : \(\dfrac{999}{100}=9{,}99\) est proche de 10, mais n’est pas 10.

Exemple de référence. \(\dfrac{-42}{6}=-7\), car \(6\times(-7)=-42\). Donc \(-42/6\in\mathbb{Z}\) et \(-42/6\notin\mathbb{N}\). En revanche \(\dfrac{-43}{6}=-7-\dfrac16\) n’est pas entier. On a séparé \(-43=-42-1\). Comme \(0<1/6<1\), on obtient \(-8<-7-1/6<-7\) : ce nombre est strictement entre deux entiers consécutifs.

À toi — Reconnaître, justifier, changer de représentation

Essai guidé. Simplifie \(28/4\), puis décide s’il est naturel. Écris ensuite \(-18/3\) sous forme entière et classe-le.

Tentative sans aide. Classe \(-0\), \(35/5\), \(35/6\) et \(2{,}50\times2\) dans \(\mathbb{N}\), dans \(\mathbb{Z}\) seulement, ou hors de \(\mathbb{Z}\).

Indice : cherche la valeur exacte et pense à l’opposé de zéro.

Justification personnelle. Pourquoi la phrase « un nombre écrit avec une virgule n’est jamais entier » est-elle fausse ? Réponse possible : \(3{,}0=3\), donc la présence d’une virgule ne suffit pas pour décider. Critères : donner une égalité exacte et distinguer l’écriture de la valeur.

Variation. Une calculatrice affiche \(4{,}000\) pour une mesure arrondie. Peut-on affirmer que la mesure exacte est entière ? Non : \(4{,}0002\), arrondi au millième, produit le même affichage. L’affichage peut être arrondi, contrairement à une égalité exacte donnée.

Pour reprendre — Si la fraction te fait hésiter

Erreur typique : « \(12/3\) n’est pas entier parce qu’il y a une barre de fraction. » La barre signifie une division ; elle ne classe pas à elle seule le résultat. Exemple plus simple : \(6/2=3\) puisque \(2\times3=6\). Nouvel essai : compare \(10/2\) et \(11/2\). Le premier vaut 5 ; le second vaut \(5+1/2=5{,}5\). Seul le premier est entier. Retour : applique la même recherche de valeur exacte aux quatre nombres de la tentative précédente.

À reprendre demain, avant relecture. \(-24/(-6)\) est-il naturel ? Aide : le quotient de deux nombres négatifs est positif. Correction : \((-6)\times4=-24\), donc le quotient est 4, naturel. Il ne suffit pas de compter les signes : il faut aussi calculer la valeur.

Théorème — Division euclidienne

Pour tout entier relatif \(a\) et tout entier strictement positif \(b\), il existe un unique couple d’entiers \(q\) et \(r\) tel que \[\boxed{a=bq+r\qquad\text{et}\qquad 0\leq r<b.}\] \(a\) est le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient euclidien et \(r\) le reste. Lorsque \(a\) est naturel, \(q\) est naturel.

Méthode — Effectuer et contrôler une division

Conditions : dividende entier, diviseur entier strictement positif. Premier geste : encadre le dividende entre deux multiples consécutifs du diviseur.

Exemple de référence : 173 par 12. \(12\times14=168\) et \(12\times15=180\). Ainsi \(168\leq173<180\) ; le quotient est 14. Calcule le reste : \(r=173-168=5\). Écris et contrôle les deux informations : \[173=12\times14+5,\qquad 0\leq5<12.\] Le quotient exact \(173/12\) est \(14+5/12\) ; ce n’est pas le quotient euclidien 14.

Cas négatif : \(-23\) par 5. Les multiples consécutifs qui encadrent \(-23\) sont \(-25=5\times(-5)\) et \(-20=5\times(-4)\). On obtient \[-23=5\times(-5)+2,\qquad 0\leq2<5.\] L’écriture \(-23=5\times(-4)-3\) est une égalité vraie, mais son reste négatif ne convient pas.

À toi — Une division n’est pas seulement une égalité

Essai guidé. Divise 94 par 8 : compare \(8\times11\) et \(8\times12\), puis calcule le reste.

Tentative sans aide. Effectue les divisions euclidiennes de 207 par 15, de 8 par 15 et de 0 par 15. Indice : un quotient peut être nul.

Justification personnelle. Pourquoi exige-t-on \(r<b\), et non seulement \(r\geq0\) ? Réponse possible : si \(r\geq b\), on peut retirer encore \(b\) au reste et augmenter le quotient d’une unité ; le partage n’est pas terminé. Critères : expliquer le paquet supplémentaire et la conservation de l’égalité.

Variation et contrôle. On annonce \(207=15\times12+27\). L’égalité est vraie, mais \(27\geq15\). Corrige sans tout recommencer : \(27=15+12\), donc \(207=15\times(12+1)+12=15\times13+12\).

Pour reprendre — Si tu oublies de contrôler le reste

Erreur : \(20=6\times2+8\) serait la division euclidienne. Rappel : le reste est ce qui ne permet plus un groupe complet. Exemple corrigé : \(8=6+2\), donc \(20=6\times3+2\) ; \(2<6\). Nouvel essai : répare \(31=5\times5+6\). Comme \(6=5+1\), on obtient \(31=5\times6+1\) avec \(0\leq1<5\). Retour : vérifie maintenant séparément l’égalité et l’encadrement du reste pour 207 par 15.

À reprendre plus tard. Donne le quotient et le reste de \(-17\) par 4. Aide : cherche le multiple de 4 immédiatement inférieur ou égal à \(-17\). Correction : \(-20\leq-17<-16\), soit \(4\times(-5)\leq-17<4\times(-4)\). Le reste vaut \(-17-(-20)=-17+20=3\). Ainsi \(-17=4\times(-5)+3\) et \(0\leq3<4\).

À retenir — Les deux contrôles inséparables

Un entier se reconnaît à sa valeur exacte, pas à son écriture. Pour une division euclidienne, vérifie toujours l’égalité \(a=bq+r\) et l’encadrement \(0\leq r<b\), avec \(b>0\). Le quotient euclidien est entier ; le quotient exact \(a/b\) ne l’est pas toujours.

Repérage — Qui divise qui ?

Complète : \(42=6\times7\), donc 42 est un … de 6, et 6 est un … de 42. L’égalité \(10=4\times2{,}5\) prouve-t-elle que 4 divise 10 ?

Définition — Multiple et diviseur dans les entiers

Soient \(d\) et \(n\) deux entiers relatifs. On dit que \(n\) est un multiple de \(d\), ou que \(d\) est un diviseur de \(n\), lorsqu’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(n=dk\). On dit aussi que \(n\) est divisible par \(d\).

La notation \(d\mid n\) se lit « \(d\) divise \(n\) ». Elle n’est pas une fraction. Par exemple \(7\mid(-35)\), puisque \(-35=7\times(-5)\) ; mais \(7\nmid36\).

Propriété — Les cas qu’il ne faut pas oublier

Tout entier \(d\) divise zéro ; 1 et \(-1\) divisent tout entier ; tout entier est un multiple de lui-même. Zéro ne divise que zéro, au sens de la définition par un produit. Si \(d\mid n\), alors \((-d)\mid n\) également.

Attention : l’affirmation \(0\mid0\) ne définit pas \(0/0\). Une divisibilité définie par un produit et une division numérique sont deux notions différentes. On ne divise jamais par zéro.

Caractérisation — Quotient entier ou reste nul

Si \(d\ne0\), \(d\mid n\) équivaut à dire que le quotient exact \(n/d\) est un entier. Si de plus \(d>0\), cela équivaut à un reste nul dans la division euclidienne de \(n\) par \(d\).

Propriété — Sommes, différences et produits par un entier

Si \(d\) divise \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise \(a+b\), \(a-b\) et, plus généralement, \(ua+vb\) pour tous entiers \(u\) et \(v\).

Proposition — Transmettre une divisibilité

Si \(a\mid b\) et \(b\mid c\), alors \(a\mid c\).

Par exemple, \(6\mid30\) et \(30\mid210\) entraînent \(6\mid210\) ; le témoin vaut \(5\times7=35\).

Méthode — Démontrer « est un multiple de »

Indice : l’énoncé porte sur un nombre construit avec un entier \(n\), sans fixer sa valeur. Premier geste : nomme le diviseur attendu et cherche à le mettre en facteur. Condition : le facteur restant doit être entier.

Exemple de référence. Montrons que \(15n+21\) est divisible par 3 pour tout entier \(n\) : \[15n+21=(3\times5)n+3\times7=3(5n)+3\times7=3(5n+7).\] Puisque \(n\) est entier, \(5n+7\) l’est aussi. L’expression est donc un multiple de 3. Avec \(n=-2\), on contrôle \(15(-2)+21=-30+21=-9=3\times(-3)\) ; ce contrôle illustre la preuve, sans la remplacer.

Autre voie utile. Si l’expression est un nombre fixé, une division euclidienne suffit. Pour 203 et 7 : \(203=7\times29+0\) ; le reste nul prouve la divisibilité. Il n’est pas nécessaire de chercher une formule générale.

À toi — Prouver sans se limiter à des essais

Essai guidé. Pour un entier \(n\), mets 4 en facteur dans \(12n-20\), puis nomme le témoin entier.

Tentative. On sait que \(a\) et \(b\) sont des multiples de 9. Prouve que \(2a-5b\) est un multiple de 9. Indice : utilise deux témoins différents, car \(a\) et \(b\) ne sont pas supposés égaux.

Justification personnelle. Pourquoi faut-il écrire « \(2k-5\ell\) est entier » ? Réponse possible : la définition exige un facteur entier, pas seulement un facteur réel ; sinon toute division par un nombre non nul fournirait une fausse preuve. Critères : citer la condition d’intégralité et expliquer sa fonction.

Variation. Si 5 divise \(a+b\), divise-t-il forcément \(a\) et \(b\) ? Non : \(a=6\), \(b=9\) donnent \(a+b=15=5\times3\), mais ni 6 ni 9 n’est divisible par 5. Une propriété ne donne pas automatiquement sa réciproque.

Pour reprendre — Si tu ne trouves pas le facteur entier

Erreur : « \(6n+4\) est un multiple de 3 car \(6n+4=3(2n+4/3)\). » L’égalité est vraie, mais \(2n+4/3\) n’est pas entier pour \(n\) entier. Rappel : le facteur restant doit être entier. Exemple plus simple : \(6n+3=3(2n+1)\) fonctionne, car \(2n+1\) est entier. Nouvel essai : \(10n+15=5(2n+3)\) est un multiple de 5 ; \(10n+16\) ne l’est pas, puisque sa division laisse le reste 1 après \(5(2n+3)\). Retour : dans la preuve de la tentative, souligne le témoin entier plutôt que le seul chiffre 9.

Reprise différée. Prouve que \(14n+35\) est divisible par 7. Aide : réécris 14 et 35 comme produits par 7. Correction : \(14n+35=(7\times2)n+7\times5=7(2n+5)\) ; \(2n+5\) est entier. La preuve vaut aussi pour \(n\) négatif.

Repérage — Une liste et une borne

On propose \(1,2,3,4,6\) comme liste des diviseurs positifs de 12. Est-elle complète ? Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur ou égal à 23 ?

Méthode — Les paires de facteurs

Conditions : on cherche les diviseurs positifs d’un entier \(n>0\). Premier geste : commence par \(1\times n\), puis teste les entiers dans l’ordre. Chaque division exacte donne une paire \(d\) et \(n/d\).

Exemple de référence : 72. \[72=1\times72=2\times36=3\times24=4\times18=6\times12=8\times9.\] Les tests de 5 et 7 ne sont pas exacts : \(72=5\times14+2=7\times10+2\). On s’arrête après 8, car \(9^2=81>72\) : une paire nouvelle aurait déjà son petit facteur parmi les entiers testés. Les diviseurs positifs sont donc \[1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.\] Pourquoi cet arrêt est-il sûr ? Si \(n=de\) avec \(d,e>0\) et \(d\leq e\), alors \(d^2\leq de=n\). Chaque paire possède donc un petit facteur dont le carré ne dépasse pas \(n\). Ce raisonnement évite d’énumérer inutilement jusqu’à \(n\).

Contrôle : multiplie les termes associés et trie la liste. Pour un carré, une paire peut avoir deux facteurs égaux : \(36=6\times6\) ; le diviseur 6 ne s’écrit qu’une fois dans la liste. Pour obtenir les diviseurs relatifs d’un entier positif, on ajoute les opposés de tous les diviseurs positifs.

Propriété — Le plus grand multiple ne dépassant pas une borne

Soient \(a>0\) et \(b\geq0\) deux entiers. Si \(b=aq+r\) est la division euclidienne de \(b\) par \(a\), alors \(aq\) est le plus grand multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\).

Exemple. \(113=9\times12+5\), avec \(0\leq5<9\). Le multiple cherché est \(9\times12=108\) ; le suivant, 117, dépasse 113.

Méthode — Lister des multiples dans une plage

Pour trouver les multiples de 7 compris entre 50 et 100, commence par les deux produits qui encadrent 50 : \(7\times7=49<50\) et \(7\times8=56\geq50\). Le premier est donc 56. Ajoute ensuite 7 : \(56,63,70,77,84,91,98\). Le suivant, 105, est supérieur à 100. Les deux extrémités ont été contrôlées : la liste est complète.

Si l’énoncé disait « strictement inférieur à 98 », il faudrait enlever 98. La présence ou non d’une borne change la réponse.

À toi — Liste complète et borne exacte

Essai guidé. Liste les diviseurs positifs de 40 en utilisant des paires.

Tentative. Trouve les diviseurs positifs de 49, puis les multiples de 12 compris entre 65 et 120, bornes incluses. Indice : n’écris pas deux fois un facteur égal à son partenaire.

Justification personnelle. Pourquoi tester les diviseurs de 72 seulement jusqu’à 8 ne fait-il pas oublier 24 ? Réponse possible : 24 apparaît comme partenaire de 3, puisque \(3\times24=72\) ; chaque grand facteur est rencontré avec un petit facteur. Critères : nommer la paire et expliquer le rôle du petit facteur.

Variation. Zéro a-t-il une liste finie de diviseurs positifs ? Non : pour tout entier positif \(d\), \(0=d\times0\). La méthode de liste finie était donc volontairement réservée à \(n>0\).

Pour reprendre — Si « multiple » et « diviseur » s’inversent

Erreur : chercher les diviseurs de 12 en écrivant \(12,24,36,\ldots\). Ce sont ses multiples. Rappel : un diviseur positif se cherche dans une égalité \(12=d\times k\) ; les deux facteurs sont positifs. Exemple : \(12=3\times4\) donne les diviseurs 3 et 4. Nouvel essai : pour 18, les paires \(1\times18\), \(2\times9\), \(3\times6\) donnent \(1,2,3,6,9,18\). Les multiples commencent par \(0,18,36,54,\ldots\). Retour : vérifie chaque élément de la liste des diviseurs de 49 par un produit égal à 49.

À reprendre plus tard. Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur ou égal à 150 ? Aide : calcule le reste après \(8\times18\). Correction : \(8\times18=144\), \(150-144=6\) et \(0\leq6<8\) ; le multiple est 144. Le suivant vaut \(144+8=152>150\), ce qui justifie qu’il est le plus grand.

À retenir — La preuve tient dans le facteur entier

\(d\mid n\) signifie \(n=dk\) pour un entier \(k\). Pour démontrer, fournis ce témoin. Pour réfuter, un reste non nul convient lorsque le diviseur est positif. Pour lister, utilise des paires ou des multiples consécutifs et contrôle les bornes. Une somme de multiples reste un multiple ; sa réciproque est fausse en général.

Repérage — Un raccourci, mais pas au hasard

Sans poser la division, 5832 est-il divisible par 2 ? par 9 ? par 5 ?

Notation — Unités, dizaines, centaines

Pour un entier naturel, chaque chiffre indique un nombre de paquets d’une certaine taille. Ainsi \[5832=5\times1000+8\times100+3\times10+2.\] Si \(u\) est le chiffre des unités et \(q\) le nombre formé par tous les autres chiffres, \(n=10q+u\). Si \(t\) est le nombre formé par les deux derniers chiffres, on écrit \(n=100q+t\). Pour un nombre de moins de deux chiffres, on peut écrire un zéro devant : \(7=07\).

Critère — Divisibilité par 2, 5 ou 10

Un entier naturel est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est \(0,2,4,6\) ou 8. Il est divisible par 5 si et seulement si ce chiffre est 0 ou 5. Il est divisible par 10 si et seulement si ce chiffre est 0.

Critère — Divisibilité par 4

Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Exemples. 7316 est divisible par 4 car \(16=4\times4\). 7326 ne l’est pas car \(26=4\times6+2\). Le dernier chiffre 6, seul, ne permet pas de décider. Pour 7300, les deux derniers chiffres représentent 0, multiple de 4 : il est bien divisible par 4.

Lemme — Remplacer une puissance de 10 par 1

Les nombres \(10-1\), \(100-1\), \(1000-1\), etc., sont des multiples de 9, donc aussi de 3.

Critère — Divisibilité par 3 ou par 9

Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Le même énoncé est vrai avec 9 à la place de 3.

Application détaillée à 5832. La somme des chiffres est \(s=5+8+3+2=18\) et \[\begin{align*} 5832-18 &=5(1000-1)+8(100-1)+3(10-1)+2(1-1)\\ &=5\times999+8\times99+3\times9+0\\ &=9(5\times111+8\times11+3)\\ &=9(555+88+3)=9\times646. \end{align*}\] Puisque \(18=9\times2\), on retrouve \(5832=9(646+2)=9\times648\). Le critère a donc une raison algébrique précise.

Bon réflexe — Réduire encore la somme des chiffres

Si la somme est grande, on peut lui appliquer le même critère. Pour 987654, elle vaut \(9+8+7+6+5+4=39\), puis \(3+9=12\), puis \(1+2=3\). Le nombre est divisible par 3 mais pas par 9. La justification est la succession d’équivalences données par le critère, pas une propriété magique des chiffres.

Ce raccourci concerne 3 et 9. Il ne décide pas de la divisibilité par 4, 5 ou 7. Et il ne donne pas directement le quotient de la division.

Critère — Divisibilité par 6 et par 12

Un entier est divisible par 6 si et seulement s’il est divisible par 2 et par 3. Il est divisible par 12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4.

Piège — Deux diviseurs ne se multiplient pas toujours

Il est faux de dire sans condition : « divisible par \(a\) et par \(b\), donc divisible par \(ab\) ». Le nombre 12 est divisible par 4 et par 6, mais pas par \(4\times6=24\). Les deux tests réutilisent ici un facteur 2. Les critères pour 6 et 12 ci-dessus sont justifiés spécifiquement ; on ne les étend pas sans preuve à n’importe quelle paire.

Méthode — Choisir les tests utiles

Indice : on veut décider d’une divisibilité ou compléter un chiffre. Premier geste : regarde le diviseur demandé, puis choisis les chiffres qui suffisent.

• Pour 2, 5 ou 10 : regarde seulement le chiffre des unités.

• Pour 4 : regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• Pour 3 ou 9 : calcule la somme de tous les chiffres.

• Pour 6 ou 12 : fais les deux tests du critère correspondant ; un seul succès ne suffit pas.

Exemple de référence. 5832 est-il divisible par 12 ? Les deux derniers chiffres donnent \(32=4\times8\) ; il est divisible par 4. La somme des chiffres vaut 18, divisible par 3. Les deux conditions sont réunies : il est divisible par 12. Contrôle : \(12\times486=12\times(400+80+6)=12\times400+12\times80+12\times6=4800+960+72=5832\).

Variante par division. Si le diviseur n’a pas de critère connu, reviens à une division euclidienne. Pour 7, \(5832=7\times833+1\) ; il n’est pas divisible par 7. Aucun critère sur la seule somme des chiffres n’a été utilisé.

À toi — Un chiffre à choisir

Essai guidé. Dans le nombre \(7\square2\), remplace le carré par un chiffre pour obtenir un multiple de 3. Commence par écrire la somme des chiffres avec une lettre \(c\).

Tentative sans aide. Complète \(5\square4\) pour que le nombre soit divisible à la fois par 9 et par 4. Indice : commence par la somme des chiffres, puis vérifie les deux derniers chiffres pour chaque possibilité.

Justification personnelle. Pourquoi le critère par 4 utilise-t-il les deux derniers chiffres et pas les trois premiers ? Réponse possible : les autres chiffres forment un multiple de 100, lui-même multiple de 4 ; seule la partie restante peut changer la divisibilité. Critères : citer \(n=100q+t\) et \(100=4\times25\).

Variation. Les chiffres de 5832 sont réordonnés pour former 5283. La divisibilité par 9 est conservée : la somme des chiffres n’a pas changé. La divisibilité par 2 n’est pas conservée : le chiffre final est maintenant 3. Une transformation peut préserver un critère sans préserver les autres.

Pour reprendre — Si tu confonds « par 3 » et « par 9 »

Erreur : « 123 est divisible par 9 car \(1+2+3=6\) est divisible par 3. » Rappel : pour tester 9, la somme doit être un multiple de 9, pas seulement de 3. Exemple plus simple : 12 est divisible par 3 puisque \(1+2=3\), mais pas par 9. Nouvel essai : décide d’abord si 234 et 235 sont divisibles par 3 et par 9, puis contrôle. Pour 234, la somme est \(2+3+4=9\) ; 234 est divisible par 9 et par 3. Pour 235, la somme 10 n’est multiple ni de 3 ni de 9. Retour : applique exactement le diviseur demandé aux sommes \(9+c\) de l’essai et de la tentative.

À reprendre dans deux jours. Sans poser de division, indique si 4212 est divisible par 4, 6 et 9. Aide : deux derniers chiffres, somme des chiffres, chiffre final.

Remarque — Et pour un entier négatif ou pour zéro ?

Un entier \(n\) et son opposé \(-n\) ont les mêmes diviseurs non nuls : si \(n=dk\), alors \(-n=d(-k)\). Pour tester \(-5832\), on peut donc tester 5832. Zéro est divisible par chacun des diviseurs non nuls étudiés, puisque \(0=d\times0\) ; les critères donnent bien cette réponse.

À retenir — Un critère est une équivalence justifiée

Le dernier chiffre suffit pour 2, 5 et 10 ; les deux derniers pour 4 ; la somme des chiffres pour 3 et 9. Croiser des conditions demande une règle justifiée. Pour un diviseur sans critère connu, la division euclidienne reste une méthode générale.

Rappel — Des entiers et des calculs qui gardent leur sens

Un entier relatif est un nombre de la liste \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\). L’ensemble de ces nombres est noté \(\mathbb{Z}\). Les entiers naturels \(0,1,2,\ldots\) forment \(\mathbb{N}\). Une somme, une différence et un produit d’entiers sont encore des entiers. Cette précision sera essentielle : écrire \(n=2t\) ne prouve que \(n\) est pair que si \(t\) est un entier.

Distribuer, c’est multiplier chacun des termes d’une somme. Par exemple, \[3(2k+1)=3\times 2k+3\times1=6k+3.\] Pour deux sommes, il y a quatre produits : \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\] Factoriser par 2, c’est effectuer le chemin inverse : \(6k+2b-2=2(3k+b-1)\), car la distribution de \(2\) redonne bien \(6k\), \(2b\) et \(-2\).

Repérage — Avant de calculer une parité

Classe \(-8\), \(-5\), \(0\), \(7\) et \(3{,}2\) en nombres pairs, impairs ou nombres auxquels ces mots ne s’appliquent pas. Puis calcule \(5+9\) et \(5\times9\) : ont-ils la même parité ?

Définition — Pair, impair, parité

Un entier \(n\) est pair lorsqu’il peut s’écrire \(n=2k\), avec \(k\) entier. Il est impair lorsqu’il peut s’écrire \(n=2k+1\), avec \(k\) entier. La parité d’un entier indique s’il est pair ou impair.

Le nombre \(0\) est pair. Un entier négatif peut être pair ou impair : \(-12=2\times(-6)\) et \(-11=2\times(-6)+1\). Dans la seconde écriture, le \(+1\) reste bien un \(+1\) : \(-12+1=-11\).

Propriété — Deux possibilités, sans chevauchement

Chaque entier est soit pair, soit impair, et ne peut pas être les deux.

Propriété — L’opposé conserve la parité

Un entier et son opposé ont la même parité.

Propriété — Sommes et différences

La somme de deux entiers de même parité est paire ; celle de deux entiers de parités différentes est impaire. Ces règles restent vraies pour leur différence.

Propriété — Produits

Un produit de deux entiers est pair dès qu’au moins un des deux facteurs est pair. Le produit de deux impairs est impair.

Méthode — Choisir entre les règles et l’écriture algébrique

Indices. On connaît la parité de certains entiers, mais pas leur valeur. On demande celle d’une expression.

1. Vérifier que toutes les lettres désignent des entiers.

2. Repérer les opérations et les traiter dans l’ordre : d’abord les parenthèses et les produits, puis les sommes.

3. Utiliser les règles démontrées. Si une preuve algébrique est demandée, écrire chaque pair sous la forme \(2k\), chaque impair sous la forme \(2k+1\), avec des lettres distinctes pour des nombres indépendants.

4. Obtenir \(2K\) ou \(2K+1\), en expliquant pourquoi \(K\) est entier. Conclure en une phrase.

Contrôle. Un essai numérique peut détecter une erreur de signe ou une conclusion impossible. Il ne remplace pas la preuve pour tous les entiers concernés.

Exemple — Une expression qui est toujours paire

Soient \(a\) un entier impair et \(b\) un entier quelconque. Quelle est la parité de \(3a+2b-5\) ?

Par les règles. Le produit \(3a\) est impair, car ses deux facteurs sont impairs. Le nombre \(2b\) est pair. Ainsi, \(3a+2b\) est impair ; en lui soustrayant l’impair \(5\), on obtient un pair.

Par l’écriture algébrique. Il existe un entier \(k\) tel que \(a=2k+1\). On remplace \(a\) dans l’expression : \[\begin{align*} 3a+2b-5&=3(2k+1)+2b-5\\ &=3\times2k+3\times1+2b-5\\ &=6k+3+2b-5\\ &=6k+2b-2=2(3k+b-1). \end{align*}\] Comme \(3k+b-1\) est entier, l’expression est paire. Aucune hypothèse de parité sur \(b\) n’était nécessaire.

Vérification. Avec \(a=-3\) et \(b=4\), on obtient \(-9+8-5=-6\), effectivement pair. Cet essai confirme la cohérence du calcul, pas son universalité.

À toi — Essai guidé : une somme de trois termes

Les entiers \(a\) et \(b\) sont impairs. Détermine la parité de \(a+b+1\). Guidage. Écris \(a=2k+1\) et \(b=2\ell+1\). Remplace les deux lettres, regroupe les termes pairs et conserve un \(+1\) à la fin.

À toi — Chercher avant de lire la correction

On sait que \(a\) est impair et que \(b\) est pair. Détermine la parité de \(a(b+1)-2b\), sans choisir de valeurs pour \(a\) et \(b\). Écris une justification pour chaque opération.

Indice, après une tentative. Commence par \(b+1\). Ne confonds pas la parité de \(b\) avec celle de cette parenthèse.

Justification personnelle — Revenir de la somme vers les termes

Un élève affirme : « Si la somme de deux entiers est paire, les deux entiers sont pairs. » Est-ce exact ? Donne un contre-exemple si nécessaire, puis écris l’information que l’on peut réellement déduire sur les deux termes.

Pour reprendre — Erreur : « produit pair » veut dire « deux facteurs pairs »

Première erreur. À partir de \(ab\) pair, on ne peut pas conclure que \(a\) et \(b\) sont pairs. Un seul facteur pair suffit.

Rappel utile. Deux facteurs impairs donnent un produit impair. Un produit pair impose donc au moins un facteur pair, pas nécessairement deux.

Micro-exemple corrigé. \(2\times5=10\) est pair ; le facteur \(5\) est pourtant impair. Les dix objets peuvent former cinq paires : le nombre de paires n’a pas besoin d’être pair.

Nouvel essai. Que montre \(9\times6\) ? Peut-on obtenir un produit pair avec deux facteurs impairs ?

Reprise différée — À refaire un autre jour, avant relecture

Pour un entier \(n\), la somme \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\) est-elle toujours paire ? Commence sans consulter les règles. Si tu bloques, regroupe les quatre termes contenant \(n\), puis les constantes.

Repérage — Tester n’est pas démontrer

Un élève calcule \(1\times2\), \(2\times3\) et \(3\times4\), puis annonce : « Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair. » Que prouvent ses calculs ? Par ailleurs, un seul essai peut-il réfuter « \(n^2+1\) est pair pour tout entier \(n\) » ?

Vocabulaire — Implication, réciproque et contraposée

Une implication est un énoncé de la forme « si une hypothèse est vraie, alors une conclusion est vraie ». Sa réciproque échange les deux : « si la conclusion est vraie, alors l’hypothèse est vraie ». La réciproque doit être examinée ; elle n’est pas automatiquement vraie.

Par exemple, « si \(n\) est multiple de \(8\), alors \(n\) est pair » est vrai : \(n=8k=2(4k)\), avec \(k\) entier. Sa réciproque est fausse : \(10\) est pair, mais n’est pas multiple de \(8\), car il est strictement entre \(8\) et \(16\).

La contraposée dit : « si la conclusion est fausse, alors l’hypothèse est fausse ». Dans l’exemple : « si \(n\) est impair, alors \(n\) n’est pas multiple de \(8\) ». Pourquoi est-elle vraie ? Si un tel entier était multiple de \(8\), l’implication démontrée le rendrait pair, ce qui contredirait son caractère impair. Une implication et sa contraposée expriment donc la même contrainte, contrairement à une implication et sa réciproque.

Une équivalence, formulée « si et seulement si », exige que l’implication et sa réciproque soient toutes les deux établies.

Théorème — Le carré d’un entier impair est impair

Si \(n\) est un entier impair, alors \(n^2\) est impair.

Piège de calcul. \((2k+1)^2\) n’est pas \(4k^2+1\) : les deux produits « croisés », \(2k\) et \(2k\), doivent être conservés.

Propriété — Le carré d’un entier pair est pair

Si \(n\) est un entier pair, alors \(n^2\) est pair.

Corollaire — Un entier et son carré ont la même parité

Pour un entier \(n\), \(n^2\) est pair si et seulement si \(n\) est pair ; de même, \(n^2\) est impair si et seulement si \(n\) est impair.

Pourquoi « corollaire » ? Ce résultat découle directement du théorème sur le carré impair, de la propriété sur le carré pair et de l’existence de deux seules parités.

Méthode — Choisir un raisonnement adapté

• Démonstration directe : partir de l’hypothèse et obtenir la forme demandée, comme \(2k+1\) pour un impair.

• Raisonnement par cas : partager les entiers en possibilités qui couvrent toute la situation, puis traiter chacune. « Pair ou impair » est un partage complet.

• Contraposition : pour établir une implication, montrer que la négation de sa conclusion entraîne la négation de son hypothèse. La preuve du carré pair ci-dessus en donne un modèle.

• Contre-exemple : pour réfuter une affirmation générale, choisir un cas qui vérifie ses conditions mais contredit sa conclusion.

Premier geste. Reformuler ce qui est donné et ce qui est demandé. Ne choisir des valeurs que pour explorer ou réfuter : une preuve générale conserve un entier quelconque. Avant de conclure, vérifier qu’aucun cas autorisé n’a été oublié.

Exemple — Le produit de deux entiers consécutifs

Deux entiers sont consécutifs lorsque le second vaut le premier augmenté de \(1\). Montrons que \(n(n+1)\) est pair pour chaque entier \(n\).

À toi — Essai guidé : préparer une implication

Soit \(n\) un entier impair. Démontre que \(n^2+2n\) est impair. Commence par identifier la parité de chacun des deux termes ; aucune valeur particulière de \(n\) ne doit être choisie.

À toi — Une information sur une expression

On sait que \(n\) est entier et que \(n^2+2n\) est pair. Que peut-on affirmer de \(n\) ? Rédige une preuve, puis précise si ton raisonnement établit une réciproque ou utilise une contraposée.

Indice, après une tentative. Demande-toi ce qui arriverait à l’expression si \(n\) était impair.

Justification personnelle — Une réciproque exige sa propre preuve

Nous savons que « \(n\) impair entraîne \(n^2+1\) pair ». Peut-on, pour cette seule raison, affirmer « \(n^2+1\) pair entraîne \(n\) impair » ? Explique la difficulté, puis établis ce second énoncé.

Variation — Quand deux cas ne suffisent plus

Montrons que le produit de trois entiers consécutifs \(n(n+1)(n+2)\) est multiple de \(3\). Cette fois, pair/impair ne répond pas à la question : il faut regarder le reste dans la division par \(3\).

Rappel local. Tout entier \(n\) s’écrit \(3q+r\), avec \(q\) entier et \(r\) égal à \(0\), \(1\) ou \(2\). Être multiple de \(3\), c’est avoir la forme \(3K\), avec \(K\) entier.

Ne pas confondre. La somme des mêmes entiers vaut aussi un multiple de \(3\), mais sa preuve est différente et plus courte : \(n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)\). La forme de l’expression guide le choix de la méthode.

Pour reprendre — Erreur : une seule lettre pour deux entiers indépendants

Première erreur. Pour prouver que la somme de deux impairs est paire, écrire à la fois \(a=2k+1\) et \(b=2k+1\) impose \(a=b\). On n’a alors traité que la somme de deux mêmes nombres.

Rappel utile. Chaque impair possède une écriture de cette forme, mais les entiers utilisés dans les deux écritures peuvent être différents.

Micro-exemple corrigé. Pour \(a=3\) et \(b=5\), on a \(3=2\times1+1\) et \(5=2\times2+1\). Il faut bien deux valeurs, \(1\) et \(2\).

Nouvel essai. Écris \(7\) et \(11\) sous la forme attendue, puis répare la preuve pour deux impairs quelconques.

Reprise différée — Reconstituer un raisonnement sans le modèle

Un autre jour, décide si \(n^2+3n+2\) est toujours pair lorsque \(n\) est entier. Écris une preuve générale avant de relire les exemples.

Aide graduée. Cherche un produit de deux entiers consécutifs. Si nécessaire, développe \((n+1)(n+2)\), puis compare avec l’expression donnée.

À retenir — Ce qu’il faut pouvoir reconstruire

• « Pair » signifie \(2k\), « impair » signifie \(2k+1\), avec \(k\) entier ; zéro est pair et les nombres négatifs sont concernés.

• Pour une somme ou une différence, même parité donne pair, parités différentes donne impair. Pour un produit, un seul facteur pair suffit ; deux impairs donnent un impair.

• Un entier et son carré ont la même parité. La démonstration du carré impair conserve les quatre produits de \((2k+1)(2k+1)\).

• Une implication n’autorise pas sa réciproque. La contraposée nie les deux propriétés et inverse leur ordre.

• Une preuve générale traite chaque cas autorisé ; un contre-exemple réfute une affirmation générale ; quelques exemples favorables ne la prouvent pas.

À toi — Repérage : un test court, mais révélateur

Parmi \(1\), \(2\), \(9\) et \(17\), quels nombres te semblent premiers ? Pour chacun, écris une raison avant de lire la correction.

Définition — Premier, composé : compter les diviseurs positifs

Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et lui-même. Un entier supérieur ou égal à \(2\) qui n’est pas premier est dit composé.

Ainsi, \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\) sont premiers ; \(12\) est composé car \(12=3\times4\). Le nombre \(1\) n’est pas premier : ses deux diviseurs annoncés seraient en réalité le même. Le nombre \(0\) n’est pas premier non plus : chaque entier positif \(d\) le divise, puisque \(0=d\times0\). Ni \(0\) ni \(1\) ne sont des nombres composés dans cette convention.

Propriété — Le seul nombre premier pair

Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Tout nombre premier autre que \(2\) est donc impair. La réciproque est fausse : \(9\) est impair, mais \(9=3\times3\).

Lemme — Pourquoi peut-on arrêter les essais ?

Si un entier \(n\geq2\) est composé, il possède un diviseur premier \(p\) tel que \(p^2\leq n\).

Ce lemme transforme une recherche apparemment longue en une liste finie de tests. On peut parler de « diviseurs premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée de \(n\) », mais le test \(p^2\leq n\) suffit, même sans calculer cette racine.

Méthode — Tester la primalité avec une borne justifiée

Pour un entier \(n\geq2\), essaye les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), etc., dans cet ordre.

1. Tant que \(p^2\leq n\), divise \(n\) par \(p\) et examine le reste.

2. Un reste nul fournit \(n=pq\) avec deux facteurs supérieurs à \(1\) : \(n\) n’est pas premier. La recherche peut s’arrêter.

3. Si aucun test n’a donné un reste nul et si le nombre premier suivant vérifie \(p^2>n\), alors \(n\) est premier, par le lemme.

On ne teste pas tous les entiers : si \(4\) divisait \(n\), son facteur premier \(2\) diviserait déjà \(n\). En revanche, oublier un nombre premier dans la liste peut rendre la conclusion fausse. Pour trouver un nombre premier suivant, on peut lui appliquer le même test avec les petits nombres premiers déjà connus.

Exemple — Une preuve pour 97 ; le cas limite 121

Pour \(97\), les premiers candidats sont \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\) : \[\begin{aligned} 97&=2\times48+1,&97&=3\times32+1,\\ 97&=5\times19+2,&97&=7\times13+6. \end{aligned}\] Les quatre restes sont non nuls. Le nombre premier suivant est \(11\) et \(11^2=121>97\). Aucun diviseur premier de carré inférieur ou égal à \(97\) ne convient : \(97\) est premier.

Pour \(121\), on trouve \(121=2\times60+1=3\times40+1=5\times24+1=7\times17+2\). Ces essais ne donnent pas de diviseur, mais il faut encore tester \(11\), car \(11^2=121\). Or \(121=11\times11\) : \(121\) est composé. La borne est bien « inférieur ou égal », pas « strictement inférieur ».

À toi — Essai guidé, puis tentative sans le modèle

Essai guidé. Pour \(89\), complète les divisions par \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), puis justifie l’arrêt. Tentative. Décide ensuite si \(143\) est premier, en rédigeant une preuve.

Indice à consulter après une recherche. Pour \(143\), le nombre \(11\) doit encore être essayé : \(11^2=121\leq143\).

Justifie avec tes mots. Pourquoi plusieurs divisions infructueuses ne suffisent-elles pas toujours ? Une réponse satisfaisante dit qu’il faut avoir testé tous les premiers candidats de carré inférieur ou égal au nombre ; le lemme justifie alors l’arrêt. Elle cite \(121\) ou \(143\) comme exemple d’un diviseur tardif.

Pour reprendre — Réparer : « ni divisible par 2, ni par 3, ni par 5, donc premier »

Première erreur. Cette conclusion, écrite pour \(91\), s’arrête trop tôt. L’absence de diviseur dans une partie de la liste n’est pas l’absence de tout diviseur utile.

Rappel ciblé et exemple plus simple. Pour \(49\), les nombres \(2\), \(3\), \(5\) ne conviennent pas, mais \(7^2=49\) impose de tester \(7\). On trouve \(49=7\times7\) : il n’est pas premier.

Nouvel essai. Sans relire le modèle, cherche un diviseur de \(77\) après avoir écarté \(2\), \(3\), \(5\).

Retour à l’erreur. Pour \(91\), \(7^2\leq91\) et \(91=7\times13\). La bonne conclusion est donc « \(91\) est composé », accompagnée de cette égalité. Le rôle de la borne est de dire quand une liste de tests est réellement complète.

À toi — À reprendre à la prochaine séance, avant relecture

Décide si \(107\) est premier. Écris la liste des candidats, les restes et la raison de l’arrêt. Aide : compare \(7^2\) et \(11^2\) à \(107\).

À toi — Repérage : multiplication ou décomposition première ?

Les égalités \(72=8\times9\) et \(72=2^3\times3^2\) sont vraies. Laquelle donne une décomposition en facteurs premiers ? Combien de facteurs \(2\) contient-elle ?

Définition — Les briques multiplicatives d’un entier

Décomposer un entier \(n\geq2\) en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit dont tous les facteurs sont premiers. Les facteurs égaux peuvent être regroupés à l’aide de puissances : \[72=2\times2\times2\times3\times3=2^3\times3^2.\] L’exposant compte les répétitions de la base. Par convention, \(p^1=p\) et \(p^0=1\).

Image utile. Les facteurs premiers sont des « briques » qui s’assemblent par multiplication. L’image aide à compter les exemplaires disponibles pour construire un diviseur. Sa limite : on ne construit pas le nombre en additionnant les briques ; \(2\times3=6\), tandis que \(2+3=5\).

Théorème — Existence et unicité de la décomposition

Tout entier naturel supérieur ou égal à \(2\) possède une décomposition en facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.

Démonstration de l’existence. Si le nombre est premier, il est déjà décomposé. Sinon, on le partage en deux facteurs supérieurs à \(1\), puis on partage de nouveau chaque facteur qui n’est pas premier. Sur chaque branche, les entiers diminuent strictement et restent au moins égaux à \(2\) : une branche ne peut pas continuer indéfiniment. Chaque étape produit seulement deux branches et leur longueur est bornée ; le découpage finit donc avec des facteurs tous premiers. Le produit reste le nombre de départ à chaque découpage.

Unicité admise ici. La démonstration complète de l’unicité demande un résultat supplémentaire sur les diviseurs premiers d’un produit, que nous n’établissons pas dans cette unité. Nous utilisons l’unicité comme résultat admis, et non comme une conséquence prouvée par quelques essais. Deux arbres différents donnent donc le même inventaire de facteurs premiers, même si leur ordre change.

Méthode — Divisions successives : un exemple entièrement contrôlé

Pour décomposer \(420\), divise par le plus petit nombre premier possible et recommence sur le quotient. Garde le même diviseur tant qu’il convient. \[\begin{array}{r|r|r} \text{entier à décomposer}&\text{diviseur premier}&\text{quotient}\\ \hline 420&2&210\\ 210&2&105\\ 105&3&35\\ 35&5&7\\ 7&7&1 \end{array}\] Chaque ligne remplace l’entier par « diviseur \(\times\) quotient ». Ainsi, \[\begin{aligned} 420&=2\times210=2\times2\times105\\ &=2\times2\times3\times35\\ &=2\times2\times3\times5\times7 =2^2\times3\times5\times7. \end{aligned}\] On s’arrête au quotient \(1\) : ce \(1\) est neutre dans le produit, il n’est pas un facteur premier à ajouter. Contrôle : \(2^2\times3\times5\times7=4\times3\times35=12\times35=420\).

Méthode — Un arbre de facteurs : même résultat, autre chemin

Si un produit vient facilement à l’esprit, pars de ce produit. Pour \(420\), on peut commencer par \(42\times10\), puis ne découper que les nombres composés.

Lecture du schéma. Chaque nombre non entouré est le produit de ses deux enfants : \(420=42\times10\), \(42=6\times7\), \(6=2\times3\), \(10=2\times5\). Les feuilles entourées sont premières. Leur produit donne \(2\times3\times7\times2\times5\), soit \(2^2\times3\times5\times7\).

Ne multiplie pas tous les nombres écrits dans l’arbre : les nombres intermédiaires ont déjà été remplacés par leurs enfants. Les divisions successives sont généralement plus systématiques ; l’arbre est pratique lorsqu’on repère immédiatement un produit.

Propriété — Lire une divisibilité dans les exposants

Pour deux entiers \(d,n\geq2\), \(d\) divise \(n\) si et seulement si chaque facteur premier de \(d\) apparaît dans \(n\) avec un exposant au moins aussi grand.

Par exemple, \(1008=2^4\times3^2\times7\) et \(72=2^3\times3^2\). On peut former \(72\) et il reste \(2\times7=14\) : \(1008=72\times14\). Mais \(32=2^5\) ne divise pas \(1008\), qui ne contient que quatre facteurs \(2\). Le diviseur \(1\) est traité directement : il divise tout entier.

À toi — Deux méthodes à pratiquer ; une condition à expliquer

Guidage. Construis un arbre pour \(180\) en partant de \(18\times10\). Poursuis chaque branche jusqu’à des nombres premiers.

Tentative autonome. Décompose \(378\) par divisions successives. Décide ensuite si \(54\) divise \(378\). Indice : après avoir extrait \(2\), le quotient est \(189\) ; le facteur \(3\) peut être extrait plusieurs fois.

Justification personnelle. Pourquoi \(12\times35\) n’est-il pas encore une décomposition en facteurs premiers de \(420\) ? Réponse attendue : le produit est exact, mais ses facteurs ne sont pas premiers ; \(12=2^2\times3\) et \(35=5\times7\). Une justification complète vérifie à la fois le produit et la nature des facteurs.

Pour reprendre — Un exposant n’est pas une décoration

Erreur à diagnostiquer. Un élève écrit \(180=2^2\times3\times5\). En recalculant, on obtient \(4\times3\times5=60\), et non \(180\) : un facteur a été perdu.

Rappel et modèle plus simple. Dans \(18=2\times3\times3\), deux facteurs \(3\) donnent \(3^2\), donc \(18=2\times3^2\).

Nouvel essai. Décompose \(90\) sans supprimer une répétition.

Retour. Puisque \(180=2\times90\), sa décomposition est \(2\times2\times3^2\times5=2^2\times3^2\times5\). Recalculer le produit détecte un facteur manquant ; vérifier que chaque base est première détecte une décomposition inachevée. Les deux contrôles sont nécessaires.

À toi — Reprise différée et changement de question

À la prochaine séance, sans modèle, décompose \(198\), puis décide si \(18\) et \(27\) le divisent. Aide : commence par \(198=2\times99\) ; compare ensuite les nombres de facteurs \(3\).

À retenir — Deux preuves de nature différente

Pour prouver qu’un nombre n’est pas premier, un seul diviseur propre suffit. Pour prouver qu’il est premier, il faut une liste complète de tests avec une borne d’arrêt.

Pour décomposer : tous les facteurs finaux doivent être premiers, leurs répétitions doivent être conservées et leur produit doit redonner le nombre. Pour lire une divisibilité : compare les bases et les exposants.

Définition — Une fraction est d’abord un quotient

Pour deux entiers \(a\) et \(b\), avec \(b\neq0\), la fraction \(\dfrac ab\) désigne le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). Le nombre \(a\) est le numérateur, \(b\) le dénominateur.

Par exemple, \(\dfrac34\) est le nombre dont le produit par \(4\) vaut \(3\). La barre de fraction signifie une division ; \(\dfrac34\) n’est ni \(3-4\) ni une juxtaposition de deux entiers.

Une représentation possible. Pour \(\dfrac34\), partage une même unité en quatre parts égales et prends-en trois. En partageant chaque quart en deux, les trois quarts deviennent six huitièmes : le nombre n’a pas changé. Cette image aide pour les quantités positives ; les fractions négatives et les opérations générales sont justifiées par les règles de calcul, pas seulement par un dessin de parts.

Le dénominateur ne peut jamais être nul : aucun nombre multiplié par \(0\) ne donne \(3\), donc \(\dfrac30\) n’existe pas ; \(\dfrac00\) ne définit pas non plus un quotient unique. En revanche, \(\dfrac0b=0\) dès que \(b\neq0\), puisque \(b\times0=0\).

Propriété — Multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre

Si \(b\neq0\) et si l’entier \(k\) est non nul, alors \[\frac ab=\frac{ka}{kb}.\]

Dans l’autre sens, si \(a=da'\) et \(b=db'\) avec un entier \(d\neq0\), la propriété donne \(\dfrac ab=\dfrac{a'}{b'}\). On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun \(d\).

Multiplier ou diviser un seul des deux termes change généralement le nombre. Par exemple, \(\dfrac34=\dfrac68\), mais \(\dfrac64\neq\dfrac34\).

Convention — Placer le signe et traiter zéro

On écrit habituellement la forme finale avec un dénominateur positif. La propriété précédente, appliquée à \(k=-1\), permet de changer les deux signes : \[\frac{5}{-8}=\frac{-5}{8}=-\frac58, \qquad \frac{-5}{-8}=\frac58.\] Le signe moins peut être devant la fraction ou au numérateur, mais pas être oublié. Une fraction nulle se présente simplement sous la forme \(\dfrac01\) lorsque l’on demande une écriture fractionnaire irréductible.

À toi — Repérage : simplifiée signifie-t-il irréductible ?

Un élève a écrit \(\dfrac{12}{18}=\dfrac46\) et annonce « j’ai terminé ». L’égalité est-elle juste ? Le travail est-il terminé si la consigne demande une forme irréductible ?

Définition — Irréductible et premiers entre eux

Une fraction \(\dfrac ab\), avec \(b\neq0\), est irréductible si ses deux termes n’ont aucun diviseur commun positif autre que \(1\). On dit alors que les entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

Ce vocabulaire ne signifie pas que chacun est premier. Par exemple, \(35=5\times7\) et \(64=2^6\) sont deux nombres composés, mais ils sont premiers entre eux ; \(\dfrac{35}{64}\) est irréductible.

L’irréductibilité concerne l’écriture, non la valeur du nombre : \(\dfrac23\) et \(\dfrac46\) représentent le même nombre, mais seule la première est irréductible. Avec un numérateur nul et un dénominateur positif \(b\), tout diviseur de \(b\) divise aussi \(0\) ; seule \(\dfrac01\) est donc irréductible.

Rappel — Les facteurs premiers nécessaires dans cette unité

Un entier positif \(d\) divise \(n\) lorsque \(n=dq\) avec \(q\) entier. Un nombre premier est un entier ayant exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même. Tout entier au moins égal à \(2\) est un produit de nombres premiers ; l’inventaire des facteurs est unique à leur ordre près. Nous réutilisons ici ce résultat, dont l’unicité est admise dans le parcours principal.

Pour retrouver les facteurs, on divise successivement par \(2\), \(3\), \(5\), etc., jusqu’au quotient \(1\). Exemple : \[84=2\times42=2\times2\times21=2^2\times3\times7.\] \(2^2\) veut dire \(2\times2\). Pour un numérateur négatif, on décompose son opposé positif et on conserve le signe moins séparément. On ne cherche pas de décomposition première de \(0\) ou de \(1\).

Critère — Quand les décompositions prouvent-elles l’irréductibilité ?

Si le numérateur vaut \(1\) ou \(-1\), ou si le dénominateur positif vaut \(1\), la fraction est déjà irréductible : \(1\) n’a pas de diviseur positif supérieur à \(1\). Dans les autres cas de numérateur non nul, on décompose le numérateur sans son signe et le dénominateur positif, tous deux au moins égaux à \(2\). Il n’y a plus de simplification possible exactement lorsqu’aucun nombre premier ne figure à la fois dans ces deux décompositions.

Ainsi, « je ne vois plus de facteur commun » n’est pas toujours une preuve ; des décompositions complètes, elles, donnent un contrôle.

Méthode — Simplifications successives : choisir un petit diviseur commun

Pour réduire \(\dfrac{-84}{132}\), le dénominateur est déjà positif. On divise les deux termes par \(2\), puis encore par \(2\), puis par \(3\) : \[\frac{-84}{132} =\frac{-84\div2}{132\div2} =\frac{-42}{66} =\frac{-42\div2}{66\div2} =\frac{-21}{33} =\frac{-21\div3}{33\div3} =\frac{-7}{11}.\] Chaque division est exacte et porte sur les deux termes. Les nombres \(7\) et \(11\) sont deux nombres premiers distincts : leur seul diviseur commun positif est \(1\). La forme finale est donc irréductible.

Choix et contrôle. Cette méthode est commode si un petit diviseur commun se repère vite. Inutile de trouver le plus grand dès le début. En revanche, il faut continuer jusqu’au bout, puis justifier l’arrêt. Pour contrôler la valeur, on peut revenir en arrière : \(-7\times12=-84\) et \(11\times12=132\).

Méthode — Décompositions premières : enlever exactement les facteurs communs

Cette voie est plus systématique lorsque les simplifications ne sont pas évidentes. Pour la même fraction : \[84=2^2\times3\times7,\qquad 132=2\times66=2^2\times33=2^2\times3\times11.\] Le facteur commun est \(2^2\times3=12\). On réécrit le quotient en faisant apparaître ce produit entier : \[\frac{-84}{132} =\frac{12\times(-7)}{12\times11} =\frac{-7}{11}.\] Les facteurs restants, \(7\) et \(11\), sont différents : l’écriture est irréductible. Si une base apparaît avec des exposants différents, on ne retire que le nombre d’exemplaires présents des deux côtés. Par exemple, dans \(\dfrac{2^3}{2^5}\), on retire trois facteurs \(2\), pas cinq : \[\frac{2^3}{2^5}=\frac{2^3\times1}{2^3\times2^2}=\frac14.\] Un facteur entièrement retiré laisse \(1\), jamais \(0\) : \(8\div8=1\).

À toi — Essai guidé puis tentative : choisir et justifier

Essai guidé. Réduis \(\dfrac{180}{252}\) en décomposant les deux termes. Commence par \(180=18\times10\) et \(252=4\times63\).

Tentative. Réduis ensuite \(\dfrac{150}{-210}\) par la méthode de ton choix. Écris pourquoi le résultat est irréductible. Indice : place d’abord le signe ; \(10\), puis \(3\), sont des diviseurs communs utiles.

Justification personnelle. Explique pourquoi \(\dfrac{35}{64}\) peut être irréductible alors que ni \(35\) ni \(64\) n’est premier. Une réponse possible est : « \(35\) utilise seulement les facteurs premiers \(5\) et \(7\), tandis que \(64\) utilise seulement \(2\). Aucun facteur premier n’est commun. » Les deux éléments attendus sont les décompositions et l’absence de facteur commun, pas la seule affirmation « ils sont différents ».

Pour reprendre — Réparer un arrêt trop tôt

Erreur initiale. Dire que \(\dfrac{12}{18}=\dfrac46\) est la forme irréductible confond « une simplification » et « la fin des simplifications ».

Rappel et exemple plus simple. Dans \(\dfrac69\), le diviseur commun \(3\) donne \(\dfrac23\). Le numérateur \(2\) et le dénominateur \(3\) n’ont plus de diviseur commun supérieur à \(1\).

Nouvel essai. Réduis \(\dfrac{20}{30}\) et justifie l’arrêt.

Retour à la première erreur. \(\dfrac{12}{18}=\dfrac46=\dfrac23\). Si un facteur commun est encore visible, la valeur est correcte, mais la consigne « irréductible » n’est pas encore satisfaite.

À toi — Reprise différée : un cas ordinaire et le cas zéro

Lors d’une prochaine séance, réduis \(\dfrac{225}{360}\) et \(\dfrac0{-8}\) avant de relire cette unité. Aide : \(225=9\times25\) et \(360=8\times45\) ; le second cas ne se traite pas par factorisation de zéro.

À toi — Repérage : pourquoi ne pas additionner les dénominateurs ?

Calcule \(\dfrac23+\dfrac14\). L’écriture \(\dfrac37\) te paraît-elle possible ?

Propriété — Addition, soustraction et multiplication

Pour \(b\neq0\) et \(d\neq0\) : \[\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac ab-\frac cd=\frac{ad-bc}{bd}, \qquad \frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}.\]

Un dénominateur commun plus petit que \(bd\) peut rendre les calculs plus simples. Les formules justifient les règles ; elles n’imposent pas de choisir systématiquement le produit \(bd\).

Méthode — Additionner ou soustraire : rendre les dénominateurs égaux

Commence par chercher un multiple commun des dénominateurs, puis indique le multiplicateur de chaque fraction en haut et en bas. \[\begin{aligned} \frac5{12}+\frac7{18} &=\frac{5\times3}{12\times3}+\frac{7\times2}{18\times2}\\ &=\frac{15}{36}+\frac{14}{36} =\frac{15+14}{36}=\frac{29}{36}. \end{aligned}\] Le nombre \(36\) convient car \(36=12\times3=18\times2\). Les seuls facteurs premiers de \(36\) sont \(2\) et \(3\) ; \(29\) n’est divisible ni par \(2\) ni par \(3\), donc le résultat est irréductible.

Pour une différence, conserve le signe de chaque numérateur : \[\frac58-\frac7{12} =\frac{5\times3}{8\times3}-\frac{7\times2}{12\times2} =\frac{15-14}{24} =\frac1{24}.\] Le dénominateur reste \(24\) ; il ne devient pas \(24-24\). Un numérateur égal à \(1\) donne automatiquement une fraction irréductible.

Méthode — Multiplier : des produits, donc des simplifications possibles

Pour un produit, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Il n’est pas nécessaire de rendre les dénominateurs égaux : \[\begin{aligned} \frac{14}{15}\times\frac{25}{21} &=\frac{14\times25}{15\times21}\\ &=\frac{(2\times7)\times(5\times5)} {(3\times5)\times(3\times7)}\\ &=\frac{(7\times5)\times(2\times5)} {(7\times5)\times(3\times3)} =\frac{10}{9}. \end{aligned}\] Le facteur commun \(7\times5=35\) a été divisé en haut et en bas. Le résultat est irréductible, puisque \(10=2\times5\) et \(9=3^2\). Le contrôle par le produit non simplifié donne \(\dfrac{350}{315}=\dfrac{10}{9}\). Les simplifications anticipées évitent de gros nombres, mais elles portent sur des facteurs, pas sur des termes d’une somme.

Propriété — Diviser par une fraction non nulle

Si \(b\neq0\), \(d\neq0\) et \(c\neq0\), alors \[\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc.\]

Le numérateur \(a\) du nombre que l’on divise peut être nul. C’est le diviseur, non le dividende, qui doit être non nul.

Méthode — Identifier le diviseur avant de prendre son inverse

Dans \(\dfrac{-9}{10}\div\dfrac35\), le diviseur est \(\dfrac35\), non nul puisque \(3\neq0\). Son inverse est \(\dfrac53\), et \(\dfrac35\times\dfrac53=\dfrac{15}{15}=1\). On peut alors écrire : \[\frac{-9}{10}\div\frac35 =\frac{-9}{10}\times\frac53 =\frac{-45}{30} =\frac{-45\div15}{30\div15} =-\frac32.\] Le nombre obtenu est bien le quotient : \(-\dfrac32\times\dfrac35=-\dfrac9{10}\), ce qui reconstitue le dividende. Ne retourne pas la première fraction et ne retourne pas les deux.

Propriété — Comparer avec des dénominateurs positifs

Si \(b>0\) et \(d>0\), comparer \(\dfrac ab\) et \(\dfrac cd\) revient à comparer \(ad\) et \(bc\).

Par exemple, \(\dfrac7{12}=\dfrac{14}{24}<\dfrac{15}{24}=\dfrac58\) ; le contrôle par produits croisés donne \(7\times8=56<60=5\times12\). Si un dénominateur est négatif, replace d’abord le signe au numérateur pour appliquer cette version du résultat.

À toi — Du guidage au choix des opérations

Essai guidé. Calcule \(\dfrac16+\dfrac59\) en choisissant le dénominateur \(18\). Écris les deux multiplicateurs.

Tentative autonome. Calcule \(\left(\dfrac34-\dfrac16\right)\div\dfrac79\) et donne une forme irréductible. Indice : effectue d’abord le calcul entre parenthèses ; identifie ensuite le diviseur avant d’utiliser son inverse.

Justification personnelle. Pourquoi doit-on préciser « diviseur non nul » ? Une réponse complète cite l’inverse, explique que son dénominateur serait nul si le diviseur était nul et distingue les deux expressions suivantes : \(0\div\dfrac57=0\), tandis que \(\dfrac57\div0\) n’est pas défini.

Pour reprendre — Réparer une simplification à travers une somme

Première erreur. Dans \(\dfrac{6+9}{3}\), supprimer le facteur \(3\) uniquement dans \(6\) conduit à \(2+9=11\). Cette suppression ne divise pas tout le numérateur.

Rappel et exemple plus simple. \(\dfrac{4+2}{2}=\dfrac62=3\). Si l’on distribue la division, elle porte sur les deux termes : \(\dfrac42+\dfrac22=2+1=3\), et non \(2+2\).

Nouvel essai. Calcule \(\dfrac{10+15}{5}\) de deux façons.

Retour à l’erreur. \(\dfrac{6+9}{3}=\dfrac{3(2+3)}3=5\). On peut aussi écrire \(\dfrac63+\dfrac93=2+3=5\). Avant toute simplification, demande-toi : « Le nombre que je retire est-il un facteur de l’ensemble du numérateur et de l’ensemble du dénominateur ? »

À toi — Reprise différée : ordre, contrôle et résultat exact

Sans regarder les exemples, calcule \(\dfrac56-\dfrac34\times\dfrac29\). Puis compare le résultat à \(\dfrac58\). Aide : le produit est prioritaire ; pour comparer, trouve un dénominateur commun positif.

À retenir — Un choix de règle, puis deux contrôles

Pour \(+\) ou \(-\) : même dénominateur, puis opération sur les numérateurs. Pour \(\times\) : produits des numérateurs et des dénominateurs. Pour \(\div\) : diviseur non nul, puis multiplication par son inverse.

Premier contrôle : chaque égalité conserve-t-elle le nombre, les signes et les conditions ? Deuxième contrôle, si demandé : la fraction finale est-elle vraiment irréductible ? Une bonne valeur et une forme irréductible sont deux exigences distinctes.

Repérage — Les mêmes mots ne demandent pas la même recherche

On veut partager 24 cartes en paquets identiques sans reste. Le nombre de paquets divise-t-il 24 ou est-il un multiple de 24 ? Une sonnerie retentit toutes les 6 minutes : ses instants après le départ divisent-ils 6 ou sont-ils des multiples de 6 ?

Méthode — Traduire avant de choisir une technique

1. Définis l’inconnue avec son unité : nombre de lots, objets par lot, durée en minutes…

2. Traduis chaque contrainte par un produit ou une divisibilité. « Sans reste », « identiques » et « en même temps » n’ont pas la même fonction.

3. Repère la demande exacte : une solution, toutes les solutions, la plus grande, la plus petite positive, une solution dans un intervalle ?

4. Choisis la voie : petites listes complètes si les nombres sont modestes ; facteurs premiers si les listes sont longues ; division euclidienne pour une borne.

5. Contrôle dans le contexte : entiers positifs, unités, aucun reste, toutes les contraintes et justification du maximum ou du minimum.

Une réponse possible n’est pas forcément la réponse optimale. Et un résultat numérique exact ne répond pas encore au problème si l’on a mal choisi ce qu’il représente.

Exemple — Des lots de matériel

Un atelier possède 168 crayons verts et 126 crayons bleus. Il veut utiliser tous les crayons pour faire le plus grand nombre de lots identiques : même nombre de verts dans chaque lot et même nombre de bleus dans chaque lot. Combien de lots et quelle composition ?

Traduction. Si \(g\) est le nombre de lots, \(168=gv\) et \(126=gb\), où \(v\) et \(b\) sont les quantités entières par lot. Ainsi \(g\) est un diviseur commun positif de 168 et de 126. Il faut le plus grand.

Recherche par facteurs. Les divisions successives donnent \[168=2\times84=2^2\times42=2^3\times21=2^3\times3\times7,\] \[126=2\times63=2\times3\times21=2\times3^2\times7.\] Un diviseur commun ne peut prendre que les facteurs présents dans les deux nombres : au plus un 2, un 3 et un 7. Leur produit est \(2\times3\times7=42\). Il divise les deux nombres, et tout autre diviseur commun utilise une partie de ces facteurs : il ne peut pas être plus grand. Donc \(g=42\).

Retour au contexte. \(168/42=4\) et \(126/42=3\). On réalise 42 lots de 4 crayons verts et 3 crayons bleus. Contrôle : \(42\times4=168\) et \(42\times3=126\) ; tout le stock est utilisé et chaque lot contient 7 crayons.

Autre voie. Les diviseurs positifs de 168 sont \(1,2,3,4,6,7,8,12,14,21,24,28,42,56,84,168\). Ceux de 126 sont \(1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126\). Les nombres présents dans les deux listes sont \(1,2,3,6,7,14,21,42\). Le plus grand est encore 42. Cette voie donne également tous les nombres de lots possibles ; les facteurs rendent ici la recherche du maximum plus rapide.

Piège — Maximiser le nombre de lots ou leur taille ?

Dans l’exemple, plus on fait de lots, moins chacun contient de crayons. « Le plus grand nombre de lots » ne signifie donc pas « le plus grand nombre de crayons par lot ». Si l’on autorise un unique lot et qu’on veut sa plus grande taille, il suffit de garder tout le stock ensemble : c’est un autre problème.

Exemple — Deux signaux réguliers

Deux signaux s’allument ensemble au départ. L’un revient toutes les 12 minutes, l’autre toutes les 18 minutes. Après combien de minutes s’allument-ils de nouveau ensemble ?

Traduction. Le temps \(t\) doit s’écrire \(t=12u=18v\), avec \(u,v\) entiers positifs. C’est le plus petit multiple commun strictement positif : \(t=0\) correspond au départ, pas à la prochaine coïncidence.

Recherche par listes. Pour le premier signal : \(12,24,36,48,\ldots\) ; pour le second : \(18,36,54,\ldots\). La première valeur commune est 36. Il n’y en a pas avant : les seuls multiples positifs de 12 strictement inférieurs à 36 sont 12 et 24, et aucun n’est multiple de 18.

Variante par facteurs. \(12=2^2\times3\) et \(18=2\times3^2\). Un multiple commun doit contenir au moins deux facteurs 2 et deux facteurs 3. Le plus petit positif est donc \(2^2\times3^2=36\) ; tout multiple commun positif contient ces facteurs et est lui-même un multiple positif de 36. Cette justification utilise l’unicité de la décomposition première rappelée au début de l’unité.

Contrôle. \(36=12\times3=18\times2\) : le premier signal a accompli trois périodes, l’autre deux. La réponse est 36 minutes, pas 36 événements.

Exemple — Ajouter une plage de valeurs

On cherche tous les entiers compris entre 200 et 400 qui sont divisibles à la fois par 18 et par 24.

Les décompositions \(18=2\times3^2\) et \(24=2^3\times3\) imposent à tout multiple commun les facteurs \(2^3\times3^2=72\). Réciproquement, un multiple de 72 est divisible par 18 et par 24, car \(72=18\times4=24\times3\). Il suffit donc de lister les multiples de 72 dans la plage : \[72\times2=144<200,\quad72\times3=216,\quad72\times4=288,\quad72\times5=360,\] et \(72\times6=432>400\). Les réponses sont 216, 288 et 360. Les produits voisins prouvent que la liste est complète.

À toi — Du guidage au choix personnel

Essai guidé. On prépare des sachets identiques avec 96 billes rouges et 60 billes jaunes, en utilisant tout. Cherche le plus grand nombre de sachets puis leur composition. Commence par \(96=2^5\times3\) et \(60=2^2\times3\times5\).

Tentative sans méthode annoncée.

1. Une classe prépare des enveloppes identiques avec 132 autocollants noirs et 88 blancs, sans reste. Quel est le plus grand nombre d’enveloppes et leur contenu ?

2. Deux rotations commencent ensemble ; l’une dure 15 minutes, l’autre 24. Après combien de minutes se terminent-elles pour la première fois de nouveau ensemble ?

Indices, à lire seulement après essai : dans la première question, le nombre recherché divise les stocks ; dans la seconde, les durées divisent le temps recherché.

Justification personnelle. Pourquoi prend-on les facteurs communs avec les plus petits exposants pour les lots, mais avec les plus grands exposants pour la coïncidence ? Réponse possible : un diviseur doit tenir dans chacun des stocks, donc ne pas dépasser ce que le stock le moins riche en ce facteur permet. Un multiple doit contenir les deux durées, donc assez de facteurs pour chacune. Critères : distinguer « divise chacun » de « est divisible par chacun » et expliquer les deux contraintes sur les facteurs.

Variation de condition. Si l’on demande les coïncidences entre 0 et 250 minutes départ inclus, pour les rotations de 15 et 24 minutes, les réponses sont \(0,120,240\). Si l’on demande la prochaine après le départ, 0 doit disparaître et seule la première valeur positive est retenue.

Pour reprendre — Si tu trouves une solution mais pas le maximum

Erreur : « Avec 18 objets d’une sorte et 24 d’une autre, on peut faire 3 lots identiques, donc le maximum est 3. » Trois lots conviennent, mais il peut y en avoir davantage. Rappel : maximum signifie « convient et aucun plus grand ne convient ».

Exemple plus simple corrigé. Pour 8 et 12 objets, les diviseurs communs positifs sont 1, 2 et 4 ; le maximum est 4, avec 2 et 3 objets par lot. Nouvel essai : reprends 18 et 24. Leurs diviseurs communs sont \(1,2,3,6\) ; le maximum est 6, avec 3 et 4 objets par lot. Retour : dans le problème des enveloppes, explique pourquoi les facteurs disponibles interdisent un diviseur commun supérieur à 44.

Reprise différée, sans relire. On dispose de 70 rubans verts et 98 rubans bleus. Combien de lots identiques au maximum peut-on faire sans reste ? Aide : \(70=2\times5\times7\) et \(98=2\times7^2\).

À retenir — Quatre questions à garder

Qu’est-ce que je cherche, avec quelle unité ? Qui divise qui ? Faut-il une solution, toutes, un maximum ou un minimum positif ? Ai-je vérifié les contraintes et justifié que ma réponse est complète ou optimale ?

Rappel — Quotient entier et reste

Pour deux entiers naturels \(a\) et \(b\), avec \(b>0\), la division euclidienne s’écrit \[a=bq+r,\qquad 0\leq r<b,\] où \(q\) et \(r\) sont des entiers naturels. Ce couple \((q,r)\) est unique. \(q\) est le quotient entier et \(r\) le reste. Par exemple, \(157=7\times22+3\), avec \(0\leq3<7\). Les groupes complets de \(7\) correspondent à \(22\) groupes et les \(3\) unités restantes ne permettent pas de former un groupe supplémentaire. Cette image aide pour des quantités positives ; l’égalité est le contrôle exact.

Notation — Lire le code sans confondre affectation et comparaison

L’indentation, c’est-à-dire le décalage vers la droite, indique quelles instructions appartiennent à la fonction ou à la boucle. Le signe # introduit un commentaire : cette partie de la ligne n’est pas exécutée.

À toi — Repérer le rôle du reste

On sait que \(38=6\times6+2\). Que renvoient 38 // 6, 38 % 6, puis 38 % 6 == 0 ?

Caractérisation — Un reste nul reconnaît exactement un multiple

Pour \(a\) entier naturel et \(b\) entier naturel strictement positif, \(a\) est multiple de \(b\) si et seulement si le reste de sa division euclidienne par \(b\) est nul.

Algorithme — Une fonction qui renvoie vrai ou faux

Contrat. Entrées : entiers \(a\geq0\) et \(b>0\). Sortie : True exactement lorsque \(a\) est multiple de \(b\).

def est_multiple(a, b):
    # Entrees : a entier >= 0 et b entier > 0.
    return a % b == 0

Le premier geste consiste à vérifier le domaine des entrées. Ensuite, la fonction calcule le reste, le compare à zéro et renvoie le booléen obtenu. Une seule comparaison suffit : il n’est pas nécessaire d’écrire une boucle.

Piège — Une entrée interdite n’est pas une réponse fausse

La fonction n’accepte pas \(b=0\) : a % 0 n’est pas défini. Il ne faut pas ajouter « si \(b=0\), renvoyer faux » en prétendant ainsi traduire toute la définition mathématique.

En effet, selon la définition « \(a=bk\) pour un entier \(k\) », \(0\) est multiple de \(0\), car \(0=0\times0\). Le programme ci-dessus a simplement un domaine plus restreint. Le lancer hors de ce domaine ne permet aucune conclusion sur la divisibilité. De même, on ne lui fournit pas de nombres décimaux non entiers.

À toi — Compléter un test puis le contrôler

Complète est_multiple(84, 12) à la main : \(84=12\times\ldots+\ldots\). Quel résultat la fonction renvoie-t-elle ? Que renvoie-t-elle avec \(85\) à la place de \(84\) ?

Indice. Cherche un produit de \(12\) voisin de \(84\).

À toi — Essayer avant de consulter

Sans exécuter Python, prévois les résultats de est_multiple(221, 13) et est_multiple(222, 13). Écris les divisions euclidiennes qui justifient tes réponses.

Indice. \(13\times10=130\) et \(13\times7=91\).

À toi — Écrire réellement une fonction

Écris une fonction est_diviseur(d, n) dont les entrées sont un entier d strictement positif et un entier naturel n. Elle doit renvoyer True exactement lorsque d divise n. Attention : l’ordre des arguments diffère de celui de est_multiple.

Avant de consulter la correction, écris ta fonction, puis prévois ses sorties pour les couples \((7,203)\), \((7,204)\) et \((7,0)\). Indice : nomme le nombre à diviser et le diviseur avant d’écrire l’opérateur %.

def est_diviseur(d, n):
    # Entrees : d entier > 0 et n entier >= 0.
    return n % d == 0

Pour reprendre — Si tu confonds quotient et reste

Première erreur possible : « 24 // 6 == 0 est le bon test, car on divise par \(6\). » Reviens à \(10=3\times3+1\) : le quotient compte les groupes complets ; le reste compte les unités non réparties. Un partage exact exige zéro unité restante, pas zéro groupe.

Nouvel essai. Prévois les résultats de 18 // 3 == 0 et 18 % 3 == 0.

À toi — À reprendre un autre jour, avant de relire

Prévois est_multiple(203, 7) et est_multiple(204, 7). Explique pourquoi est_multiple(203, 0) n’est pas une troisième question recevable pour cette fonction.

Indice. Pars de \(7\times30=210\).

À toi — Ne pas confondre la borne et le résultat

Parmi \(0,8,16,24,32,40,48,56,64\), quel est le plus grand multiple de \(8\) inférieur ou égal à \(59\) ?

Propriété — Utiliser le quotient entier

Pour \(a>0\) et \(b\geq0\) entiers, écrivons \(b=aq+r\), avec \(0\leq r<a\). Le plus grand multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\) est \(aq\).

Méthode — La voie directe conseillée

Je reconnais un pas entier positif et une borne à ne pas dépasser. Je vérifie \(a>0\), \(b\geq0\), puis je calcule le quotient entier de \(b\) par \(a\) et le multiplie par \(a\).

def plus_grand_multiple(a, b):
    # Entrees : a entier > 0 et b entier >= 0.
    q = b // a
    return a * q

Exemple. Pour \(a=8\), \(b=59\), on calcule \(59=8\times7+3\), donc q vaut \(7\), puis le résultat vaut \(8\times7=56\). Le contrôle complet est \[56\text{ multiple de }8,\qquad 56\leq59<56+8.\]

Algorithme — Autre voie : avancer de multiple en multiple

def plus_grand_multiple_boucle(a, b):
    # Entrees : a entier > 0 et b entier >= 0.
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Pourquoi tester le prochain multiple ? La condition vérifie que l’on peut avancer encore d’un pas \(a\) sans dépasser la borne. Dans m = m + a, Python lit d’abord l’ancienne valeur de m, calcule la somme, puis range la nouvelle valeur dans m. Il ne s’agit pas d’une équation à résoudre.

À toi — Compléter puis contrôler

Cherche le plus grand multiple de \(6\) inférieur ou égal à \(41\). Complète \(41=6\times\ldots+\ldots\), puis indique les deux derniers tests effectués par la boucle.

Indice. \(6\times6=36\).

À toi — Essayer avant de consulter

Prévois les résultats pour \((a,b)=(11,100)\), \((11,99)\) et \((11,5)\). Justifie chacun sans lancer le programme.

Indice. Pense à \(11\times9\), puis à la possibilité \(q=0\).

Pour reprendre — Réparer un dépassement de borne

Si tu testes seulement \(m<b\), représente les multiples comme des marches : il faut regarder où mène le prochain pas. Cette image éclaire le test ; la preuve reste l’inégalité \(m+a\leq b\).

Exemple plus simple corrigé. Avec \(a=2\), \(b=5\), on part de \(m=0\). Le test \(0+2\leq5\) est vrai : \(m\) devient \(2\). Puis \(2+2\leq5\) est vrai : \(m\) devient \(4\). Enfin \(4+2\leq5\) est faux, donc on renvoie \(4\). Tester seulement \(4<5\) aurait autorisé un pas vers \(6\), trop grand.

Nouvel essai. Avec \(a=3\), \(b=8\), suis la boucle correcte.

À toi — À reprendre plus tard

Cherche le plus grand multiple de \(14\) ne dépassant pas \(120\). Puis explique ce qui change si la consigne impose de rester strictement inférieur à \(112\).

Indice. Compare \(14\times7\), \(14\times8\) et \(14\times9\).

À toi — Programmer une consigne qui change

Pour deux entiers \(a>0\) et \(b>0\), écris une fonction plus_grand_multiple_strict(a, b) qui renvoie le plus grand multiple naturel de \(a\) strictement inférieur à \(b\). Le multiple \(0\) reste autorisé. Prévois les résultats pour \((a,b)=(14,112)\), \((14,120)\) et \((14,1)\), puis explique ton choix de calcul.

Indice : pour des nombres entiers, être strictement inférieur à \(b\) revient à être inférieur ou égal à \(b-1\).

def plus_grand_multiple_strict(a, b):
    # Entrees : a entier > 0 et b entier > 0.
    q = (b - 1) // a
    return a * q

À retenir — Trois contrôles avant de faire confiance au programme

Je vérifie d’abord les entrées autorisées. Je suis ensuite au moins un exemple à la main, en distinguant les valeurs avant et après chaque affectation. Enfin, j’explique pourquoi la procédure fonctionne pour toutes les entrées de son domaine. Quelques essais réussis peuvent révéler ou éviter des erreurs ; ils ne remplacent pas cette preuve.

Rappel — Divisibilité et division euclidienne

Dire qu’un entier \(d\) divise un entier \(a\) signifie que l’on peut écrire \(a=du\) avec \(u\) entier. Si \(b>0\), la division euclidienne de l’entier naturel \(a\) par \(b\) fournit \[a=bq+r,\qquad 0\leq r<b.\] Les nombres \(q\) et \(r\) sont entiers : quotient et reste. Dans ce complément, les diviseurs dont on cherche le plus grand sont toujours positifs.

Définition — Le PGCD

Pour deux entiers naturels \(a,b\), non tous deux nuls, le plus grand commun diviseur, noté \(\operatorname{PGCD}(a,b)\), est le plus grand de leurs diviseurs positifs communs.

Il existe : \(1\) est un diviseur commun et, si par exemple \(a>0\), les diviseurs positifs de \(a\) forment un ensemble fini contenu dans \(1,2,\ldots,a\). Parmi ceux qui divisent aussi \(b\), il y en a donc un plus grand.

Lemme — Remplacer les deux nombres par le diviseur et le reste

Si \(a=bq+r\), avec \(a\geq0\), \(b>0\) et \(0\leq r<b\), alors les diviseurs positifs communs à \(a\) et \(b\) sont exactement ceux qui sont communs à \(b\) et \(r\). Ce lemme justifie l’algorithme qui suit.

Corollaire — L’égalité qui permet de recommencer

Sous les conditions du lemme, \[\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r).\]

Méthode — Algorithme d’Euclide

Quand l’utiliser ? Pour chercher le PGCD de deux entiers, sans dresser toutes leurs listes de diviseurs. Premier geste : effectuer la division euclidienne du premier par le second, lorsque le second n’est pas nul.

Remplacer ensuite le couple « premier, second » par le couple « ancien second, reste ». Recommencer tant que le second nombre n’est pas nul. Le premier nombre du couple final est le PGCD. Si le second nombre initial vaut déjà zéro et le premier est positif, le résultat est immédiatement le premier.

Algorithme — Traduction Python et ordre des mises à jour

def pgcd(a, b):
    # Entrees : a, b entiers >= 0, non tous deux nuls.
    while b != 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a

Le signe != signifie « différent de ». Le reste doit être calculé avant de remplacer a et b : il dépend des deux anciennes valeurs.

On ne calcule jamais a % 0 : lorsque b vaut zéro, le test de la boucle est faux et le programme renvoie a. Le contrat autorise aussi un premier nombre nul : pour \((a,b)=(0,7)\), le reste \(0\mathbin{\%}7\) vaut \(0\), puis le couple devient \((7,0)\) et la fonction renvoie \(7\). En revanche, le couple \((0,0)\) reste exclu : son PGCD n’est pas défini selon la convention de cette unité.

À toi — Essayer Euclide, puis expliquer

Calcule \(\operatorname{PGCD}(168,126)\). Pourquoi le dernier reste nul n’est-il pas le PGCD ?

Indice. Commence par \(168=126+42\).

À toi — Reprise différée

Calcule \(\operatorname{PGCD}(187,119)\), puis contrôle les divisions. Indice : le premier reste vaut \(68\).

Rappel — Premier, composé et diviseur premier

Un entier naturel premier possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même. Il est donc au moins égal à \(2\). Un entier au moins égal à \(2\) qui n’est pas premier est dit composé. Le nombre \(1\) n’appartient à aucune de ces deux catégories.

Exemples : \(7\) est premier ; \(21=3\times7\) est composé. Dans les deux cas, on peut trouver un diviseur premier : \(7\) pour le premier, \(3\) ou \(7\) pour le second.

Lemme — Un entier au moins égal à 2 possède un diviseur premier

Tout entier naturel \(N\geq2\) possède au moins un diviseur premier. Ce lemme suffit à la preuve qui suit ; on n’a pas besoin de supposer l’unicité d’une décomposition en facteurs premiers.

Théorème — Il existe une infinité de nombres premiers

Quelle que soit une liste finie de nombres premiers, on peut trouver un nombre premier qui n’y figure pas.

Piège — Le produit augmenté de 1 n’est pas forcément premier

La preuve ne dit pas que \(N=P+1\) est premier. Elle dit qu’il possède un diviseur premier nouveau. Par exemple, \[2\times3\times5\times7\times11\times13+1 =30031=59\times509.\] Le nombre \(30031\) est composé. Cela ne contredit pas la preuve : aucun premier \(2,3,5,7,11,13\) de la liste ne divise \(30031\). Le nombre \(59\) est un nouveau diviseur premier : il n’est divisible ni par \(2\), ni par \(3\), ni par \(5\), ni par \(7\), les seuls premiers inférieurs à \(\sqrt{59}<8\).

À toi — Faire vivre l’idée de la démonstration

Pars de la liste \(2,3,7\). Calcule le produit augmenté de \(1\). Trouve un nombre premier absent de la liste. Que faut-il justifier pour que l’exemple soit complet ?

Indice. Le nombre obtenu vaut \(43\).

À toi — Reprise différée et vigilance logique

Reprends la liste \(2,5,7\). Calcule \(P+1\), puis explique en une phrase pourquoi « vérifier dix listes » ne prouverait pas l’infinitude.

Indice. \(8^2=64\) et \(9^2=81\).

À retenir — Deux idées de preuve à emporter

Dans l’algorithme d’Euclide, on transforme le problème en conservant exactement les diviseurs communs, puis on démontre que les nombres diminuent jusqu’à l’arrêt. Pour les nombres premiers, on construit un nombre qui échappe à toute liste finie proposée. Dans les deux cas, la conclusion porte sur une famille entière parce que le raisonnement traite les conditions générales, et non seulement quelques exemples.

À retenir — Les nombres et les égalités de base

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}\) et \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\). La valeur exacte, et non l’apparence de l’écriture, décide de l’appartenance : \(12/3=4\in\mathbb{N}\).

Pour un entier \(a\) et un entier \(b>0\), la division euclidienne fournit des entiers uniques \(q,r\) tels que \(a=bq+r\) et \(0\leq r<b\).

\(d\mid n\) signifie \(n=dk\) pour un entier \(k\). Si \(d>0\), c’est équivalent à un reste nul dans la division par \(d\). Tout entier divise 0, mais on ne divise jamais numériquement par 0. Des sommes et différences de multiples de \(d\) sont encore des multiples de \(d\).

Pour les critères : dernier chiffre pour 2 (0, 2, 4, 6, 8), pour 5 (0 ou 5), pour 10 (0) ; nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par 4 pour tester 4 ; somme des chiffres divisible par 3 ou par 9 pour tester respectivement 3 ou 9. Pour 6, il faut 2 et 3 ; pour 12, il faut 3 et 4. Chaque « et » exige les deux tests.

Un entier pair s’écrit \(2k\) ; un entier impair s’écrit \(2k+1\), avec \(k\) entier relatif. Un produit est pair dès qu’un facteur est pair. Un produit de deux impairs est impair. Deux entiers de même parité ont une somme paire, deux de parités différentes une somme impaire.

À retenir — Premiers, fractions et preuves

Un nombre premier est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers. Pour tester \(n\geq2\), il suffit de chercher un diviseur premier \(p\) tel que \(p^2\leq n\) : un nombre composé en possède au moins un. Une décomposition première s’arrête au quotient 1 ; chaque facteur écrit doit être premier. L’existence a été démontrée, l’unicité admise.

Pour \(b\ne0\) et \(c\ne0\), \(a/b=(ac)/(bc)\). On simplifie un facteur commun du numérateur et du dénominateur, pas un terme isolé d’une somme. Une fraction de dénominateur positif est irréductible si le seul diviseur commun positif de ses deux termes est 1. Pour zéro, la forme irréductible est \(0/1\).

Pour additionner, on écrit des dénominateurs égaux. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse.

Une preuve générale utilise des entiers quelconques et justifie la conclusion pour chacun d’eux. Un contre-exemple suffit à réfuter un « toujours ». La réciproque de « si A alors B » est « si B alors A » ; elle peut être fausse. La contraposée « si non B alors non A » a la même valeur de vérité que la proposition de départ.

Méthode — Quelle recherche commencer ?

En Python, pour \(a\geq0\) et \(b>0\), a // b donne le quotient, a % b le reste et a % b == 0 le test de divisibilité. Le signe = affecte une valeur ; == compare deux valeurs. Pour un pas \(a>0\) et une borne \(b\geq0\), a * (b // a) donne le plus grand multiple autorisé.

À toi — 1 — Valeurs exactes et division

a. Classe \(-12/3\), \(14/2\), \(0\) et \(14/3\) dans \(\mathbb{N}\), dans \(\mathbb{Z}\) seulement, ou hors de \(\mathbb{Z}\). b. Donne la division euclidienne de 197 par 12, puis explique pourquoi le quotient exact \(197/12\) n’est pas entier.

À toi — 2 — Une liste et une borne

a. Donne tous les diviseurs positifs de 90. b. Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 200 ? Prouve qu’il est le plus grand.

À toi — 3 — Un chiffre et une affirmation

a. Complète \(8\square4\) pour qu’il soit divisible par 9 et par 4. b. Pour un entier \(n\), démontre que \(7(2n+5)+14n\) est divisible par 7. Un essai avec \(n=0\) suffirait-il ?

À toi — 4 — Parité et raisonnement

a. Écris \(-3\) sous la forme d’un entier impair. b. Si \(n,m\) sont entiers, quelle est la parité de \((2n+1)+(4m+3)\) ? c. Démontre que le carré d’un entier impair est impair, puis utilise ce résultat pour justifier : « si le carré d’un entier est pair, cet entier est pair ».

À toi — 5 — Premiers et décomposition

a. Les nombres 91 et 101 sont-ils premiers ? Justifie l’arrêt des tests. b. Décompose 378 en facteurs premiers et décide si 63 le divise sans poser une nouvelle division. c. Pourquoi n’ajoute-t-on pas 1 à la liste des nombres premiers ?

À toi — 6 — Fractions exactes

Réduis \(-90/126\) en fraction irréductible, puis calcule exactement \[A=\frac58-\frac16,\qquad B=\frac{-3}{10}\div\frac9{25}.\] Justifie les dénominateurs choisis, la division par une fraction et l’irréductibilité des résultats.

À toi — 7 — Deux situations à distinguer

a. Avec 144 badges rouges et 180 bleus, on veut faire le plus grand nombre de pochettes identiques sans reste. Donne leur nombre et leur composition. b. Deux éclairages ont des cycles de 8 secondes et de 14 secondes. Ils démarrent ensemble. Quand se retrouvent-ils pour la première fois au début d’un cycle commun après le départ ?

À toi — 8 — Écrire et comprendre un programme

a. Écris une fonction Python qui renvoie si un entier naturel \(n\) est divisible par un entier \(d>0\). Que doit-elle renvoyer pour \(n=0\) ? b. Écris une fonction renvoyant le plus grand multiple d’un entier \(a>0\) inférieur ou égal à un entier \(b\geq0\). c. On préfère une boucle partant de m = 0. Faut-il tester m <= b ou m + a <= b avant d’ajouter a ? Explique avec \(a=6\) et \(b=20\).

Indices — À consulter après une vraie tentative

1. Cherche les multiples de 12 autour de 197. 2. Associe les diviseurs de 90 par paires ; pour la borne, contrôle le multiple suivant. 3. La somme des chiffres est \(12+c\) ; pour la preuve, laisse 7 en facteur. 4. Utilise un entier \(k\) dans \(2k+1\) et distribue les quatre produits du carré. 5. \(11^2>101\) ; quels premiers plus petits faut-il tester ? 6. 24 est un multiple commun de 8 et 6 ; identifie la fraction qui joue le rôle de diviseur. 7. Demande-toi qui divise qui. 8. Le reste et le quotient euclidien sont accessibles avec % et // ; une boucle doit contrôler la valeur après l’ajout envisagé.

Correction — 1 — Le quotient exact peut ne pas être entier

a. \(-12/3=-4\) appartient à \(\mathbb{Z}\) mais pas à \(\mathbb{N}\). \(14/2=7\) et 0 sont naturels, donc aussi entiers relatifs. \(14=3\times4+2\), donc \(14/3=4+2/3\), strictement entre 4 et 5 : il n’est pas entier.

b. \(12\times16=192\) et \(12\times17=204\) ; \(192\leq197<204\). Le quotient est 16 et le reste \(197-192=5\). Ainsi \(197=12\times16+5\) avec \(0\leq5<12\). Puis \(197/12=16+5/12\) ; comme \(0<5/12<1\), il est strictement entre 16 et 17. Le reste non nul donnait déjà ce constat.

Correction — 2 — Justifier qu’il ne manque rien

a. Les paires sont \(1\times90\), \(2\times45\), \(3\times30\), \(5\times18\), \(6\times15\), \(9\times10\). Les tests manquants avant 10 échouent : \(90=4\times22+2=7\times12+6=8\times11+2\). Comme \(10^2>90\), tout petit facteur possible a été traité. La liste triée est \(1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90\).

b. \(200=7\times28+4\) avec \(0\leq4<7\). Le multiple cherché est \(7\times28=196\). Le suivant vaut \(196+7=203>200\) ; tous les suivants sont encore plus grands. C’est donc bien le maximum, pas seulement un multiple convenable.

Correction — 3 — Contraintes et témoin entier

a. Avec le chiffre \(c\), la somme vaut \(8+c+4=12+c\). Elle est entre 12 et 21 ; son seul multiple de 9 possible est 18. Donc \(12+c=18\). On soustrait 12 aux deux membres : \(12+c-12=18-12\), puis \(c=6\). Les deux derniers chiffres donnent 64, divisible par 4 puisque \(64=4\times16\). Le nombre est 864. Contrôles : \(864=9\times96=4\times216\).

b. Pour tout entier \(n\), \[7(2n+5)+14n=7(2n+5)+7(2n)=7\bigl((2n+5)+2n\bigr)=7(4n+5).\] Le témoin \(4n+5\) est entier. La divisibilité par 7 est donc prouvée pour tous les entiers \(n\). Un essai \(n=0\) vérifierait seulement \(35=7\times5\), pas les autres valeurs de \(n\).

Correction — 4 — Démontrer puis raisonner par contraposée

a. \(-3=2\times(-2)+1\) ; l’entier témoin est \(-2\).

b. \((2n+1)+(4m+3)=2n+4m+4=2(n+2m+2)\). Le facteur \(n+2m+2\) est entier, donc la somme est paire. On peut aussi observer que \(4m+3=2(2m+1)+1\) est impair, comme \(2n+1\), puis appliquer la règle des deux impairs.

c. Soit \(a\) un entier impair. Il existe un entier \(k\) tel que \(a=2k+1\). Alors \[\begin{align*} a^2&=(2k+1)(2k+1)\\ &=(2k)(2k)+(2k)\times1+1\times(2k)+1\times1\\ &=4k^2+2k+2k+1=4k^2+4k+1\\ &=2(2k^2+2k)+1. \end{align*}\] Le nombre \(2k^2+2k\) est entier : \(a^2\) est impair. Un entier est soit pair soit impair, jamais les deux. Si \(a^2\) est pair, \(a\) ne peut pas être impair, car cela rendrait \(a^2\) impair d’après le résultat démontré. Donc \(a\) est pair. C’est le raisonnement par contraposée.

Correction — 5 — Une preuve de composition, une preuve de primalité

a. \(91=7\times13\) : il possède un diviseur positif autre que 1 et lui-même, donc n’est pas premier. Pour 101, seuls les premiers 2, 3, 5 et 7 ont leur carré inférieur ou égal à 101. Le nombre est impair, sa somme de chiffres vaut 2, il ne se termine ni par 0 ni par 5, et \(101=7\times14+3\). Aucun de ces tests ne fournit un diviseur. Comme le premier suivant est 11 et \(11^2=121>101\), 101 est premier. Les tests n’ont pas été arrêtés « parce qu’il y en a déjà assez », mais grâce à la borne démontrée.

b. \(378=2\times189=2\times3\times63=2\times3\times3\times21=2\times3^3\times7\). Tous les facteurs sont premiers. Or \(63=3^2\times7\) ; ces facteurs figurent dans la décomposition de 378. Les facteurs restants sont \(2\times3=6\), donc \(378=63\times6\) et 63 divise 378.

c. Le nombre 1 n’a qu’un diviseur positif, lui-même, alors que la définition en exige exactement deux. L’exclure évite aussi d’ajouter indéfiniment des facteurs 1 dans une décomposition première.

Correction — 6 — Conserver la valeur à chaque étape

Les deux termes de \(-90/126\) sont divisibles par 18 : \(90=18\times5\) et \(126=18\times7\). Ainsi \[\frac{-90}{126}=\frac{18\times(-5)}{18\times7}=\frac{-5}{7}.\] Les premiers 5 et 7 sont distincts, donc la fraction est irréductible. Pour la différence, \[A=\frac{5\times3}{8\times3}-\frac{1\times4}{6\times4} =\frac{15}{24}-\frac4{24}=\frac{15-4}{24}=\frac{11}{24}.\] Le dénominateur commun 24 est justifié par \(24=8\times3=6\times4\). Ses seuls facteurs premiers sont 2 et 3 ; 11 n’est divisible ni par 2 ni par 3. La fraction est irréductible.

Le diviseur de \(B\) est \(9/25\), non nul car \(9\ne0\) et \(25\ne0\). Son inverse est \(25/9\) : leur produit vaut 1. Donc \[B=\frac{-3}{10}\times\frac{25}{9} =\frac{(-3)\times25}{10\times9} =\frac{-75}{90} =\frac{15\times(-5)}{15\times6} =\frac{-5}{6}.\] Le nombre 5 ne divise pas 6, dont les facteurs premiers sont 2 et 3 : la fraction est irréductible. Contrôle de la division : \((-5/6)\times(9/25)=-45/150=-3/10\), après division des deux termes par 15.

Correction — 7 — Maximum de groupes et minimum de temps

a. Le nombre de pochettes doit diviser les deux stocks. On décompose : \[144=2\times72=2^2\times36=2^3\times18=2^4\times9=2^4\times3^2,\] \[180=2\times90=2^2\times45=2^2\times3\times15=2^2\times3^2\times5.\] Le plus grand diviseur commun utilise les facteurs communs avec leur nombre maximal autorisé dans chacun : \(2^2\times3^2=4\times9=36\). Il y a 36 pochettes, chacune avec \(144/36=4\) rouges et \(180/36=5\) bleus. Les produits \(36\times4=144\) et \(36\times5=180\) vérifient le partage ; les facteurs communs prouvent le maximum.

b. Le temps doit être divisible par 8 et par 14. Comme \(8=2^3\) et \(14=2\times7\), tout multiple commun positif contient \(2^3\times7=56\) comme facteur. Or \(56=8\times7=14\times4\). La première coïncidence positive arrive après 56 secondes. Le temps 0 est exclu par « après le départ ».

Correction — 8 — Des contrats d’entrée aux résultats

a. Pour \(n\) naturel et \(d\) entier strictement positif :

def divisible(n, d):
    return n % d == 0

Le reste est nul exactement quand \(d\) divise \(n\). Pour \(n=0\), la fonction renvoie True, puisque \(0=d\times0\). On n’appelle pas cette fonction avec \(d=0\) : son contrat ne l’autorise pas et la division Python par zéro échouerait.

b. Pour \(a>0\) et \(b\geq0\), entiers :

def dernier_multiple(a, b):
    return a * (b // a)

Si \(b=aq+r\) avec \(0\leq r<a\), alors \(aq\leq b<a(q+1)\). C’est pourquoi le quotient entier, puis le produit par le pas, donnent le résultat.

c. Il faut tester m + a <= b. Avec \(a=6\), \(b=20\), les valeurs acceptées sont \(m=0\), puis 6, puis 12, puis 18. On refuse ensuite \(18+6=24>20\). Tester seulement m <= b accepterait encore la valeur 18 et provoquerait l’ajout vers 24, trop grand. Une version correcte est :

def dernier_multiple_boucle(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

À chaque passage, \(m\) reste un multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\) ; à l’arrêt, le multiple suivant est trop grand. Comme \(a>0\), \(m\) augmente à chaque passage et ne peut rester indéfiniment sous la borne finie \(b\).

À retenir — Ce que signifie « je sais faire »

Je peux commencer sans copier un exemple, justifier mes opérations, vérifier le résultat et corriger une erreur. Pour tester ce que je reconstruis seul, je choisis deux questions où j’ai eu besoin d’aide et les refais dans deux jours, puis une semaine plus tard, avant de relire leurs indices et corrections.