Exercice écrit

Exercice 37

Dossier 2kπ — sujet officiel

Exercice source 129 Nombres complexes : partie algébrique

Soit \(\lambda\) un nombre complexe non nul et différent de \(1\). On définit, pour tout entier naturel \(n\), la suite \((z_n)\) de nombres complexes par \[\begin{cases} z_0=0,\\ z_{n+1}=\lambda z_n+i. \end{cases}\]

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1. Vérifier les égalités \(z_1=i\) ; \(z_2=(\lambda+1)i\) ; \(z_3=(\lambda^2+\lambda+1)i\).
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2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) positif ou nul, \[z_n=\frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}\,i.\]
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Étude du cas \(\lambda=i\).
1. Montrer que \(z_4=0\).
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2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(z_{n+4}\) en fonction de \(z_n\).
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1. On suppose maintenant qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(\lambda^k=1\). Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a l’égalité \(z_{n+k}=z_n\).
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2. Réciproquement, montrer que s’il existe un entier naturel \(k\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), on ait l’égalité \(z_{n+k}=z_n\), alors \(\lambda^k=1\).
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