Exercice écrit

Exercice 8 — Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Exercice

Soit \(n\) un entier naturel non nul et soit \(a\) un nombre complexe. On appelle racine \(n\)-ième de \(a\) un nombre complexe \(z\) tel que \(z^n=a\).

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  1. Si \(a=0\), déterminer les racines \(n\)-ièmes de \(a\).

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  2. Si \(a\neq0\), posons \(a=re^{i\theta}\), avec \(r>0\) et \(\theta\in\mathbb R\). Déterminer les racines \(n\)-ièmes de \(a\).

    Coup de pouce. On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument modulo \(2\pi\).

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  3. Applications.

    1. Soit \(a=5-5i\sqrt3\). Déterminer les racines quatrièmes de \(a\).

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    2. Résoudre l’équation \(z^3=\sqrt3+i\).

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