Exercice écrit

Exercice 16 — Les nombres premiers au-dessus de trois

Exercice

Parcours 4 — Démontrer, généraliser et transférer

Soit \(p\) un nombre premier strictement supérieur à \(3\).

1. Pourquoi \(p\) est-il impair et non divisible par \(3\) ?

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2. Montrer que parmi les deux entiers pairs \(p-1\) et \(p+1\), l’un est divisible par \(4\). En déduire que \((p-1)(p+1)\) est divisible par \(8\).

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3. Prouver que ce produit est aussi divisible par \(3\).

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4. En déduire que \(p^2-1\) est un multiple de \(24\). Pourquoi les nombres premiers \(2\) et \(3\) sont-ils exclus ?

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5. \(\star\) Le nombre \(p\) doit-il obligatoirement être premier pour que la conclusion soit vraie ? Justifier.

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