Comprendre et construire un vecteur.

Reconnaître des représentants égaux.

Additionner, soustraire et multiplier par un réel.

Décomposer un chemin et démontrer sans coordonnées.

Sans mesurer une figure, réponds à ces questions.

1. Les points \(A\), \(E\), \(B\) sont alignés dans cet ordre ; \(AE=2\,\mathrm{cm}\) et \(EB=7\,\mathrm{cm}\). Que vaut \(AB\) ?

2. L’information \(IA=IB\) suffit-elle à affirmer que \(I\) est le milieu de \([AB]\) ?

3. Deux flèches de longueur \(4\,\mathrm{cm}\) indiquent-elles nécessairement le même déplacement ?

Correction. Puisque \(E\) appartient au segment \([AB]\), les longueurs s’ajoutent : \(AB=AE+EB=2+7=9\,\mathrm{cm}\). La deuxième réponse est non : il manque notamment l’appartenance de \(I\) à \([AB]\). Un point situé au-dessus du milieu du segment peut être à la même distance de \(A\) et de \(B\) sans appartenir au segment. La troisième réponse est non : les directions peuvent différer, ou les sens peuvent être opposés.

Orientation. Si tu as soustrait les longueurs à la première question, reprends ci-dessous la différence entre droite et segment. Si tu as répondu oui à la deuxième, insiste sur les deux conditions de la définition d’un milieu. Si tu as répondu oui à la troisième, travaille le bloc « Direction, sens, longueur » : une seule information ne suffit pas.

Un point représente une position. Il est nommé par une lettre majuscule, par exemple \(A\). Lorsque \(A\) et \(B\) sont distincts :

• \((AB)\) est la droite passant par \(A\) et \(B\) ; elle se prolonge indéfiniment des deux côtés ;

• \([AB]\) est le segment d’extrémités \(A\) et \(B\) ; il contient les deux extrémités et les points situés entre elles ;

• \([AB)\) est la demi-droite d’origine \(A\), passant par \(B\) ; elle se prolonge au-delà de \(B\), mais pas en arrière de \(A\) ;

• \(AB\) est la longueur du segment, c’est-à-dire la distance entre \(A\) et \(B\). C’est un nombre positif ou nul, exprimé dans l’unité choisie.

L’écriture \(M\in[AB]\) signifie : « le point \(M\) appartient au segment \([AB]\) ». L’écriture \(M\notin[AB]\) signifie le contraire. Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Si \(A=B\), le segment \([AA]\) se réduit à un point et sa longueur vaut \(AA=0\). En revanche, deux noms désignant le même point ne déterminent pas une droite \((AA)\) ni une direction. C’est une raison de vérifier les mots « points distincts » dans un énoncé.

Les propriétés élémentaires de la mesure des segments, étudiées au collège, seront utilisées comme fondations : \(AB=BA\) ; \(AB\geq0\) ; \(AB=0\) exactement lorsque \(A=B\). Si \(M\in[AB]\), alors

On n’additionne pas les longueurs de trois points alignés sans avoir identifié celui qui est entre les deux autres. Par exemple, si \(A\), \(B\), \(C\) sont dans cet ordre, c’est \(AC=AB+BC\), et non \(AB=AC+BC\).

Ces règles expriment le fonctionnement de la mesure sur une droite ; nous ne reconstruisons pas ici une théorie axiomatique des longueurs. Leur utilisation sera, en revanche, explicitée dans les calculs.

Pour deux points \(A\) et \(B\), le milieu du segment \([AB]\) est le point \(I\) tel que

Les deux conditions sont nécessaires. Si \(A\ne B\), cela revient à partager le segment en deux parties de même longueur. L’existence et l’unicité du partage en deux parties égales sont des faits élémentaires de mesure et de construction. Si \(A=B\), le milieu est \(A\) lui-même.

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(AI=IB=\dfrac{AB}{2}\).

Démonstration complète. La définition donne \(AI=IB\) et \(I\in[AB]\). La propriété d’addition des longueurs donne donc \(AB=AI+IB=AI+AI=2AI\). On divise les deux membres par \(2\), qui est non nul :

Comme \(AI=IB\), les deux demi-segments ont bien la longueur annoncée. Le résultat reste vrai lorsque \(A=B\), car toutes ces longueurs valent alors zéro.

Une flèche allant de \(A\) vers \(B\) possède une origine \(A\) et une extrémité \(B\). Elle représente ici un déplacement rectiligne de la position \(A\) à la position \(B\).

Si \(A\ne B\), trois informations le décrivent :

• sa direction, celle de la droite \((AB)\) ;

• son sens, de \(A\) vers \(B\), et non de \(B\) vers \(A\) ;

• sa longueur, égale à \(AB\).

Deux droites parallèles ont la même direction ; deux droites confondues également. Une direction admet deux sens opposés. « Horizontal » ne précise donc pas à lui seul si l’on se déplace vers la droite ou vers la gauche.

Lorsque le départ et l’arrivée sont confondus, le déplacement est nul : sa longueur vaut zéro et on ne lui attribue ni direction ni sens. Il sera représenté plus loin par le vecteur nul.

Un même déplacement, réalisé depuis deux points de départ différents, conserve direction, sens et longueur. Le mot « vecteur » donnera ensuite un nom mathématique à cet objet indépendant de sa position de dessin.

Imagine une flèche dessinée sur un calque. Tu fais glisser le calque sans le tourner et sans l’agrandir. L’origine de la flèche change de position, mais son orientation et sa taille ne changent pas. Cela aide à distinguer le déplacement de la place où on le dessine.

Correspondances. Le glissement correspond à un changement de position du dessin ; l’absence de rotation conserve la direction et le sens ; l’absence d’agrandissement conserve la longueur.

Limites. Cette manipulation suggère une idée, mais l’épaisseur du trait et la précision du geste ne démontrent aucune égalité exacte. Le vocabulaire mathématique et les propriétés remplaceront ensuite l’impression visuelle.

\(AB\) désigne une longueur : \(AB=5\,\mathrm{cm}\) a un sens. Une flèche de \(A\) vers \(B\) contient aussi des informations de direction et de sens ; on ne la réduit pas au nombre \(5\).

L’égalité \(AB=BA\) est toujours vraie pour les longueurs. Elle ne dit pas que l’aller de \(A\) vers \(B\) est le même déplacement que le retour de \(B\) vers \(A\). Lorsque \(A\ne B\), ces deux déplacements ont des sens opposés. Lorsque \(A=B\), les deux sont nuls.

Dans une même figure, des segments portant le même codage de longueur sont déclarés de même longueur. Un petit carré à un sommet code un angle droit. Le symbole \(\parallel\) dans le texte signifie « est parallèle à » et le symbole \(\perp\) signifie « est perpendiculaire à ».

Le codage ne donne pas d’information supplémentaire : deux traits de même couleur ne sont pas nécessairement de même longueur ; des lettres placées à la même hauteur n’imposent pas un alignement. Un parallélisme qui semble visible mais qui n’est ni donné, ni codé sans ambiguïté, ni démontré, ne peut pas être utilisé comme un fait.

Une figure peut être annoncée « non à l’échelle ». Même une figure soignée ne transforme pas une mesure à la règle en preuve d’une égalité exacte.

Une définition fixe le sens d’un mot. Un théorème, une propriété ou une proposition-résultat énonce un résultat établi ou explicitement admis : ces noms ne sont pas des degrés de certitude. Un lemme est un résultat utilisé pour en démontrer un autre. Un corollaire se déduit d’un résultat déjà établi.

Une conjecture est une affirmation dont on pense qu’elle peut être vraie, mais qui n’est pas encore démontrée. Une démonstration établit une conclusion à partir d’hypothèses et de résultats autorisés. Un contre-exemple est une situation qui satisfait les hypothèses d’une affirmation générale mais pas sa conclusion : il suffit à montrer que cette affirmation est fausse.

Quand ? Dès qu’une question contient « montrer », « justifier », « démontrer », ou dès qu’un dessin semble suggérer une égalité.

Premier geste. Recopie les informations exactes de l’énoncé. Sépare-les de ce que tu cherches à établir.

1. Nomme les objets : points, segments, droites, longueurs ou déplacements.

2. Note les conditions : points distincts, alignement, appartenance au segment, parallélisme, sens.

3. Choisis une définition ou une propriété dont toutes les hypothèses sont vérifiées.

4. Écris la déduction, en nommant l’outil, puis la conclusion avec les bons objets.

5. Contrôle : as-tu utilisé comme donnée ce qui était justement à démontrer ? As-tu remplacé « semble » par une vraie raison ?

Le modèle « On sait que… ; or… ; donc… » aide à organiser une phrase, mais ne remplace pas la vérification des hypothèses.

Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AB=3\,\mathrm{cm}\) et \(BC=5\,\mathrm{cm}\). Les points \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés dans cet ordre, avec \(DE=6\,\mathrm{cm}\) et \(EF=2\,\mathrm{cm}\). On sait que \((AC)\) et \((DF)\) sont parallèles et que les flèches de \(A\) vers \(C\) et de \(D\) vers \(F\) ont le même sens. Comparons ces deux déplacements.

Longueurs. Comme \(B\in[AC]\), on a

Comme \(E\in[DF]\), on a Les longueurs sont donc égales. Les directions sont les mêmes grâce au parallélisme donné. Les sens sont les mêmes par hypothèse. Les trois informations concordent : les deux déplacements sont identiques, même si les points intermédiaires ne partagent pas les segments de la même façon.

Contrôle. Le déplacement de \(F\) vers \(D\) conserve la longueur \(8\,\mathrm{cm}\) et la direction, mais inverse le sens : il n’est pas le déplacement de \(A\) vers \(C\). Une égalité de longueur ne suffisait donc pas à elle seule.

L’affirmation « si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(IA=IB\) » est vraie, par définition du milieu. Son retournement, « si \(IA=IB\), alors \(I\) est le milieu de \([AB]\) », est faux en général.

Contre-exemple expliqué. Prenons un triangle équilatéral \(AIB\) de côté \(3\,\mathrm{cm}\). Alors \(IA=IB=3\,\mathrm{cm}\), mais \(I\) n’appartient pas à \([AB]\). Il n’est donc pas son milieu. Ce contre-exemple respecte l’hypothèse du retournement et réfute sa conclusion.

Le retournement d’une implication s’appelle sa réciproque. Pour obtenir ici une réciproque vraie, on ajoute la condition manquante : « si \(I\in[AB]\) et \(IA=IB\), alors \(I\) est le milieu de \([AB]\) ». C’est alors exactement la définition.

Le point \(I\) est le milieu de \([KL]\) et \(KL=14\,\mathrm{cm}\).

1. Écris séparément les deux informations contenues dans « milieu ».

2. Écris \(KL\) comme somme de deux longueurs, puis remplace l’une par l’autre.

3. Calcule \(KI\) et contrôle ta réponse.

Indice. Une longueur répétée deux fois s’écrit \(2KI\) ; le coefficient \(2\) est le nombre par lequel tu diviseras.

Correction. On a \(I\in[KL]\) et \(KI=IL\). L’addition des longueurs donne \(KL=KI+IL=KI+KI=2KI\). Avec \(KL=14\), on obtient \(14=2KI\). En divisant les deux membres par \(2\ne0\) : \(14/2=(2KI)/2\). Le membre de droite vaut \((2/2)KI=1\times KI=KI\) ; celui de gauche vaut \(14/2=7\). Donc \(KI=7\,\mathrm{cm}\). Ainsi \(IL=7\,\mathrm{cm}\) aussi ; \(7+7=14\) confirme la longueur totale.

On décrit deux flèches non nulles, l’une de \(P\) vers \(Q\), l’autre de \(R\) vers \(S\). On sait seulement que \((PQ)\parallel(RS)\) et que \(PQ=RS\). Un élève affirme : « Elles représentent le même déplacement. » Décide si sa conclusion est justifiée et propose, si nécessaire, une information à ajouter. Cherche d’abord sans lire la correction.

Indice. Reprends les trois questions : même direction ? même sens ? même longueur ?

Correction. Le parallélisme vérifie la direction ; l’égalité des longueurs vérifie la taille. Aucune donnée ne vérifie le sens. On peut dessiner la première flèche vers la droite et la seconde vers la gauche, sur deux droites parallèles, avec la même longueur. L’affirmation n’est donc pas justifiée. Ajouter que les flèches \(P\) vers \(Q\) et \(R\) vers \(S\) ont le même sens permettrait de conclure. Il ne faut pas ajouter que les origines coïncident : un même déplacement peut partir de points différents.

Explique à un camarade pourquoi la phrase « les flèches sont égales parce qu’elles mesurent toutes les deux \(5\,\mathrm{cm}\) » est insuffisante. Donne un exemple et précise ce que signifie « mesurer » dans ce contexte.

Réponse possible. La mesure donne seulement la longueur. Deux flèches de \(5\,\mathrm{cm}\) peuvent avoir des directions différentes, par exemple l’une horizontale et l’autre verticale. Elles peuvent aussi être parallèles mais avoir des sens contraires. Pour reconnaître le même déplacement non nul, il faut direction, sens et longueur. Enfin, une mesure faite à la règle sur un dessin n’est qu’une approximation : une égalité exacte doit venir de l’énoncé, d’un codage ou d’une démonstration.

Pour vérifier ta réponse. Ta réponse nomme les trois informations, fournit un contre-exemple respectant l’égalité des longueurs et distingue mesure approchée et donnée exacte. La seule phrase « ce n’est pas suffisant » n’explique pas pourquoi.

Dans un premier énoncé, \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AB=3\) et \(BC=5\). Dans un second énoncé, \(A\), \(C\), \(B\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AB=8\) et \(CB=5\). Dans chaque cas, détermine \(AC\).

Correction du premier cas. \(B\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=AB+BC=3+5=8\).

Correction du second cas. \(C\) est entre \(A\) et \(B\), donc \(AB=AC+CB\), d’où \(8=AC+5\). On soustrait \(5\) aux deux membres : \(8-5=AC+5-5\), donc \(AC=3\).

Ce qui varie. Ce n’est pas uniquement une donnée numérique : le point situé entre les deux autres a changé. L’égalité de départ change donc elle aussi. Pour un déplacement, l’ordre des lettres jouera en outre sur le sens.

Première erreur. Tu as utilisé \(AC=AB+BC\) parce que les trois points étaient alignés, sans connaître leur ordre.

Rappel ciblé. L’addition \(AC=AB+BC\) exige \(B\in[AC]\). Dessine une droite, puis place les lettres dans l’ordre donné avant de choisir l’égalité.

Exemple plus simple corrigé. \(P\), \(Q\), \(R\) sont dans cet ordre, \(PQ=1\) et \(QR=2\). Le segment entier est \([PR]\), donc \(PR=1+2=3\).

Nouvel essai. \(P\), \(R\), \(Q\) sont dans cet ordre, \(PQ=6\) et \(RQ=2\). Calcule \(PR\) avant de lire la suite.

Correction. Le segment entier est maintenant \([PQ]\) ; \(PQ=PR+RQ\) donne \(6=PR+2\). Soustraire \(2\) aux deux membres donne \(6-2=PR+2-2\), soit \(PR=4\). Le contrôle \(4+2=6\) reconstitue bien le segment entier.

Retour. Reprends les deux situations du bloc précédent : désigne d’abord le segment entier et le point intermédiaire, puis écris seulement l’égalité. Si ce choix est correct, refais les calculs.

Sur une feuille vierge, traite ces trois demandes :

1. \(M\) est le milieu de \([AB]\) et \(AM=4\,\mathrm{cm}\). Calcule \(AB\) en justifiant.

2. Construis deux flèches de même longueur et de même direction qui ne représentent pas le même déplacement.

3. Écris une phrase expliquant pourquoi un dessin ne suffit pas à démontrer un parallélisme.

Aide si nécessaire. Le milieu partage un segment en deux parties égales. Une direction possède deux sens. « Semble parallèle » n’est pas une hypothèse.

Correction. Comme \(M\in[AB]\) et \(AM=MB=4\), on a \(AB=AM+MB=4+4=8\,\mathrm{cm}\). Pour la deuxième demande, deux flèches horizontales de \(3\,\mathrm{cm}\), l’une vers la droite et l’autre vers la gauche, conviennent. Pour la troisième : la précision limitée d’un tracé ne garantit pas une propriété exacte ; il faut une donnée, un codage explicitement interprété ou un raisonnement.

Pour vérifier ta réponse. Tu identifies les objets, tu utilises les conditions utiles et tu ne confonds pas longueur et déplacement. Cette reprise est proposée pour stabiliser les gestes ; aucune réussite future n’est présumée.

1. Dans un parallélogramme \(ABCD\), les lettres désignent-elles les sommets dans l’ordre du contour ou dans l’ordre des diagonales ?

2. Deux segments de même longueur ont-ils nécessairement le même milieu ?

3. Une translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme-t-elle nécessairement \(B\) en \(A\) ?

Correction. Les sommets \(A,B,C,D\) sont nommés dans l’ordre du contour ; les diagonales sont donc \([AC]\) et \([BD]\). Deux segments de même longueur peuvent être placés à deux endroits différents : cela n’impose pas leur milieu. Enfin, si \(A\ne B\), une translation poursuivant le mouvement de \(A\) vers \(B\) envoie \(B\) au-delà de \(B\), pas en arrière vers \(A\). Le retour utilise le déplacement opposé. Si \(A=B\), la translation est l’identité et tous les points restent fixes.

Orientation. Une difficulté à la première question invite à tracer le contour avant de nommer des côtés opposés. Une difficulté à la deuxième invite à reprendre la définition locale du milieu. Pour la troisième, repère la pointe de la flèche et lis les mots « même sens » dans la définition de translation ci-dessous.

Le segment \([AB]\) est l’ensemble des points entre \(A\) et \(B\), extrémités comprises ; \(AB\) est sa longueur. Pour \(A\ne B\), \((AB)\) est la droite qui les porte. Un point \(I\) est le milieu de \([AB]\) s’il appartient à ce segment et si \(IA=IB\).

Dans cette unité, un parallélogramme \(ABCD\) est un quadrilatère non croisé et non aplati dont les sommets sont nommés dans l’ordre du contour et dont les côtés opposés sont parallèles :

Les segments \([AC]\) et \([BD]\) sont ses diagonales. Les points sont distincts et les diagonales se coupent à l’intérieur du quadrilatère.

Une translation sera définie plus loin pour tous les points, y compris lorsqu’ils sont alignés. Dans ce cas, on ne cherchera pas à appliquer abusivement une propriété de quadrilatère non aplati : on traitera l’alignement directement.

Voici les résultats élémentaires de géométrie du collège que nous utilisons comme points de départ.

• Par un point donné passe une unique droite parallèle à une direction donnée. Si deux directions sont différentes, les droites correspondantes se coupent en un unique point.

• Des angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante sont égaux. Réciproquement, leur égalité permet de prouver le parallélisme. Des angles opposés par le sommet sont égaux.

• Deux triangles sont égaux, c’est-à-dire superposables, si deux côtés et l’angle compris correspondent (cas CAC), ou si un côté et les deux angles adjacents correspondent (cas ACA). Les côtés et les angles correspondants ont alors les mêmes mesures.

• Les longueurs s’ajoutent sur un segment : si \(I\in[AB]\), alors \(AB=AI+IB\). Une longueur est positive ou nulle ; elle est nulle seulement lorsque ses extrémités sont confondues.

• La mesure d’un angle dépend des deux directions et des sens des demi-droites qui le délimitent. Remplacer les deux demi-droites par des demi-droites de mêmes directions et de mêmes sens conserve cette mesure.

Ces fondations sont identifiées, mais nous ne reconstruisons pas ici toute l’axiomatique euclidienne ni la théorie de la superposition. Les résultats spécifiques dont nous aurons besoin sont démontrés à partir d’elles. Un dessin ou un déplacement de calque ne sera pas présenté comme leur démonstration.

Si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors

Démonstration complète. Traçons la diagonale \([AC]\). Les triangles \(ABC\) et \(CDA\) possèdent le côté \([AC]\) en commun. Comme \((AB)\parallel(CD)\), les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{DCA}\) sont égaux. Comme \((BC)\parallel(AD)\), les angles \(\widehat{BCA}\) et \(\widehat{DAC}\) sont égaux. Le côté \(AC\) et ses deux angles adjacents se correspondent : le cas ACA montre que les deux triangles sont égaux.

La correspondance des sommets est \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow A\). Les côtés \(AB\) et \(CD\) ont donc la même longueur, de même que \(BC\) et \(DA\).

Sens de parcours. Sur le contour \(A\to B\to C\to D\to A\), les côtés opposés sont parcourus en sens contraires. Pour comparer des déplacements de même sens, on comparera donc \(A\to B\) avec \(D\to C\), pas avec \(C\to D\).

Si \(ABCD\) est un parallélogramme et \(O\) l’intersection de ses diagonales, alors \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).

Démonstration complète. Le résultat précédent donne \(AB=CD\). Les triangles \(AOB\) et \(COD\) vérifient :

• \(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\), car \((AB)\parallel(CD)\) et \((AC)\) est une sécante ;

• \(\widehat{ABO}=\widehat{CDO}\), car les mêmes parallèles sont coupées par \((BD)\) ;

• le côté \(AB\) correspond au côté \(CD\), de même longueur.

Le cas ACA rend les triangles égaux ; on en déduit \(AO=CO\) et \(BO=DO\). L’intersection \(O\) se trouve sur chacun des deux segments diagonaux. Les égalités de longueurs et les appartenances aux segments donnent, par définition du milieu, les deux conclusions.

Soit \(ABCD\) un quadrilatère non croisé et non aplati. Si ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu \(O\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

Démonstration complète. Les hypothèses donnent \(OA=OC\) et \(OB=OD\). Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{COD}\) sont opposés par le sommet, donc égaux. Le cas CAC appliqué aux triangles \(AOB\) et \(COD\) montre qu’ils sont égaux. Ainsi \(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\). Ces angles sont alternes-internes pour les droites \((AB)\) et \((CD)\) coupées par \((AC)\) : la réciproque de la propriété angulaire donne \((AB)\parallel(CD)\).

On applique ensuite le même raisonnement aux triangles \(BOC\) et \(DOA\) : \(OB=OD\), \(OC=OA\), et les angles \(\widehat{BOC}\) et \(\widehat{DOA}\) sont opposés par le sommet. Les triangles sont égaux ; les angles \(\widehat{OBC}\) et \(\widehat{ODA}\) sont donc égaux, d’où \((BC)\parallel(AD)\). Les deux paires de côtés opposés sont parallèles : c’est la définition d’un parallélogramme.

Pour un quadrilatère non croisé et non aplati \(ABCD\) :

Les deux théorèmes précédents démontrent les deux sens. Cette équivalence est une caractérisation, pas simplement une condition suffisante.

Piège. Il s’agit des diagonales, pas des côtés. Le point qui est milieu de \([AB]\) n’est pas, en général, milieu de \([CD]\). Il ne suffit pas non plus que les deux diagonales aient la même longueur.

Contre-exemple construit. Sur deux droites sécantes en \(O\), plaçons \(A\) et \(C\) de part et d’autre de \(O\), avec \(OA=1\) et \(OC=3\), puis \(B\) et \(D\) de part et d’autre de \(O\) sur l’autre droite, avec \(OB=OD=2\). Le quadrilatère de contour \(A,B,C,D\) a des diagonales de longueurs \(AC=1+3=4\) et \(BD=2+2=4\). Pourtant \(O\) n’est pas le milieu de \([AC]\), puisque \(1\ne3\). Le théorème direct interdit donc que ce quadrilatère soit un parallélogramme. L’égalité des longueurs des diagonales n’est pas le bon critère.

Dans un quadrilatère non croisé et non aplati \(ABCD\), si \((AB)\parallel(CD)\) et \(AB=CD\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.

Démonstration complète. Les triangles \(BAC\) et \(DCA\) ont le côté \(AC\) commun, les côtés \(AB\) et \(CD\) de même longueur et les angles compris \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{DCA}\) égaux par parallélisme. Le cas CAC montre que ces triangles sont égaux. On obtient donc \(\widehat{BCA}=\widehat{DAC}\) ; la réciproque de la propriété des angles alternes-internes donne \((BC)\parallel(AD)\). Avec le parallélisme déjà donné, on conclut.

Ce critère servira notamment à démontrer qu’une translation conserve une longueur. La condition sur l’ordre des sommets empêche d’utiliser un quadrilatère croisé à la place de celui qui convient.

Indices. Les mots « côtés opposés », « milieu », « diagonales » ou un codage de parallélisme signalent une piste.

1. Trace le contour dans l’ordre des lettres. Identifie les côtés opposés et les diagonales.

2. Si le parallélogramme est donné, utilise ses propriétés : côtés opposés parallèles et égaux, diagonales de même milieu.

3. Si le parallélogramme est à démontrer, cherche des hypothèses suffisantes : les deux parallélismes ; un même milieu des diagonales ; ou une paire de côtés opposés parallèles et égaux dans le bon quadrilatère.

4. Vérifie les conditions, puis nomme le résultat utilisé. Ne déduis pas une propriété de parallélogramme avant d’avoir établi qu’il s’agit d’un parallélogramme.

Contrôle. Si tu changes l’ordre des lettres, retrace le contour : « \(ABCD\) » et « \(ABDC\) » ne nomment pas le même quadrilatère.

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) associe à chaque point \(M\) le point \(M'\) obtenu ainsi : depuis \(M\), on se déplace parallèlement à \((AB)\), dans le sens de \(A\) vers \(B\), sur la longueur \(AB\).

Autrement dit, \(MM'=AB\) ; \((MM')\) a la direction de \((AB)\) ; le sens de \(M\) vers \(M'\) est celui de \(A\) vers \(B\). L’image de \(M\) est notée \(M'\) : la lettre accentuée n’indique ni une dérivée ni un nombre, seulement un nouveau point.

Existence et unicité. Par \(M\) passe une unique droite de la direction \((AB)\). Sur cette droite, le sens fixé sélectionne une demi-droite ; reporter une longueur positive \(AB\) sur cette demi-droite détermine un unique point \(M'\). C’est pourquoi la définition donne une seule image à chaque point.

Si \(A=B\), on définit la translation correspondante par \(M'=M\) pour tout point \(M\) : c’est la translation nulle, aussi appelée identité. Aucune direction n’est à choisir dans ce cas.

Supposons \(A\ne B\) et \(M\notin(AB)\). Un point \(M'\) est l’image de \(M\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\) exactement lorsque \(ABM'M\) est un parallélogramme.

Premier sens. Si \(M'\) est l’image de \(M\), les segments \([AB]\) et \([MM']\) sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens de \(A\) à \(B\) et de \(M\) à \(M'\). Ils forment les côtés opposés du quadrilatère non croisé \(A,B,M',M\). Le critère précédent montre que ce quadrilatère est un parallélogramme.

Réciproque. Dans le parallélogramme \(ABM'M\), les côtés opposés \([AB]\) et \([MM']\) ont la même longueur et la même direction. Le contour \(A\to B\to M'\to M\to A\) montre que \(A\to B\) et \(M\to M'\) ont le même sens. Le point \(M'\) satisfait donc les trois conditions qui définissent l’image par la translation. Par l’unicité de cette image, c’est bien le point recherché.

Limite. Si \(M\in(AB)\), la construction reste possible, mais le quadrilatère est aplati. On utilise alors directement la définition sur la droite, et non le théorème de quadrilatères non aplatis.

Données. Une translation est indiquée par son déplacement \(A\to B\) ; on veut construire l’image de \(M\).

1. Regarde si \(A=B\). Si oui, écris \(M'=M\) : la construction est terminée.

2. Si \(M\in(AB)\), reste sur cette droite. Depuis \(M\), reporte la longueur \(AB\) dans le sens \(A\to B\). Contrôle que tu n’as pas choisi l’autre point à la même distance.

3. Si \(M\notin(AB)\), trace par \(M\) la parallèle à \((AB)\), puis par \(B\) la parallèle à \((AM)\). Leur intersection est \(M'\) : les directions sont différentes, donc l’intersection est unique. Le quadrilatère \(ABM'M\) a ses côtés opposés parallèles ; la proposition précédente justifie la construction.

Variante par report. On peut aussi tracer seulement la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\), puis y reporter \(AB\) au compas dans le bon sens. La direction et la longueur ne suffisent pas : deux reports sont possibles si le sens n’est pas fixé.

Contrôle indépendant. Vérifie direction, sens et longueur de \(M\to M'\). Si tu as utilisé les deux parallèles, vérifie en plus que le contour est bien \(A,B,M',M\).

Imagine trois marques sur un plateau rigide. Tu pousses le plateau sans le faire tourner : chaque marque subit le même déplacement, même si elles ne partent pas du même endroit. Les distances entre les marques semblent rester les mêmes.

Le plateau représente la figure entière ; les marques représentent ses points ; le glissement représente la translation. Cette image aide à comprendre pourquoi il faut déplacer tous les points de la même façon. Sa limite est importante : la rigidité d’un objet physique et l’observation ne démontrent pas les propriétés exactes de la transformation mathématique. Nous les justifions ci-dessous.

La translation qui transforme \(B\) en \(A\) annule celle qui transforme \(A\) en \(B\), dans les deux ordres. Chaque point a donc un unique antécédent par une translation.

Démonstration complète. Si \(A=B\), les deux transformations sont l’identité. Sinon, partir de \(M\), parcourir une longueur \(AB\) dans le sens \(A\to B\) jusqu’à \(M'\), puis parcourir la même longueur dans le sens opposé, ramène exactement à \(M\). L’unicité du report sur une demi-droite assure qu’il ne peut s’agir d’un autre point. Le raisonnement est identique en commençant par le déplacement inverse.

L’antécédent d’un point \(P\) est ici le point dont l’image est \(P\) ; on le construit en appliquant le déplacement \(B\to A\) à \(P\).

Si une même translation envoie \(M\) sur \(M'\) et \(N\) sur \(N'\), alors

Démonstration complète, avec les cas particuliers. Pour la translation nulle, les points ne changent pas : l’égalité est immédiate. Supposons désormais le déplacement non nul, de longueur \(d>0\).

Si \(M=N\), l’unicité de l’image donne \(M'=N'\) et les deux longueurs valent zéro.

Si \(M\ne N\) et que la droite \((MN)\) n’est pas parallèle à la direction du déplacement, les segments \([MM']\) et \([NN']\) sont parallèles, de même longueur \(d\) et de même sens de \(M\) à \(M'\) et de \(N\) à \(N'\). Le quadrilatère \(MM'N'N\) est non croisé et non aplati. Le critère des côtés opposés parallèles et égaux en fait un parallélogramme. Ses côtés opposés \([MN]\) et \([M'N']\) ont donc la même longueur.

Il reste le cas où les quatre points sont sur une même droite. Orientons cette droite dans le sens du déplacement ; échangeons au besoin les noms \(M\) et \(N\) pour que \(M\) soit avant \(N\).

• Si \(M'\) est avant \(N\), alors \(MN=MM'+M'N=d+M'N\), tandis que \(M'N'=M'N+NN'=M'N+d\). Les deux sommes sont égales.

• Si \(M'=N\), alors \(MN=MM'=d\) et \(M'N'=NN'=d\).

• Si \(M'\) est après \(N\), alors \(d=MM'=MN+NM'\). Comme \(MN>0\), on a \(NM'<d\). Or \(N'\) est placé à la distance \(d\) après \(N\) : \(M'\) est donc avant \(N'\). L’égalité \(NN'=NM'+M'N'=d\) donne

  \[MN+NM'=NM'+M'N'.\]
  En soustrayant la même longueur \(NM'\) aux deux membres, on obtient \(MN=M'N'\).

Tous les cas sont couverts. La preuve n’utilise ni coordonnées ni propriété de conservation supposée à l’avance.

L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle à la première, éventuellement confondue avec elle. Ainsi des points alignés restent alignés, et des droites parallèles restent parallèles.

Démonstration complète. Le cas de la translation nulle est immédiat. Pour un déplacement non nul, soit \(M\) un point d’une droite \(\mathcal{D}\) et \(M'\) son image.

Si \(\mathcal{D}\) a la direction du déplacement, l’image de chacun de ses points reste sur \(\mathcal{D}\), par définition. Inversement, le déplacement inverse ramène tout point de \(\mathcal{D}\) sur cette même droite : l’image est donc toute la droite.

Sinon, pour tout point \(N\ne M\) de \(\mathcal{D}\), la preuve du théorème précédent a établi que \(MM'N'N\) est un parallélogramme. Ainsi \((M'N')\parallel(MN)\), donc \((M'N')\parallel\mathcal{D}\). Toutes les images \(N'\) sont sur l’unique parallèle à \(\mathcal{D}\) passant par \(M'\). Le déplacement inverse applique de la même manière cette parallèle sur la droite passant par \(M\) de la direction \(\mathcal{D}\), donc sur \(\mathcal{D}\). L’image est toute cette parallèle.

Les points d’une même droite sont donc envoyés sur une même droite. Deux droites qui avaient la même direction gardent cette direction ; elles restent parallèles. Une translation conserve aussi les sens de parcours sur ces droites : cela se lit sur les côtés opposés des parallélogrammes précédents et, dans le cas aligné, dans les trois cas de la preuve des longueurs.

Si \(I\) est le milieu de \([MN]\) et si une translation envoie \(M,N,I\) sur \(M',N',I'\), alors \(I'\) est le milieu de \([M'N']\).

Démonstration complète. Si \(M=N\), alors \(I=M=N\) ; l’unicité des images donne \(I'=M'=N'\), ce qui convient. Supposons \(M\ne N\).

L’alignement de \(M,I,N\) entraîne celui de \(M',I',N'\). La conservation des longueurs donne \(M'I'=MI\) et \(I'N'=IN\). Puisque \(MI=IN\), on obtient \(M'I'=I'N'\). De plus \(M'N'=MN>0\) : les extrémités images sont distinctes.

Un point aligné avec deux extrémités distinctes et à égale distance des deux se trouve nécessairement entre elles. En effet, s’il était en dehors, la distance à l’extrémité la plus éloignée serait la distance à la plus proche plus la longueur positive \(M'N'\), donc les distances seraient différentes. Ainsi \(I'\in[M'N']\). L’appartenance et l’égalité des deux demi-longueurs prouvent que \(I'\) est le milieu.

Une translation conserve les angles. Elle transforme donc un angle droit en angle droit, un triangle en un triangle de mêmes dimensions, et un parallélogramme en un parallélogramme.

Démonstration. D’après le résultat sur les droites, chacune des deux demi-droites qui délimitent un angle garde sa direction et son sens après translation. La mesure de l’angle entre ces deux directions orientées reste donc la même. Les angles droits sont conservés. Pour un triangle, les trois longueurs sont conservées par le théorème des longueurs ; les points ne se confondent pas puisque leurs distances positives sont conservées. Les deux directions différentes de ses côtés restent différentes : le triangle ne s’aplatit pas. Pour un parallélogramme, les deux paires de parallèles restent parallèles et les longueurs restent positives. Les directions différentes de deux côtés consécutifs sont conservées, de même que leurs sens : la même configuration non aplatie est obtenue.

La mesure d’un angle comme écart entre deux directions est ici une fondation élémentaire rappelée au début de l’unité, pas un nouveau calcul trigonométrique.

On donne un triangle \(ABC\) avec \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(AC=5\,\mathrm{cm}\) et \(BC=7\,\mathrm{cm}\). Le point \(E\) est le milieu de \([BC]\). On applique la translation qui transforme \(A\) en \(B\). On appelle \(F,D,G\) les images respectives de \(B,C,E\).

Construction. L’image de \(A\) est \(B\), par définition du déplacement. Depuis \(B\), on reporte \(AB=6\,\mathrm{cm}\) dans le sens \(A\to B\) : on obtient \(F\), au-delà de \(B\). Pour construire \(D\), on trace la parallèle à \((AB)\) passant par \(C\) et la parallèle à \((AC)\) passant par \(B\) ; leur intersection donne le quatrième sommet du parallélogramme \(ABDC\). L’image \(G\) de \(E\) peut être construite avec le même déplacement.

Longueurs. Les extrémités de \([AC]\) ont pour images \(B\) et \(D\), donc \(BD=AC=5\,\mathrm{cm}\). Les extrémités de \([BC]\) ont pour images \(F\) et \(D\), donc \(FD=BC=7\,\mathrm{cm}\). Attention : l’image de \([BC]\) n’est pas \([BD]\), car \(B\) lui-même se déplace en \(F\).

Milieu. Le point \(G\), image du milieu \(E\) de \([BC]\), est le milieu de \([FD]\). Par définition, \(G\in[FD]\) et \(FG=GD\). Comme \(FD=FG+GD=2FG\), on divise par \(2\ne0\) :

Contrôles. \(3{,}5+3{,}5=7\) reconstitue le côté image. Le contour \(A,B,D,C\) ferme bien le parallélogramme ; le contour \(A,B,C,D\) le croiserait. Enfin, les trois déplacements \(A\to B\), \(B\to F\) et \(C\to D\) ont tous longueur \(6\,\mathrm{cm}\) et le même sens.

Les segments \([PR]\) et \([QS]\) se coupent en leur milieu \(O\), avec \(P,Q,R,S\) dans l’ordre d’un quadrilatère non croisé et non aplati. On donne \(PR=12\,\mathrm{cm}\). Une translation envoie \(P,R,O\) sur \(P',R',O'\).

1. Quel quadrilatère peux-tu reconnaître ? Cite les deux segments qui jouent le rôle des diagonales.

2. Calcule \(PO\) et \(OR\).

3. Justifie la position de \(O'\) et donne \(P'O'\).

Indice. Distingue deux raisons : un même milieu reconnaît une configuration ; une translation conserve ensuite le milieu.

Correction. \([PR]\) et \([QS]\) sont les diagonales de \(PQRS\). Elles ont le même milieu, donc \(PQRS\) est un parallélogramme, par la réciproque démontrée. Le point \(O\) partage \([PR]\) en deux longueurs égales : \(12=PO+OR=2PO\). Diviser les deux membres par \(2\ne0\) donne \(12/2=(2PO)/2=(2/2)PO=1\times PO=PO\), soit \(PO=6\,\mathrm{cm}\) et \(OR=6\,\mathrm{cm}\). Enfin, la translation conserve les milieux : \(O'\) est le milieu de \([P'R']\). Elle conserve aussi les longueurs : \(P'O'=PO=6\,\mathrm{cm}\).

On donne un triangle \(RST\). La translation qui transforme \(R\) en \(S\) envoie \(S\) sur \(U\) et \(T\) sur \(V\). On sait \(ST=8\,\mathrm{cm}\). Le point \(I\) est le milieu de \([ST]\) et son image est \(J\).

1. Quel est le contour du parallélogramme construit avec \(R,S,T,V\) ?

2. Quelle est l’image du segment \([ST]\) ? Quelle est sa longueur ?

3. Où se trouve \(J\) ? Calcule \(UJ\).

Cherche avant de lire la suite ; un tableau « départ / arrivée » peut remplacer un dessin compliqué.

Indice. Les images sont \(R\mapsto S\), \(S\mapsto U\), \(T\mapsto V\), \(I\mapsto J\). Il faut déplacer les deux extrémités d’un segment.

Correction. Les déplacements \(R\to S\) et \(T\to V\) correspondent au parallélogramme \(RSVT\). L’image de \([ST]\) est \([UV]\), de longueur \(UV=ST=8\,\mathrm{cm}\). Comme les milieux sont conservés, \(J\) est le milieu de \([UV]\). On a donc \(8=UJ+JV=2UJ\) ; on divise les deux membres par \(2\ne0\) : \(8/2=(2UJ)/2=(2/2)UJ=UJ\), donc \(UJ=4\,\mathrm{cm}\). Le résultat \(SJ=4\) ne serait pas justifié : \(S\) n’est pas l’image de \(S\) dans cette translation non nulle.

Un élève construit \(M'\) sur la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\), avec \(MM'=AB\), puis affirme qu’il a construit l’image de \(M\) par la translation \(A\to B\). Explique exactement ce qu’il doit encore vérifier. Indique aussi ce qui change si \(A=B\).

Réponse possible. Si \(A\ne B\), deux points de la droite passant par \(M\) sont à la distance \(AB\) de \(M\), l’un dans chaque sens. Il faut choisir celui pour lequel \(M\to M'\) a le même sens que \(A\to B\). L’autre réalise le déplacement inverse. Si \(A=B\), la longueur est zéro ; l’image est \(M\) lui-même, sans choix de direction ni de sens.

Pour vérifier ta réponse. Ta justification explique les deux positions possibles pour une longueur positive, identifie la condition de sens et traite séparément le déplacement nul. Elle ne se contente pas de dire « il faut vérifier le dessin ».

Les points \(A\) et \(B\) sont distincts, avec \(AB=4\,\mathrm{cm}\). Le point \(M\) est le milieu de \([AB]\). Construis son image \(M'\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\). Le point \(M'\) appartient-il à \([AB]\) ?

Indice. Tous les points sont sur la même droite. Repars de \(M\), dans le sens \(A\to B\), sur une longueur de \(4\,\mathrm{cm}\).

Correction. Comme \(M\) est le milieu, \(AM=MB=4/2=2\,\mathrm{cm}\). La translation impose \(MM'=4\,\mathrm{cm}\) dans le sens \(A\to B\). Depuis \(M\), on atteint d’abord \(B\) après \(2\,\mathrm{cm}\) ; il reste \(4-2=2\,\mathrm{cm}\) à parcourir. Donc \(M'\) est au-delà de \(B\), avec \(BM'=2\,\mathrm{cm}\). Il n’appartient pas à \([AB]\). On n’a pas construit un vrai quadrilatère : c’est le cas aligné de la définition.

Autre condition. Si le déplacement était nul, l’image resterait \(M\). « Une translation » n’implique donc pas toujours qu’un point change effectivement de position ; il faut regarder le déplacement choisi.

Première erreur. Tu as écrit « \(ABCM'\) est un parallélogramme » parce que la translation \(A\to B\) envoyait \(C\) sur \(M'\).

Rappel ciblé. Les déplacements correspondants sont \(A\to B\) et \(C\to M'\). Ils se lisent dans le même sens. Le contour se ferme dans l’ordre \(A,B,M',C\) ; le second déplacement se parcourt donc en sens inverse quand on suit le contour.

Exemple plus simple corrigé. Un rectangle est nommé \(A,B,D,C\) autour de son contour, avec \([AB]\) en bas et \([CD]\) en haut. Le mouvement de \(A\) vers \(B\) est alors le même que celui de \(C\) vers \(D\). Le contour du rectangle est \(ABDC\), pas \(ABCD\).

Nouvel essai. La translation \(P\to Q\) envoie \(R\), extérieur à \((PQ)\), sur \(S\). Écris le contour du parallélogramme et ses deux diagonales avant de lire la correction.

Correction. Le contour est \(PQSR\). Ses diagonales relient les sommets opposés : ce sont \([PS]\) et \([QR]\). Elles ont le même milieu, puisque ce sont les diagonales d’un parallélogramme. Les segments \([PQ]\) et \([RS]\) sont ses côtés opposés : ils ont la même longueur, mais pas le même milieu.

Retour. Reprends la tentative sur \(R,S,T,V\) : trace le contour d’abord, puis écris les diagonales et les deux déplacements de même sens.

Première erreur. Tu n’as déplacé qu’une seule extrémité du segment, en laissant l’autre point à sa place.

Rappel ciblé. Une translation non nulle agit sur tous les points. Pour trouver l’image de \([MN]\), il faut connaître l’image de \(M\) et celle de \(N\).

Exemple plus simple corrigé. Si une translation envoie \(M\) sur \(P\) et \(N\) sur \(Q\), l’image de \([MN]\) est \([PQ]\), pas \([MQ]\). Si \(MN=3\), la conservation donne \(PQ=3\) ; elle ne donne aucune valeur de \(MQ\).

Nouvel essai. Une translation envoie \(A\) sur \(B\), \(B\) sur \(C\) et \(I\), milieu de \([AB]\), sur \(K\). Quel segment a \(K\) pour milieu ?

Correction. Les images des extrémités \(A\) et \(B\) sont \(B\) et \(C\). Le segment image est donc \([BC]\). La conservation des milieux montre que \(K\) est le milieu de \([BC]\). Il n’est pas nécessairement le milieu de \([AC]\).

Retour. Dans l’exemple du triangle \(ABC\), reconstruis le tableau \(A\mapsto B\), \(B\mapsto F\), \(C\mapsto D\), puis retrouve l’image de chaque côté sans consulter le dessin.

1. Les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu et forment les diagonales d’un quadrilatère non croisé non aplati. Rédige une justification de sa nature.

2. Une translation \(A\to B\) envoie \(C\) sur \(D\) et \(B\) sur \(E\). Si \(BC=9\,\mathrm{cm}\) et si \(I\) est milieu de \([BC]\), décris l’image \(J\) de \(I\) et calcule \(EJ\).

3. Décris séparément la construction de l’image d’un point extérieur à \((AB)\), d’un point sur \((AB)\) et d’un point pour le déplacement nul.

Aides. Nomme le théorème dans son bon sens. Déplace les deux extrémités. Pour une longueur positive, le choix du sens élimine un des deux reports possibles.

Correction. Le quadrilatère est \(ABCD\) ; ses diagonales ont le même milieu, donc c’est un parallélogramme par la réciproque du théorème des diagonales. Pour la deuxième demande, les images de \(B\) et \(C\) sont \(E\) et \(D\) : \(J\) est milieu de \([ED]\), et \(ED=BC=9\). Ainsi \(EJ=JD=9/2=4{,}5\,\mathrm{cm}\). Pour la troisième, utilise les deux parallèles quand le point est extérieur ; reporte \(AB\) dans le sens \(A\to B\) sur la droite lorsque le point est aligné ; laisse le point fixe lorsque le déplacement est nul.

• Dans un parallélogramme non aplati : côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales de même milieu. Réciproquement, un même milieu des diagonales permet de le reconnaître.

• La translation \(A\to B\) donne à chaque point le même déplacement : même direction, même sens, même longueur. Le déplacement nul laisse chaque point fixe.

• Si \(C\notin(AB)\) et si son image est \(D\), le parallélogramme est \(ABDC\) ; ses diagonales sont \([AD]\) et \([BC]\).

• Une translation conserve longueurs, alignement, directions, angles et milieux. Pour trouver l’image d’un segment, on déplace ses deux extrémités.

• Le déplacement inverse est \(B\to A\). Une construction de même longueur mais de sens opposé ne donne pas l’image demandée.

Un mobile avance de \(4\) cm vers la droite ; un autre avance de \(4\) cm vers la gauche, sur une droite parallèle. Ont-ils effectué le même déplacement ? Que faudrait-il changer ?

Correction. Les longueurs et les directions sont les mêmes, mais les sens sont opposés. Les déplacements ne sont pas les mêmes. Il faudrait inverser le sens du second, sans changer sa longueur. Si tu confonds encore « direction » et « sens », reprends leurs définitions juste ci-dessous : sur une même route rectiligne, on peut circuler dans deux sens.

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts.

• La direction de \(A\) vers \(B\) est celle de la droite \((AB)\). Des droites parallèles ont la même direction.

• Le sens indique lequel des deux parcours possibles est choisi : ici, de \(A\) vers \(B\).

• La longueur du déplacement est la distance \(AB\), qui est strictement positive.

Une direction n’est donc pas un sens. « Horizontal » est une indication de direction sur la feuille ; « de gauche à droite » précise alors un sens. Pour une figure tournée, les mots « droite » et « haut » peuvent devenir trompeurs : les noms des points sont plus sûrs.

Un vecteur non nul est un déplacement caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. Une flèche qui représente ce déplacement est un représentant du vecteur.

La flèche allant de \(A\) vers \(B\) représente le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), lu « vecteur \(A B\) ». \(A\) est son origine et \(B\) son extrémité. On peut aussi nommer le vecteur avec une lettre minuscule : \(\vec{u}\).

La longueur d’un vecteur s’appelle sa norme. On note

Le membre de gauche désigne la norme d’un vecteur ; le membre de droite est une distance. Ce sont deux écritures d’un même nombre positif.

Ne pas bouger est aussi un déplacement. Il définit le vecteur nul, noté \(\vec{0}\). Pour tout point \(A\), \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\).

Sa norme est \(0\). Il n’a ni direction ni sens : une flèche de longueur nulle ne désigne aucune droite. Tous les représentants du vecteur nul ont origine et extrémité confondues, mais ils peuvent être placés à des points différents.

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Deux vecteurs nuls sont égaux ; un vecteur nul n’est égal à aucun vecteur non nul.

L’origine du représentant ne fait pas partie de ces trois caractéristiques. Ainsi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) peuvent être égaux même lorsque \(A\ne C\). En revanche, l’ordre des lettres compte : \(\overrightarrow{AB}\) va de \(A\) vers \(B\), et \(\overrightarrow{BA}\) va de \(B\) vers \(A\).

Deux flèches de \(3\) cm peuvent avoir des directions différentes : même norme ne signifie pas même vecteur. Deux flèches parallèles peuvent avoir des longueurs \(3\) cm et \(5\) cm : même direction ne signifie pas même vecteur. Enfin, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\), avec \(A\ne B\), ont même direction et même norme, mais des sens contraires : elles ne sont pas égales.

Ces trois exemples retirent chacun une information nécessaire. Ils expliquent pourquoi il faut contrôler les trois caractéristiques, pas seulement la longueur.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) et tout point \(M\), il existe un unique point \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\).

Démonstration. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), l’égalité impose \(MN=0\), donc \(N=M\) : ce point existe et il est unique.

Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\), traçons par \(M\) la droite de la direction de \(\vec{u}\). La propriété géométrique utilisée ici est l’existence et l’unicité d’une parallèle à une droite donnée passant par un point donné ; si le point est sur la droite, c’est cette droite. Choisissons sur cette droite le sens de \(\vec{u}\), puis reportons à partir de \(M\) la longueur positive \(\left\lVert \vec{u}\right\rVert\). Sur cette demi-droite, une longueur fixée détermine exactement un point \(N\). Les trois caractéristiques sont celles demandées ; aucun autre point ne convient.

Cette preuve s’appuie sur les constructions usuelles des droites et des longueurs, admises comme fondations de la géométrie euclidienne.

La translation de vecteur \(\vec{u}\) est la transformation qui associe à chaque point \(M\) l’unique point \(N\) vérifiant \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\).

L’existence et l’unicité viennent de la propriété précédente. Une translation applique donc le même déplacement à tous les points. La translation de vecteur nul laisse chaque point à sa place.

On peut imaginer une figure dessinée sur un calque que l’on fait glisser sans le tourner : chaque point reçoit le même déplacement. Le glissement correspond à la translation ; la flèche qui relie une position à la suivante représente son vecteur.

Apport. Cette image aide à comprendre pourquoi le point de départ peut changer sans changer le vecteur.

Limites. Tourner le calque, le déformer ou le faire pivoter autour d’un point n’est pas une translation. Le trajet réel de la main peut être compliqué ; le vecteur ne décrit que le déplacement entre les deux positions, pas toute la trajectoire. La définition mathématique reste l’égalité \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\).

Indice. On donne \(\overrightarrow{AB}\) et un point de départ \(M\), puis on demande une flèche égale à \(\overrightarrow{AB}\).

Premier geste. Identifier l’origine demandée : la nouvelle flèche doit commencer en \(M\), même si une autre construction semble plus facile.

1. Si \(A=B\), placer simplement \(N=M\).

2. Sinon, tracer par \(M\) la parallèle à \((AB)\).

3. Sur cette droite, choisir le sens correspondant au parcours de \(A\) vers \(B\).

4. Reporter au compas la longueur \(AB\) à partir de \(M\), dans ce sens ; nommer l’extrémité \(N\).

5. Tracer la flèche de \(M\) vers \(N\), puis contrôler direction, sens et longueur.

Le compas permet de reporter une longueur sans la mesurer ni l’arrondir. La seule égalité \(MN=AB\) ne suffit pas à contrôler la construction.

Une flèche de \(A\) vers \(B\) mesure \(3{,}6\) cm. Sur le dessin, \(A\) est à gauche et en dessous de \(B\). On veut construire \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}\), avec \(M\) en dessous de \((AB)\).

On trace d’abord la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\). Sur cette parallèle, on part de \(M\) dans le sens correspondant à \(A\) vers \(B\), donc vers le haut et la droite sur ce dessin précis. On reporte \(3{,}6\) cm et on nomme le point obtenu \(N\).

Contrôle. \((MN)\) est parallèle à \((AB)\), les parcours \(M\) vers \(N\) et \(A\) vers \(B\) ont le même sens, et \(MN=3{,}6\text{ cm}=AB\). Les trois critères sont vérifiés : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}\). Si l’on tourne la feuille, l’égalité demeure : la conclusion ne dépend pas des mots « haut » et « droite ».

Essai guidé. Trace deux points distincts \(R,S\) et un point \(T\) hors de \((RS)\). Construis \(U\) tel que \(\overrightarrow{TU}=\overrightarrow{RS}\). Complète : la droite \((TU)\) est \(\ldots\) à \((RS)\), le sens est de \(\ldots\) vers \(\ldots\), et \(TU=\ldots\).

Correction. Tracer par \(T\) la parallèle à \((RS)\), choisir le sens du parcours de \(R\) vers \(S\), puis reporter \(RS\) à partir de \(T\). Les réponses sont « parallèle », « \(R\) vers \(S\) » et « \(RS\) ». L’origine de la nouvelle flèche est \(T\), pas \(R\).

À tenter avant de consulter. On sait que \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{PQ}\) et que \(KL=2{,}8\) cm. Que peut-on dire de \((KL)\), de \((PQ)\) et de \(PQ\) ? Les points \(K\) et \(P\) sont-ils nécessairement confondus ?

Indice. Sépare les caractéristiques du vecteur de la position de son représentant.

Correction. Les vecteurs sont non nuls puisque \(KL>0\). Leurs droites sont parallèles, leurs sens sont les mêmes et leurs normes sont égales, donc \(PQ=2{,}8\) cm. Les points \(K\) et \(P\) ne sont pas nécessairement confondus : on peut reproduire la même flèche en un autre lieu.

Justification personnelle. Un élève dit : « \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) est impossible puisque \(A\ne C\). » Réponds en indiquant ce qui définit le vecteur et ce qui appartient seulement au représentant.

Réponse possible. L’origine \(A\) ou \(C\) situe le représentant. Le vecteur non nul est déterminé par la direction, le sens et la norme. Deux représentants d’origines différentes peuvent donc définir le même vecteur.

Pour vérifier ta réponse. Ta réponse doit distinguer l’objet et son dessin, nommer les trois caractéristiques et ne pas affirmer que toutes les flèches de même longueur sont égales.

Variation. Si l’on efface les noms \(A,B,C,D\) mais que les flèches restent, peut-on toujours discuter l’égalité des vecteurs ? Et si l’on efface aussi les pointes ?

Correction. Avec les flèches, on peut comparer direction, sens et longueur, à condition que les données soient connues ou codées, pas seulement approximées à l’œil. Sans pointe et sans noms ordonnés, les segments ne donnent plus le sens : on ne peut pas décider quelle orientation était prévue.

Première erreur. « \(AB=CD\), donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). » La première égalité compare des nombres, la seconde des déplacements : il manque direction et sens.

Rappel et exemple plus simple. Sur une droite, prends deux points \(E,F\) distants de \(1\) cm. On a \(EF=FE=1\) cm, mais les flèches \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{FE}\) vont en sens contraires, donc elles ne sont pas égales.

Nouvel essai. Deux représentants mesurent \(2\) cm et sont parallèles. Quelle information faut-il encore vérifier pour conclure qu’ils sont égaux ?

Correction. Il faut vérifier le même sens. Deux longueurs égales et deux droites parallèles n’empêchent pas les flèches d’être opposées.

Retour. Dans la première phrase, remplace la conclusion immédiate par trois contrôles : longueur, direction, sens. Tant qu’un de ces contrôles manque, l’égalité vectorielle n’est pas établie.

Deux points \(A,B\) sont distincts. Construis, à partir d’un point \(P\) de ton choix, un représentant de \(\overrightarrow{BA}\). Explique ensuite pourquoi il ne représente pas \(\overrightarrow{AB}\). Enfin, que devient la demande si \(A=B\) ?

Indice. Lis les lettres dans l’ordre ; le premier point de \(\overrightarrow{BA}\) est \(B\).

Correction. On trace par \(P\) la parallèle à \((AB)\) et on reporte la longueur \(AB\) dans le sens de \(B\) vers \(A\). Ce représentant a le sens contraire de \(\overrightarrow{AB}\), donc n’est pas égal à celui-ci. Si \(A=B\), le vecteur demandé est nul : l’extrémité est \(P\) lui-même ; aucune direction n’est à choisir.

Pour vérifier ta réponse. Le départ imposé, le sens demandé et le cas nul doivent tous être traités.

Deux vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont mêmes direction, sens et norme. \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). À origine fixée, un vecteur détermine une seule extrémité : on reporte sa direction, son sens et sa longueur ; pour le vecteur nul, l’extrémité reste à l’origine.

Un parallélogramme non aplati est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles. Ses côtés opposés ont même longueur et ses diagonales ont le même milieu. Ces propriétés géométriques de collège sont ici des résultats antérieurs identifiés. Elles se démontrent en comparant les triangles découpés par une diagonale ou par le point d’intersection des diagonales, à l’aide des angles alternes-internes et des cas d’égalité des triangles.

Le milieu de \([AB]\) est le point de ce segment situé à la même distance de \(A\) et de \(B\). Pour \(A=B\), on convient que le milieu est \(A\). Les cas aplatis seront traités séparément, sans les confondre avec un vrai quadrilatère.

Trace un parallélogramme \(ABCD\) non aplati, en plaçant les lettres dans l’ordre du contour. Parmi \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}\), quel vecteur est égal à \(\overrightarrow{AB}\) ?

Correction. C’est \(\overrightarrow{DC}\). Les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et de même longueur ; le parcours de \(D\) vers \(C\) a le même sens que celui de \(A\) vers \(B\). Le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) parcourt le côté opposé en sens contraire. Si tu as choisi \(\overrightarrow{CD}\), dessine réellement les deux pointes avant de poursuivre.

Soient \(A,B,C\) trois points non alignés et \(D\) un point. Alors

Premier sens. Si \(ABCD\) est un parallélogramme, les côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles et ont même longueur. Dans l’ordre du contour, les parcours de \(A\) vers \(B\) et de \(D\) vers \(C\) ont le même sens. Les trois caractéristiques sont égales, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

Sens réciproque. Supposons \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Construisons le parallélogramme \(ABCD'\) : \(D'\) est l’intersection de la parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(C\). Ces deux directions sont différentes puisque \(A,B,C\) ne sont pas alignés ; l’intersection est donc unique.

Le premier sens, déjà prouvé, donne \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D'C}\). Ainsi \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D'C}\). En retournant simultanément les deux flèches, on obtient \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD'}\) : mêmes direction, sens inversés ensemble, même longueur. Ces représentants ont la même origine \(C\). L’unicité de leur extrémité impose \(D=D'\). Donc \(ABCD\) est bien le parallélogramme construit.

Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a

La première égalité vient de la caractérisation précédente. La seconde s’obtient en appliquant le même raisonnement à l’autre paire de côtés opposés : \([AD]\) et \([BC]\) sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens.

Indice. On connaît \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) avec \(C\) hors de \((AB)\).

Premier geste. Place les deux flèches dans le même sens ; ne lis pas automatiquement les quatre lettres dans l’ordre \(A,B,C,D\).

Les côtés opposés parcourus dans le même sens sont \([AB]\) et \([CD]\). Le contour est donc \(A\to B\to D\to C\to A\). Le parallélogramme est \(\boxed{ABDC}\), pas \(ABCD\).

Pourquoi ? La caractérisation précédente, appliquée aux sommets \(A,B,D,C\), demande précisément \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). De manière équivalente, \(D\) est l’image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Contrôle. Suivre le contour sans croiser les côtés ; vérifier ensuite que l’égalité utilisée est celle des côtés opposés avec les bons sens.

Pour tous points \(A,B,I\),

Du milieu à l’égalité. Si \(A=B\), alors \(I=A=B\), donc les deux vecteurs sont nuls. Si \(A\ne B\), le milieu \(I\) est entre \(A\) et \(B\), avec \(AI=IB\). Les flèches \(A\to I\) et \(I\to B\) ont alors mêmes direction, sens et longueur.

De l’égalité au milieu. Si les deux vecteurs sont nuls, \(A=I=B\), ce qui convient. Sinon, ils sont non nuls et ont la même direction : \(A,I,B\) sont sur une même droite. Leur même sens signifie que l’on continue de \(I\) vers \(B\) dans le sens du trajet de \(A\) vers \(I\). \(I\) est donc entre \(A\) et \(B\). Enfin, l’égalité des normes donne \(AI=IB\). Ce sont exactement les deux conditions du milieu.

Dans un triangle isocèle \(ABC\) en \(C\), on a \(CA=CB\), mais \(C\) n’est pas le milieu de \([AB]\) puisqu’il n’est pas sur ce segment. L’égalité de distances ne donne pas l’alignement.

Lorsque \(A\ne B\) et que \(I\) est le milieu de \([AB]\), il faut écrire \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), pas \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\) : les deux flèches non nulles d’origine \(I\) vont vers des côtés opposés du milieu. Dans le cas particulier \(A=B=I\), tous ces vecteurs sont nuls ; les deux écritures sont alors vraies, sans décrire deux sens opposés.

L’égalité \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) garde un sens lorsque les points sont alignés ou confondus. Elle décrit encore deux déplacements égaux, mais elle ne produit pas nécessairement un quadrilatère non aplati. On dit parfois « parallélogramme aplati » pour cette configuration ; ce n’est pas un polygone ordinaire avec un intérieur.

Dans cette unité, lorsqu’un théorème parle d’un parallélogramme non aplati, le non-alignement des trois premiers sommets est une condition. Si elle manque, on conserve l’égalité vectorielle et on traite la configuration, au lieu d’utiliser une figure supposée avoir quatre côtés distincts.

Les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés. Le point \(D\) vérifie \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Le point \(I\) est le milieu de \([AD]\). Montrons que \(I\) est aussi le milieu de \([BC]\).

Choix. Les deux vecteurs égaux ne sont pas placés bout à bout ; ils indiquent ici un parallélogramme. D’après la caractérisation, le bon contour est \(ABDC\).

Ses diagonales sont \([AD]\) et \([BC]\). Or les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Leur point de concours est donc le milieu de \([AD]\), c’est-à-dire \(I\), et simultanément le milieu de \([BC]\).

Contrôle. La conclusion permet d’écrire \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}\). Elle ne donne pas \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}\), car ces deux flèches partiraient du milieu dans des sens contraires. L’argument utilise la propriété des diagonales ; mesurer le dessin n’en serait pas une preuve.

Essai guidé. \(PQRS\) est un parallélogramme non aplati. Complète \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{\ldots}\) et \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{\ldots}\), puis justifie les sens.

Correction. \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}\) et \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}\). Dans chaque paire, les côtés sont opposés, donc parallèles et de même longueur ; les flèches sont parcourues dans le même sens. Les écritures \(\overrightarrow{RS}\) et \(\overrightarrow{RQ}\) auraient les sens contraires.

À tenter avant de consulter. Les points \(K,L,M\) ne sont pas alignés. On construit \(N\) tel que \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{MN}\). Quel parallélogramme obtient-on ? Quelles sont ses diagonales ? Si \(O\) est le milieu de \([KN]\), que peut-on en déduire ?

Indice. Dessine les deux flèches, puis parcours le contour sans les croiser.

Correction. Le contour est \(K,L,N,M\), donc le parallélogramme est \(KLNM\). Ses diagonales relient les sommets opposés : ce sont \([KN]\) et \([LM]\). Elles ont le même milieu. Ainsi \(O\), milieu de \([KN]\), est le milieu de \([LM]\), et \(\overrightarrow{LO}=\overrightarrow{OM}\).

Demande. Explique pourquoi \(\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{XB}\) permet de conclure que \(X\) est le milieu de \([AB]\), alors que \(AX=XB\) ne suffit pas. Ta réponse doit nommer les informations supplémentaires apportées par les flèches.

Réponse possible. L’égalité vectorielle donne la même direction, donc l’alignement, et le même sens, donc la position de \(X\) entre \(A\) et \(B\) dans le cas non nul. Elle donne aussi \(AX=XB\). Dans le cas nul, les trois points sont confondus. L’égalité de longueurs seule donne seulement l’équidistance.

Pour vérifier ta réponse. Cite l’alignement, la position entre les extrémités et l’égalité des longueurs ; explique le rôle du sens.

Variation. Trois points \(A,I,B\) sont alignés dans cet ordre, avec \(AI=2\) cm et \(IB=5\) cm. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\) ont-ils même direction et même sens ? Sont-ils égaux ?

Correction. Oui pour direction et sens : on suit la même droite dans le même sens. Non pour l’égalité : les normes \(2\) cm et \(5\) cm diffèrent. \(I\) n’est donc pas le milieu.

Première erreur. Pour \(A\ne B\) : « \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\). » L’erreur vient des deux origines identiques : les flèches non nulles partent du milieu vers les extrémités opposées. Si \(A=B=I\), l’égalité serait vraie, car les deux vecteurs seraient nuls ; ce cas ne justifie pas la règle générale proposée.

Exemple plus simple. Place \(A,I,B\) sur une droite, avec \(AI=IB=1\) cm. La flèche \(A\to I\) suit le même sens que \(I\to B\). L’égalité correcte est \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

Nouvel essai. \(J\) est le milieu de \([EF]\). Complète l’égalité \(\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{\ldots}\).

Correction. On arrive en \(J\) depuis \(F\), puis on continue dans le même sens vers \(E\) : \(\overrightarrow{FJ}=\overrightarrow{JE}\). Les normes valent la moitié de \(EF\).

Retour. Dans la phrase initiale, retourne seulement la première flèche, afin d’obtenir \(A\to I\to B\). Ce contrôle du parcours est plus sûr que la mémorisation de deux paires de lettres.

\(ABCD\) est un parallélogramme non aplati. \(M\) est le milieu de \([AB]\). Un point \(N\) vérifie \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}\). Prouve que \(AMND\) est un parallélogramme. Quelles égalités de vecteurs peux-tu alors écrire ?

Indice. Les points \(A,M,D\) ne sont pas alignés : \(M\) est sur \((AB)\), \(M\ne A\), et \(D\) n’est pas sur \((AB)\).

Correction. L’égalité \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}\) donne une droite \((MN)\) parallèle à \((AD)\). Comme \(M\) n’est pas sur \((AD)\), ces droites sont distinctes ; \(N\) n’est donc pas sur \((AD)\). Les trois points \(A,D,N\) ne sont pas alignés. La caractérisation s’applique : \(ADNM\) est un parallélogramme, qui est le même contour que \(AMND\) parcouru dans l’autre sens. On obtient donc \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DN}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}\). Comme \(M\) est le milieu de \([AB]\), on a aussi \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\), d’où \(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{MB}\). On a utilisé une condition de non-aplatissement, puis les égalités de côtés opposés.

Pour vérifier ta réponse. Le contour, les sens des flèches et la justification de non-aplatissement doivent être cohérents.

Un vecteur non nul est déterminé par direction, sens et norme. Depuis tout point \(O\), il possède exactement un représentant \(\overrightarrow{OA}\). Le vecteur nul est représenté par \(\overrightarrow{OO}\).

Une translation fait subir le même déplacement à chaque point. Elle conserve longueurs, parallélisme et sens de parcours sur les segments : l’image d’une flèche est donc un représentant du même vecteur. C’est un résultat géométrique antérieur sur les translations, utilisé ici comme fondation ; il ne repose pas sur les règles de calcul vectoriel que nous allons établir.

Dans un parallélogramme \(OACB\), les côtés opposés donnent \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\).

Un trajet va de \(P\) à \(Q\), puis de \(Q\) à \(R\). Quel est son point de départ ? Son arrivée ? La seconde étape commence-t-elle là où la première s’arrête ?

Correction. Le départ est \(P\), l’arrivée est \(R\), et le point commun est \(Q\). Le déplacement total va de \(P\) vers \(R\). Si ce repérage bloque, trace les deux flèches en écrivant « arrivée » près du \(Q\) de la première et « départ » près du \(Q\) de la seconde.

Pour la construction. Si deux flèches partent toutes deux de \(O\), sont-elles déjà placées bout à bout ? Correction. Non en général : il faut transporter la seconde à l’extrémité de la première en conservant direction, sens et longueur. Si cette opération n’est pas claire, reprends le rappel de translation, puis la méthode des vecteurs de même origine.

Pour construire la somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on choisit un point \(O\), puis les points \(A,B\) tels que

On définit \(\boxed{\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{OB}}\).

Le second représentant commence à l’extrémité du premier. Le représentant de la somme relie l’origine du premier à l’extrémité du second. Cette définition inclut les vecteurs nuls : une étape nulle ne déplace pas le point.

Ce lemme justifie que la définition précédente construit bien un vecteur, et pas un résultat dépendant de l’emplacement du dessin.

Avec un autre départ \(O'\), appelons \(A',B'\) les points construits successivement avec \(\vec{u}\) puis \(\vec{v}\). Appliquons à \(O,A,B\) la translation qui envoie \(O\) sur \(O'\). Comme elle conserve les vecteurs des segments, l’image de \(A\) est le point d’origine \(O'\) vérifiant \(\overrightarrow{O'A'}=\vec{u}\), donc \(A'\), par unicité. L’image de \(B\) est de même \(B'\). Enfin, la flèche \(\overrightarrow{OB}\) est envoyée sur une flèche égale \(\overrightarrow{O'B'}\).

Ainsi les deux constructions donnent le même vecteur. Le raisonnement demeure valable si des points sont confondus ou si les trois points sont alignés.

Pour tous points \(A,B,C\), éventuellement confondus ou alignés,

Démonstration. Prenons \(A\) comme départ dans la définition de la somme. Le représentant \(\overrightarrow{AB}\) conduit à \(B\), puis le représentant \(\overrightarrow{BC}\) conduit à \(C\). La définition donne exactement le représentant \(\overrightarrow{AC}\).

La lettre intermédiaire \(B\) est l’arrivée du premier vecteur et l’origine du second. Ce n’est pas une « simplification de lettres » : c’est la traduction d’un chemin.

Indice. On donne \(\vec{u}=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{OB}\).

Premier geste. Vérifier si les deux flèches ont des directions différentes. Dans ce cas, construire le parallélogramme \(OACB\) : par \(A\), tracer la parallèle à \((OB)\) ; par \(B\), tracer la parallèle à \((OA)\). Leur intersection est \(C\).

Alors \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=\vec{v}\), et Chasles donne

La somme est donc la diagonale issue de l’origine commune, pas l’autre diagonale.

Si les flèches sont sur une même direction, les parallèles de construction peuvent se confondre : revenir à la construction bout à bout. Si l’un des vecteurs est nul, on garde simplement l’autre.

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\), \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\). Cette propriété est la commutativité.

Démonstration. Si un vecteur est nul, ne pas se déplacer avant ou après l’autre déplacement donne le même résultat.

Si les deux vecteurs non nuls ont des directions différentes, la construction du parallélogramme ci-dessus donne \(\overrightarrow{OC}\) par le chemin \(O\to A\to C\), mais aussi par \(O\to B\to C\). Les sommes dans les deux ordres sont donc égales.

S’ils ont la même direction, ils s’ajoutent sur une même droite. S’ils ont le même sens, on parcourt la somme de leurs longueurs dans ce sens, quel que soit l’ordre. S’ils ont des sens opposés, la partie parcourue dans les deux sens se compense : il reste la différence des longueurs, dans le sens du déplacement le plus long. Si les longueurs sont égales, on revient au départ. Là encore, inverser l’ordre ne change ni le sens restant ni sa longueur.

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\),

La première propriété est l’associativité. La seconde exprime que le vecteur nul est un élément neutre.

Démonstration de l’associativité. Construisons successivement \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}=\vec{v}\) et \(\overrightarrow{BC}=\vec{w}\). Le déplacement \(\vec{u}+\vec{v}\) est \(\overrightarrow{OB}\) ; lui ajouter \(\vec{w}=\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{OC}\). Le déplacement \(\vec{v}+\vec{w}\) est \(\overrightarrow{AC}\) ; lui ajouter d’abord \(\vec{u}=\overrightarrow{OA}\) donne aussi \(\overrightarrow{OC}\). Les deux regroupements ont donc la même valeur.

Démonstration pour le vecteur nul. À partir de \(O\), le déplacement \(\vec{u}\) conduit à \(A\). Ajouter \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) laisse l’arrivée \(A\). Commencer par \(\overrightarrow{OO}=\vec{0}\) laisse le départ \(O\). Les deux sommes représentent \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\).

Indice. Plusieurs vecteurs portent des lettres de points ; on cherche une flèche unique.

Premier geste. Repérer une arrivée qui est aussi une origine : \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}\) peut devenir \(\overrightarrow{XZ}\).

1. Réordonner si nécessaire grâce à la commutativité.

2. Regrouper une chaîne grâce à l’associativité.

3. Remplacer chaque chaîne par la flèche de son premier point à son dernier.

4. Si le chemin revient à son départ, écrire le vecteur nul.

Contrôle. Vérifier départ et arrivée. On ne peut pas transformer directement \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) en \(\overrightarrow{BC}\) : les deux flèches partent de \(A\), elles ne s’enchaînent pas.

Simplifions \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}\).

Les trois termes ont tous été utilisés une fois. Le chemin complet \(C\to A\to B\to D\) confirme que le départ est \(C\) et l’arrivée \(D\).

Si \(D=C\), la même identité donne \(\overrightarrow{CC}=\vec{0}\). Un chemin fermé peut avoir une longueur parcourue positive tout en ayant un déplacement total nul.

Essai guidé. Trace deux flèches non nulles de directions différentes \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\). Construis leur somme, d’abord par le parallélogramme, puis en transportant \(\overrightarrow{OB}\) à partir de \(A\).

Correction. Dans la première voie, l’intersection \(C\) des parallèles par \(A\) et \(B\) donne \(\overrightarrow{OC}\). Dans la seconde, le représentant d’origine \(A\) égal à \(\overrightarrow{OB}\) arrive aussi en \(C\), puisque \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\). Chasles donne donc la même flèche \(\overrightarrow{OC}\).

Justification personnelle. Pourquoi la somme est-elle \(\overrightarrow{OC}\), et non l’autre diagonale \(\overrightarrow{AB}\) ? Réponse possible. Le chemin qui additionne les deux déplacements part de \(O\), va en \(A\), puis en \(C\). Son départ est donc \(O\) et son arrivée \(C\). La diagonale \(\overrightarrow{AB}\) ne possède ni ce départ ni cette arrivée.

Pour vérifier ta réponse. Relie le représentant transporté à une égalité de côtés opposés, puis indique le départ et l’arrivée du chemin ; le seul mot « diagonale » ne suffit pas.

À tenter avant de consulter. Sur une droite, \(\vec{u}\) représente \(5\) cm vers la droite et \(\vec{v}\) représente \(2\) cm vers la gauche. Construis \(\vec{u}+\vec{v}\). Pourquoi la méthode d’intersection de parallèles n’est-elle pas appropriée ici ?

Indice. Après le premier déplacement, reviens de \(2\) cm.

Correction. Depuis le départ \(O\), on arrive à \(A\) après \(5\) cm vers la droite, puis à \(B\) après \(2\) cm vers la gauche. Le déplacement final est de \(5-2=3\) cm vers la droite. Les directions étant identiques, la construction par deux parallèles confondues ne fournit pas une intersection unique ; la construction bout à bout reste valable.

Essai guidé. Complète \(\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{\ldots}\), puis \(\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MN}=\ldots\).

Correction. Le premier chemin va de \(L\) à \(N\), donc donne \(\overrightarrow{LN}\). Le second vaut \(\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{NN}=\vec{0}\) : on revient à \(N\).

À tenter avant de consulter. Réduis \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\) et indique la propriété autorisant ton premier changement.

Indice. Cherche le chemin qui commence en \(P\).

Correction. Par commutativité,

Les deux dernières égalités sont des applications de Chasles. Le parcours est \(P\to Q\to R\to S\).

Justification personnelle. Pourquoi peut-on écrire Chasles sans supposer les trois points alignés ?

Réponse possible. La somme porte sur les déplacements, pas sur les distances. Aller de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\), a toujours pour déplacement total \(A\to C\), même si le trajet tourne en \(B\).

Pour vérifier ta réponse. Distingue flèches et longueurs, puis cite la définition de la somme ou la relation de Chasles avec l’étape commune.

\(A\ne B\). Compare les deux affirmations :

Sont-elles toutes les deux vraies ?

Correction. La première est vraie par Chasles : le chemin \(A\to B\to A\) donne \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). La seconde est fausse : \(AB=BA>0\), donc \(AB+BA=2AB>0\). Le déplacement total est nul ; la distance parcourue ne l’est pas. Une égalité vectorielle ne se transforme pas en égalité de longueurs en retirant les flèches.

Erreur de construction. « Deux flèches ont la même origine, je les ajoute en joignant leurs extrémités. » Il manque le transport bout à bout. Avec \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) non nuls et de directions différentes, la somme va de \(O\) au quatrième sommet du parallélogramme, pas de \(A\) à \(B\). Si les directions sont identiques ou si un vecteur est nul, on utilise directement la construction bout à bout : il n’y a pas de véritable parallélogramme non aplati.

Exemple plus simple. Deux déplacements de \(1\) cm vers la droite donnent \(2\) cm vers la droite, pas la flèche nulle entre deux extrémités initialement confondues.

Nouvel essai. Deux déplacements identiques de \(2\) cm vers la gauche : quelle somme ? Correction. Les reporter bout à bout donne \(2+2=4\) cm vers la gauche. Reviens à la construction initiale : garde le départ commun pour le vecteur somme ; lorsque les deux directions sont différentes, ce vecteur sera la diagonale du parallélogramme.

Erreur de calcul. « \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}\) parce que les \(A\) disparaissent. » Remets les termes dans l’ordre : \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\).

Exemple plus simple corrigé pour le raccord. Dans \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}\), l’arrivée du premier déplacement et le départ du second sont tous deux \(Y\). Le chemin va donc de \(X\) à \(Z\) en passant par \(Y\), d’où \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}\). Ce sont les noms du raccord, non la proximité des flèches sur le dessin, qui permettent la réduction.

Nouvel essai. Réduis \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GE}\). Correction. Par commutativité puis Chasles, \(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}\). Reviens au premier calcul : départ \(C\), arrivée \(B\), donc \(\overrightarrow{CB}\).

Sans relire, construis la somme de deux flèches de même origine et de directions différentes ; explique pourquoi la diagonale choisie est la bonne. Puis réduis \(\overrightarrow{UV}+\overrightarrow{WX}+\overrightarrow{VW}+\overrightarrow{XU}\).

Indice. Pour la construction, transporte le second déplacement. Pour le calcul, cherche un chemin fermé.

Correction. La diagonale correcte part de l’origine commune et rejoint le quatrième sommet ; elle représente deux déplacements successifs par la propriété des côtés opposés. Dans le calcul, on ordonne

Pour vérifier ta réponse. La construction conserve direction/sens/longueur ; le calcul nomme commutativité et Chasles, et aucun terme n’est perdu.

On additionne deux vecteurs en plaçant leurs représentants bout à bout. Pour tous points \(A,B,C\), la relation de Chasles donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

On peut changer l’ordre des termes et leur regroupement : l’addition est commutative et associative. Le vecteur nul ne change pas une somme. Deux vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont mêmes direction, sens et norme ; à origine fixée, leur extrémité est unique.

Tu vas de \(A\) à \(B\), avec \(A\ne B\). Quel déplacement dois-tu faire ensuite pour revenir en \(A\) ?

Correction. Il faut aller de \(B\) vers \(A\), donc suivre \(\overrightarrow{BA}\). Par Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). Si tu pensais à une « longueur négative », reprends : la longueur du retour est encore \(AB>0\) ; c’est le sens qui change.

L’opposé d’un vecteur non nul \(\vec{u}\), noté \(-\vec{u}\), a la même direction, la même norme et le sens contraire. On définit aussi \(-\vec{0}=\vec{0}\).

En particulier,

Les lettres sont inversées, mais la longueur du segment ne change pas. Le signe « moins » porte ici sur un vecteur, pas sur une distance.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\),

Démonstration. Représentons \(\vec{u}\) par \(\overrightarrow{AB}\). Son opposé est \(\overrightarrow{BA}\). Chasles donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). Retourner une deuxième fois la flèche \(B\to A\) donne \(A\to B\), donc l’opposé de l’opposé est \(\vec{u}\). Si \(A=B\), les deux affirmations portent sur le vecteur nul et restent vraies.

Si \(\vec{u}+\vec{w}=\vec{0}\), alors \(\vec{w}=-\vec{u}\). Ce lemme permettra de reconnaître l’opposé d’une somme sans se fier à un dessin.

Démonstration. En ajoutant \(-\vec{u}\) aux deux membres, puis en regroupant, on obtient

On a utilisé l’associativité, la commutativité pour l’aller-retour et la neutralité du vecteur nul.

Soustraire \(\vec{v}\) signifie ajouter son opposé :

Cette écriture est valable pour tous les vecteurs, y compris les vecteurs nuls. Elle ne désigne pas une soustraction des normes.

Indice. On demande un représentant de \(\vec{u}-\vec{v}\).

Premier geste. Écrire \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\), puis retourner un représentant de \(\vec{v}\) s’il est non nul. L’opposé du vecteur nul reste nul.

1. Partir du point imposé ou d’un point \(O\) librement choisi.

2. Construire \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\). Si \(\vec{u}=\vec{0}\), cela signifie \(A=O\).

3. À partir de \(A\), construire \(\overrightarrow{AB}=-\vec{v}\) : pour \(\vec{v}\ne\vec{0}\), même direction et longueur que \(\vec{v}\), sens contraire ; pour \(\vec{v}=\vec{0}\), prendre \(B=A\).

4. Tracer \(\overrightarrow{OB}\), qui représente \(\vec{u}-\vec{v}\).

Contrôle. Ajouter ensuite \(\vec{v}\) à la flèche obtenue doit redonner \(\vec{u}\) : le déplacement ajouté en sens inverse est alors annulé.

Pour tous points \(O,A,B\),

Démonstration. On remplace la soustraction par l’addition de l’opposé, puis on change l’ordre pour obtenir un chemin : Le vecteur différence va donc de l’extrémité du vecteur soustrait vers l’extrémité du premier vecteur. Cela explique le sens \(B\to A\).

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Si \(\vec{u}=\vec{v}\), leur différence est un aller-retour, donc elle est nulle. Réciproquement, si \(\vec{u}+(-\vec{v})=\vec{0}\), ajoutons \(\vec{v}\) aux deux membres : On n’a divisé par rien : cette équivalence s’applique aussi aux vecteurs nuls.

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Démonstration. Additionnons les deux sommes, puis regroupons les déplacements et leurs retours : Le lemme d’unicité du vecteur qui annule prouve alors l’égalité annoncée.

Ainsi, \(\vec{w}-(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}-\vec{u}-\vec{v}\). Le moins concerne les deux termes de la parenthèse.

Réduisons \(\overrightarrow{ST}-\overrightarrow{RT}+\overrightarrow{RQ}\).

Contrôle. Le trajet obtenu est \(S\to T\to R\to Q\), donc il va bien de \(S\) à \(Q\). On n’a pas changé \(\overrightarrow{RQ}\) : seul le terme précédé d’un moins a été retourné.

Essai guidé. Complète \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\ldots}=\overrightarrow{\ldots}\).

Correction. L’opposé de \(\overrightarrow{CB}\) est \(\overrightarrow{BC}\). On obtient \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Les cases sont donc \(BC\), puis \(AC\).

À tenter avant de consulter. Réduis \(\overrightarrow{KL}-\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MN}\).

Indice. La différence des deux vecteurs de même origine \(K\) va de \(M\) à \(L\). Tous les termes ne formeront pas forcément un chemin dans l’ordre écrit.

Correction. On a \(\overrightarrow{KL}-\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{ML}\), d’où \(\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MN}\). Ces deux flèches ont la même origine \(M\) ; Chasles ne les réduit pas directement à une flèche portant seulement les lettres \(K,L,M,N\). Sans autre relation entre les points, la bonne simplification est \(\boxed{\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MN}}\). On peut toujours construire cette somme bout à bout. Si les deux vecteurs sont non nuls et de directions différentes, on peut aussi utiliser la diagonale d’un parallélogramme non aplati. Il n’est pas obligatoire qu’une expression se réduise à un seul vecteur déjà nommé.

On donne deux vecteurs de même origine \(\vec{u}=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{OB}\). Construis \(\vec{u}-\vec{v}\), puis \(\vec{v}-\vec{u}\). Compare les deux résultats.

Indice. Pour chaque différence, pars de l’extrémité du vecteur soustrait.

Correction. \(\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{BA}\) tandis que \(\vec{v}-\vec{u}=\overrightarrow{AB}\). Les deux résultats sont opposés. Si \(A=B\), ils sont tous les deux nuls. Sinon, ils ont même direction, même norme et sens contraires : la soustraction n’est donc pas commutative.

Justification personnelle. Pourquoi la construction n’a-t-elle pas besoin de connaître \(OA\) et \(OB\) en centimètres ?

Réponse possible. L’égalité \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\) résulte des règles vectorielles et de Chasles ; elle porte sur les points eux-mêmes, pas sur des mesures approchées.

Pour vérifier ta réponse. Identifie les origines et extrémités, justifie le sens par une égalité, et traite le cas où la différence est nulle.

Une élève écrit \(\vec{u}-(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\). Localise l’erreur et corrige. Puis applique la règle à \(\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\).

Correction. Le signe moins doit remplacer chaque terme de la parenthèse par son opposé :

Dans l’application, Chasles donne \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\). L’expression est donc \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}\). Par la règle développée, elle vaut aussi Les deux voies donnent le même résultat ; la seconde vérifie les sens de chaque opposé.

Première erreur. « \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). » La soustraction n’a pas été transformée correctement : il faut ajouter \(\overrightarrow{CA}\).

Rappel et exemple plus simple. Si tu avances de \(3\) cm vers la droite et soustrais un déplacement de \(1\) cm vers la droite, tu ajoutes un déplacement de \(1\) cm vers la gauche. Il reste \(3-1=2\) cm vers la droite, pas \(4\) cm.

Nouvel essai. Écris sans signe de soustraction \(\overrightarrow{UV}-\overrightarrow{WV}\), puis réduis.

Correction. \(\overrightarrow{UV}-\overrightarrow{WV}=\overrightarrow{UV}+\overrightarrow{VW}=\overrightarrow{UW}\). On a retourné \(WV\) en \(VW\).

Retour. Dans l’expression initiale, \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\). La pointe part donc de \(C\) vers \(B\).

Construis deux représentants de même origine \(\vec{a},\vec{b}\). Trace \(\vec{a}-\vec{b}\) et vérifie graphiquement que lui ajouter \(\vec{b}\) redonne \(\vec{a}\). Puis réduis \(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{EG}\).

Indice. Retourne d’abord les vecteurs soustraits.

Correction. Si \(\vec{a}=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec{b}=\overrightarrow{OB}\), la différence est \(\overrightarrow{BA}\). On a \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\). Dans le calcul,

Pour vérifier ta réponse. Chaque moins entraîne une inversion de flèche ; les regroupements sont explicités ; le chemin final est fermé.

Un vecteur non nul est déterminé par une direction, un sens et une norme, qui est une longueur strictement positive. À partir d’une origine fixée, ces données déterminent une seule extrémité. Le vecteur nul a une norme nulle et ne reçoit ni direction ni sens.

La somme se construit en reportant les déplacements bout à bout. Elle est commutative et associative. La relation de Chasles s’écrit \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\). L’opposé \(-\vec{u}\) a, pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\), la même direction et la même norme que \(\vec{u}\), mais le sens contraire. On a \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\).

Pour les preuves géométriques de cette unité, nous utiliserons le théorème de Thalès et sa réciproque sous cette forme de collège : dans un triangle non aplati \(OAB\), si \(A'\) et \(B'\) sont sur les demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), distincts de \(O\), et si

alors \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=k\,AB\). Les dénominateurs \(OA\) et \(OB\) sont non nuls puisque le triangle n’est pas aplati. Cette forme inclut une réduction et un agrandissement. C’est une dépendance géométrique antérieure identifiée, non une conséquence des lois vectorielles que nous allons démontrer.

Nous utilisons aussi cette caractérisation géométrique de collège : un quadrilatère non aplati dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Ses côtés opposés, parcourus dans le même sens, représentent des vecteurs égaux. Ce critère servira seulement à justifier le retournement d’un segment par une symétrie centrale.

Une flèche représente un déplacement de \(4\) cm vers la droite. Décris un déplacement deux fois plus long dans le même sens, puis deux fois plus long en sens contraire. Peut-on dire que le second déplacement a une longueur de \(-8\) cm ?

Correction. Le premier est de \(8\) cm vers la droite ; le second de \(8\) cm vers la gauche. Leur longueur est positive dans les deux cas. Le signe « moins » servira à indiquer le changement de sens, jamais une longueur négative. Si cette distinction t’a posé problème, garde les deux rubriques sens et norme séparées dans chacun des premiers essais.

Soit \(k\) un nombre réel et \(\vec{u}\) un vecteur. Le produit \(k\vec{u}\) est défini de la manière suivante.

• Si \(k=0\) ou si \(\vec{u}=\vec{0}\), alors \(k\vec{u}=\vec{0}\).

• Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k>0\), alors \(k\vec{u}\) a la même direction et le même sens que \(\vec{u}\), et sa norme est \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert\).

• Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k<0\), alors \(k\vec{u}\) a la même direction mais le sens contraire, et sa norme est \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\). Le nombre \(-k\) est alors positif.

Le nombre \(k\) est un coefficient ou un scalaire. Le résultat est un vecteur, pas une longueur. Lorsque le résultat est non nul, la construction d’une demi-droite dans le sens indiqué puis le report de la longueur indiquée assurent son existence et son unicité à origine fixée. Pour un résultat nul, l’extrémité coïncide avec l’origine.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\),

Démonstration. Pour un vecteur non nul, multiplier par \(1\) conserve direction, sens et norme ; on retrouve donc le même vecteur. Multiplier par \(-1\) conserve direction et norme, et retourne le sens : c’est précisément l’opposé. Les égalités contenant un facteur zéro ou un vecteur nul viennent de la définition. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux premières donnent elles aussi le vecteur nul.

Le vecteur \(2\vec{u}\) est aussi \(\vec{u}+\vec{u}\) : si \(\vec{u}\ne\vec{0}\), deux déplacements successifs identiques parcourent deux fois la même longueur dans le même sens ; si \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux écritures sont nulles. De même, \(\tfrac12\vec{u}\) garde le sens et divise la longueur par deux lorsque \(\vec{u}\ne\vec{0}\).

Imagine une commande qui règle d’abord de combien on agrandit ou réduit un déplacement, puis une commande qui choisit en avant ou en arrière. La taille du coefficient règle la longueur ; son signe choisit le sens. Un coefficient \(-\tfrac32\) signifie : « une fois et demie la longueur, en sens contraire ».

Ce que l’image apporte. Elle évite de mettre un signe négatif devant une longueur. Sa limite. On transforme un déplacement, pas automatiquement la position d’un objet par rapport à un lieu privilégié. Pour placer une extrémité, il faut encore choisir une origine. Reviens donc aux trois informations formelles : direction, sens, norme.

Indice. Une relation demande \(\overrightarrow{PM}=k\vec{u}\).

1. Commence par les cas nuls : si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), prends \(M=P\).

2. Sinon, trace par \(P\) la droite de direction \(\vec{u}\).

3. Choisis le sens : celui de \(\vec{u}\) si \(k>0\), l’autre si \(k<0\).

4. Calcule une longueur positive : \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) si \(k>0\), \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) si \(k<0\).

5. Reporte cette longueur depuis \(P\) sur la demi-droite choisie ; son extrémité est \(M\).

Pourquoi ces gestes ? Ils imposent exactement les trois caractéristiques de la définition. Contrôle. Vérifie séparément direction, sens, longueur, puis vérifie que la flèche commence bien en \(P\). Piège. Avec \(k<0\), ne retourne ni le nom des points ni la longueur en plus du sens : une seule inversion de sens est demandée.

\(AB=6\) cm. On veut construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{PM}=-\tfrac23\overrightarrow{AB}\), le point \(P\) étant donné.

Le coefficient \(-\tfrac23\) est négatif : la flèche \(P\to M\) doit aller dans le sens contraire de \(A\to B\), sur une droite parallèle à \((AB)\). Sa longueur vaut

On trace donc par \(P\) la parallèle à \((AB)\), on choisit le sens \(B\to A\), puis on reporte \(4\) cm. La longueur est plus petite que \(6\) cm puisque le facteur de longueur \(\tfrac23\) est compris entre \(0\) et \(1\). Le signe négatif n’empêche donc pas une réduction.

Un sens. Si le coefficient est nul ou si le vecteur est nul, le produit est nul par définition.

Réciproque. Supposons le produit nul. Si \(k\ne0\) et \(\vec{u}\ne\vec{0}\), la définition lui donnerait une norme strictement positive : \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert>0\) pour \(k>0\), ou \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert>0\) pour \(k<0\). Ce serait impossible pour un vecteur nul. Au moins l’un des deux facteurs doit donc être nul.

Ainsi, de \(5\vec{u}=\vec{0}\), on déduit \(\vec{u}=\vec{0}\) car \(5\ne0\). De \(0\vec{u}=\vec{0}\), on ne déduit rien sur \(\vec{u}\) : cette égalité est vraie pour tous les vecteurs.

Pour tous réels \(a,b\) et tout vecteur \(\vec{u}\),

Démonstration. Si \(a=0\), \(b=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), chaque membre est nul. Sinon, écrivons les tailles positives des coefficients \(r>0\) et \(s>0\). Les quatre possibilités sont les suivantes ; la norme finale est dans chaque cas \(rs\left\lVert \vec{u}\right\rVert\).

La direction est inchangée. La norme, le sens et la direction correspondent exactement à la définition de \((ab)\vec{u}\). Les deux vecteurs sont donc égaux. En particulier, multiplier deux fois par un coefficient négatif ne produit pas un sens négatif « deux fois » : le second retournement annule le premier.

Pour tous réels \(a,b\),

Démonstration. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux membres sont nuls. Supposons \(\vec{u}\ne\vec{0}\), et posons \(L=\left\lVert \vec{u}\right\rVert>0\). La somme se construit sur une même droite.

• Si \(a\ge0\) et \(b\ge0\), les deux déplacements vont dans le sens de \(\vec{u}\). Leurs longueurs s’ajoutent : \(aL+bL=(a+b)L\). C’est la définition du multiple annoncé.

• Si \(a\le0\) et \(b\le0\), les déplacements vont dans le sens contraire. Leur longueur totale est \((-a)L+(-b)L=(-(a+b))L\), dans le sens contraire : c’est encore \((a+b)\vec{u}\).

• Si \(a\ge0\) et \(b\le0\), posons \(c=-b\ge0\). On avance de \(aL\), puis on revient de \(cL\). Si \(a>c\), il reste \((a-c)L\) dans le sens de \(\vec{u}\). Si \(a<c\), il reste \((c-a)L\) dans le sens contraire. Si \(a=c\), on revient au départ. Puisque \(a+b=a-c\), ces trois cas donnent tous \((a+b)\vec{u}\).

• Le cas \(a\le0\), \(b\ge0\) se ramène au précédent en échangeant l’ordre des deux déplacements, ce que permet la commutativité de la somme.

Les cas où un coefficient est nul sont inclus : le déplacement correspondant ne change pas de point.

On fixe un point \(O\), deux points \(A,B\) et un réel \(k\). On construit \(A'\) et \(B'\) par

Alors \(\boxed{\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}}\).

Rôle du lemme. Il permettra d’agrandir les deux étapes d’un chemin sans supposer à l’avance la règle de distributivité que nous voulons prouver.

Cas \(k>0\), triangle \(OAB\) non aplati. Par définition du multiple, \(A'\in[OA)\), \(B'\in[OB)\) et \(OA'/OA=OB'/OB=k\). Thalès et sa réciproque donnent \((A'B')\parallel(AB)\) et \(A'B'=kAB\). Il reste à vérifier le sens. Les points \(B\) et \(B'\) sont du même côté de la droite \((OA)\), puisque \(B'\) appartient à la demi-droite \([OB)\). Les parcours \(A\to B\) et \(A'\to B'\) partent chacun de \((OA)\) vers ce même côté. Sur leurs droites parallèles, ils ont donc le même sens. Les trois caractéristiques donnent bien \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\).

Cas \(k>0\), points alignés. Si \(A=B\), leurs images sont égales par unicité, et les deux vecteurs à comparer sont nuls. Si \(A=O\) ou \(B=O\), la conclusion est la définition du multiple ou celle de son opposé. Dans les autres cas, on compare les longueurs sur la droite : si \(A\) et \(B\) sont du même côté de \(O\), la longueur \(AB\) est la différence entre la plus grande et la plus petite des longueurs \(OA,OB\). Multiplier les deux par \(k>0\) conserve leur ordre et multiplie cette différence par \(k\). Si \(A\) et \(B\) sont de part et d’autre de \(O\), \(AB=OA+OB\), et \(A'B'=kOA+kOB=k(OA+OB)=kAB\). Dans les deux configurations, l’ordre des points sur chaque demi-droite est conservé ; le parcours de l’image de \(A\) vers celle de \(B\) garde donc le sens du parcours \(A\to B\).

Cas \(k<0\). Posons \(r=-k>0\). Construisons d’abord \(A_1,B_1\) avec le facteur positif \(r\), puis prenons leurs symétriques \(A',B'\) par rapport à \(O\). Ce sont précisément les points imposés par le facteur \(k\) : même distance à \(O\), demi-droite opposée.

La symétrie centrale retourne le sens d’un segment tout en conservant sa longueur. Voici pourquoi ce fait n’utilise pas la distributivité : si \(O,A_1,B_1\) ne sont pas alignés, le quadrilatère \(A_1B_1A'B'\) a ses diagonales \([A_1A']\) et \([B_1B']\) de même milieu \(O\) ; c’est donc un parallélogramme. Ses côtés opposés donnent \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{B'A'}\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{A_1B_1}\). Si les points sont alignés, leurs distances à \(O\) restent les mêmes, mais chacun passe sur la demi-droite opposée. Lorsque les deux points sont du même côté de \(O\), leur distance est la différence entre la plus grande et la plus petite des distances à \(O\) ; après réflexion, c’est la même différence. Lorsqu’ils sont de part et d’autre, leur distance est la somme des distances à \(O\) ; cette somme reste aussi inchangée. L’ordre des deux points est inversé, donc le sens du segment est retourné. Si l’un est \(O\), il reste fixe et l’autre change de demi-droite à même distance ; la conclusion subsiste. Les points confondus donnent des vecteurs nuls.

Le cas positif déjà prouvé donnait à \(\overrightarrow{A_1B_1}\) la direction et le sens de \(\overrightarrow{AB}\), avec la longueur \(rAB\). Le retournement donne la même longueur, en sens contraire : c’est exactement \(k\overrightarrow{AB}\).

Cas \(k=0\). On a \(A'=B'=O\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=\vec{0}=0\overrightarrow{AB}\). Tous les cas annoncés sont couverts.

Pour tout réel \(k\) et tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Démonstration. À partir d’un point \(O\), construisons \(A\) puis \(B\) avec \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{AB}=\vec{v}\). Par définition de la somme, \(\overrightarrow{OB}=\vec{u}+\vec{v}\).

Construisons \(A',B'\) par \(\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB'}=k\overrightarrow{OB}\). Le lemme précédent, dont les cas dégénérés ont été traités, donne \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\). Chasles fournit alors

On obtient la formule annoncée sans avoir supposé les deux directions différentes ni les vecteurs non nuls.

Démonstration. Une différence est une somme avec l’opposé. La propriété des produits successifs donne \(k(-\vec{v})=k((-1)\vec{v})=(-k)\vec{v}=(-1)(k\vec{v})=-(k\vec{v})\). Le théorème précédent appliqué à \(\vec{u}+(-\vec{v})\) donne donc Le résultat dépend de la distributivité démontrée et de la loi des deux multiplications successives, pas d’une règle nouvelle à mémoriser isolément.

Essai guidé. \(\left\lVert \vec{u}\right\rVert=8\) cm. Décris et construis depuis un point \(P\) les représentants de \(\tfrac34\vec{u}\) et de \(-\tfrac14\vec{u}\). Commence chaque fois par le signe.

Correction. Le coefficient \(\tfrac34\) est positif : même direction, même sens. La norme vaut \(\tfrac34\times8=(3\times8)/4=24/4=6\) cm. Le coefficient \(-\tfrac14\) est négatif : même direction, sens contraire. La norme vaut \(\tfrac14\times8=8/4=2\) cm. On reporte donc \(6\) cm dans le sens de \(\vec{u}\), puis, pour l’autre représentant, \(2\) cm dans le sens contraire à partir du même point \(P\).

À tenter avant de consulter. \(\left\lVert \vec{v}\right\rVert=3\) cm. Un point \(Q\) vérifie \(\overrightarrow{PQ}=-\tfrac52\vec{v}\). Décris complètement la construction. La longueur obtenue est-elle plus grande ou plus petite que celle de \(\vec{v}\) ?

Indice. La fraction qui multiplie la longueur est \(\tfrac52\), non \(-\tfrac52\).

Correction. Trace par \(P\) une droite de direction \(\vec{v}\), choisis le sens contraire et reporte \(PQ=\tfrac52\times3=(5\times3)/2=15/2=7{,}5\) cm. La longueur est plus grande puisque \(\tfrac52>1\). Le signe négatif ne décide pas d’un agrandissement ou d’une réduction : il décide du sens.

Pour vérifier ta réponse. Les trois caractéristiques, l’origine \(P\), le calcul positif de la longueur et la comparaison au vecteur initial doivent être explicites.

Justification personnelle. Explique pourquoi \(-3(-2\vec{u})=6\vec{u}\) pour tout vecteur \(\vec{u}\), sans écrire seulement « moins par moins fait plus ».

Réponse possible. Pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\), le premier facteur \(-2\) double la longueur et retourne le sens. Le facteur \(-3\) triple cette nouvelle longueur et retourne encore le sens. La longueur finale est \(3\times2\left\lVert \vec{u}\right\rVert=6\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) ; deux retournements restituent le sens initial, et la direction reste la même. Pour \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux membres sont nuls.

Pour vérifier ta réponse. Nomme longueur, sens, direction et cas nul. Une règle de signes seule n’explique pas ce qui arrive au vecteur.

Variation. Peut-on déduire \(k=0\) de \(k\vec{u}=\vec{0}\) ?

Correction. Oui si l’on sait \(\vec{u}\ne\vec{0}\), par la caractérisation du produit nul. Sans cette condition, non : avec \(\vec{u}=\vec{0}\), on a par exemple \(7\vec{u}=\vec{0}\) bien que \(7\ne0\). La condition porte sur le vecteur donné ; elle ne se déduit pas du seul dessin d’une petite flèche.

Première erreur. « \(\left\lVert \vec{u}\right\rVert=5\) cm, donc \(\left\lVert -2\vec{u}\right\rVert=-10\) cm. » Une norme est une longueur ; elle n’est jamais négative. Le facteur \(-2\) exige le sens contraire et la longueur \(2\times5=10\) cm.

Rappel et exemple plus simple. Si une flèche va de \(1\) cm vers la droite, son opposé va de \(1\) cm vers la gauche. Les deux normes valent \(1\) cm. Le moins modifie le sens, pas le signe de la mesure.

Nouvel essai. \(AB=4\) cm. Quelle est la norme de \(-\tfrac32\overrightarrow{AB}\) ? Quel est son sens ?

Correction. Sa norme est \(\tfrac32\times4=(3\times4)/2=12/2=6\) cm. Son sens est celui de \(B\to A\). Reviens à l’erreur initiale : remplace la ligne unique erronée par deux lignes, « sens contraire » et « norme \(10\) cm ».

Sans relire, prends un vecteur \(\vec{u}\) de norme \(6\) cm et construis depuis un même point \(O\) les représentants de \(-\tfrac12\vec{u}\) et de \(\tfrac32\vec{u}\). Décris leur somme, d’abord par un parcours sur la droite, puis par une loi de calcul. Que changerait \(\vec{u}=\vec{0}\) ?

Indice. Le premier déplacement se fait en arrière ; le second avance dans le sens initial. Pour la somme, transporte le second bout à bout.

Correction. Les normes sont respectivement \(\tfrac12\times6=3\) cm et \(\tfrac32\times6=9\) cm. En partant de \(O\), on recule de \(3\) cm, puis on avance de \(9\) cm ; on finit à \(9-3=6\) cm de \(O\) dans le sens de \(\vec{u}\). La loi d’addition des multiples donne aussi

Si \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux multiples et leur somme sont nuls : toutes les extrémités coïncident avec le point de départ, et il ne faut plus parler de sens.

Pour vérifier ta réponse. Confronte la construction à la formule ; conserve les signes des coefficients, une norme positive dans le cas non nul et le traitement du vecteur nul.

Pour des réels \(a,b,k\) et des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\), on dispose des identités

Ces lois ont une justification géométrique : déplacements successifs sur une même droite pour les deux premières, agrandissement ou réduction de tout un chemin pour la troisième, puis définition de la différence pour la quatrième. Elles valent aussi lorsque les coefficients ou les vecteurs sont nuls.

On peut changer l’ordre des termes et leur regroupement dans une somme. On a \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\), \(\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}\), \(1\vec{u}=\vec{u}\) et \(0\vec{u}=\vec{0}\). Enfin, \(k\vec{u}=\vec{0}\) signifie que \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\).

Calcul. Développe \(2(\vec{u}+3\vec{v})\). Le facteur \(2\) concerne-t-il un seul terme ou les deux ?

Correction. Il multiplie les deux termes : \(2\vec{u}+2(3\vec{v})=2\vec{u}+(2\times3)\vec{v}=2\vec{u}+6\vec{v}\). Si tu as obtenu \(2\vec{u}+3\vec{v}\), commence par la méthode de développement et la reprise sur la distributivité.

Équation. Pour isoler \(\vec{w}\) dans \(-2\vec{w}=6\vec{u}\), par quel nombre peut-on multiplier les deux membres ?

Correction. Par \(-\tfrac12\), l’inverse du nombre non nul \(-2\). On obtient \((-\tfrac12)(-2)\vec{w}=(-\tfrac12)6\vec{u}\), donc \(1\vec{w}=-3\vec{u}\), soit \(\vec{w}=-3\vec{u}\). On n’a pas divisé par \(\vec{u}\) ni par \(\vec{w}\). Si tu as cherché l’inverse d’un vecteur, lis attentivement la partie sur les équations.

Développer, c’est remplacer un produit d’un réel par une somme par la somme des produits : \(3(\vec{u}+2\vec{v})=3\vec{u}+6\vec{v}\).

Réduire, c’est regrouper les multiples d’un même vecteur et calculer leurs coefficients : \(3\vec{u}+2\vec{u}=5\vec{u}\).

Factoriser, c’est lire une distributivité dans l’autre sens : \(6\vec{u}-9\vec{v}=3(2\vec{u}-3\vec{v})\).

Sans information supplémentaire sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \(3\vec{u}+2\vec{v}\) ne devient pas \(5\vec{u}\) : les deux déplacements n’ont pas été déclarés égaux. Aucune multiplication de deux vecteurs ni division par un vecteur n’est définie dans ce cours.

Indice. Un nombre multiplie une parenthèse contenant plusieurs vecteurs. Premier geste. Repère le coefficient situé devant chaque parenthèse avec son signe. Un simple moins devant une parenthèse signifie un facteur \(-1\).

1. Écris tous les produits distribués, avant de les calculer.

2. Calcule chaque produit de coefficients, en conservant le vecteur qu’il multiplie.

3. Regroupe les termes portant le même vecteur.

4. Additionne leurs coefficients, puis supprime \(1\vec{u}\) au profit de \(\vec{u}\) ou \(0\vec{u}\) au profit de \(\vec{0}\), s’il y a lieu.

Contrôle. Le nombre de produits distribués doit correspondre au nombre de termes des parenthèses. Un contrôle numérique ou un dessin peut détecter une erreur ; seule l’application des identités justifie l’expression générale.

Réduisons \(E=3(2\vec{u}-\vec{v})-2(\vec{u}+4\vec{v})\). On lit le coefficient de la seconde parenthèse comme \(-2\).

Pourquoi ne pas additionner \(4\) et \(-11\) ? Ils multiplient deux vecteurs désignés séparément, qui n’ont pas été déclarés égaux. Sans relation supplémentaire entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on garde les deux termes.

Contrôle particulier, non preuve. Si \(\vec{v}=\vec{0}\), l’expression de départ vaut \(3(2\vec{u})-2\vec{u}=6\vec{u}-2\vec{u}=4\vec{u}\). L’expression réduite donne aussi \(4\vec{u}\). Ce contrôle vérifie un cas ; la preuve générale est le calcul détaillé ci-dessus.

Réduisons \(F=\tfrac12\vec{u}+\tfrac23\vec{u}-\vec{v}\). Les deux premières fractions multiplient le même vecteur ; on peut donc additionner leurs coefficients. Pour cela, il faut un même dénominateur :

Le multiplicateur a été appliqué en haut et en bas : chaque fraction conserve sa valeur. Ainsi, On n’additionne pas les dénominateurs. Le coefficient \(\tfrac76\) est cohérent avec \(\tfrac12+\tfrac23>1\) : la somme dépasse un déplacement entier \(\vec{u}\), avant la soustraction de \(\vec{v}\).

Indice. Plusieurs termes possèdent un facteur numérique commun ou sont des multiples du même vecteur.

Premier geste. Réécris chaque coefficient avec le facteur choisi. Par exemple,

On a utilisé la distributivité dans le sens inverse. Le facteur \(3\) reste à l’extérieur ; les facteurs \(2\) et \(-3\) restent à l’intérieur.

Autre situation : \(7\vec{u}-4\vec{u}=(7-4)\vec{u}=3\vec{u}\). Ici, c’est le vecteur commun \(\vec{u}\) qui permet de réunir les coefficients ; ce n’est pas une division par \(\vec{u}\).

Contrôle. Redévelopper doit redonner chaque terme d’origine : \(3(2\vec{u}-3\vec{v})=(3\times2)\vec{u}-(3\times3)\vec{v}=6\vec{u}-9\vec{v}\). Cette forme peut rendre plus simple une construction ou une équation. Factoriser n’est pas systématiquement nécessaire : choisis la forme adaptée à l’objectif.

On peut ajouter le même vecteur aux deux membres d’une égalité. On peut aussi multiplier les deux membres par un même réel \(c\ne0\). Ces opérations sont réversibles : elles ne perdent ni n’ajoutent de solution.

Démonstration pour une addition. Si \(\vec{a}=\vec{b}\), alors \(\vec{a}+\vec{t}=\vec{b}+\vec{t}\). Réciproquement, on peut ajouter \(-\vec{t}\) aux deux membres de cette dernière égalité. Les sommes \(\vec{t}+(-\vec{t})\) s’annulent, ce qui redonne \(\vec{a}=\vec{b}\).

Démonstration pour une multiplication non nulle. Si \(\vec{a}=\vec{b}\), alors \(c\vec{a}=c\vec{b}\). Réciproquement, comme \(c\ne0\), son inverse \(\tfrac1c\) existe. En multipliant les deux membres de \(c\vec{a}=c\vec{b}\) par ce nombre, on obtient

Donc \(\vec{a}=\vec{b}\). La condition porte sur \(c\), pas sur les vecteurs. Si \(c=0\), l’égalité devient \(\vec{0}=\vec{0}\), quelle que soit l’égalité initiale : cette opération ne permet pas de revenir en arrière.

Indice. Une équation est une somme de multiples de \(\vec{w}\) et de vecteurs connus.

1. Développe si nécessaire et regroupe les termes en \(\vec{w}\).

2. Ajoute ou soustrais les mêmes vecteurs aux deux membres pour obtenir \(a\vec{w}=\vec{b}\), où \(a\) est un réel et \(\vec{b}\) un vecteur connu.

3. Si \(a\ne0\), multiplie les deux membres par \(\tfrac1a\), puis simplifie réellement \((\tfrac1a)a=1\). La solution est \(\vec{w}=\tfrac1a\vec{b}\).

4. Si \(a=0\), ne cherche pas son inverse : l’équation est \(\vec{0}=\vec{b}\). Elle est vraie pour tous les vecteurs \(\vec{w}\) si \(\vec{b}=\vec{0}\), et n’a aucune solution sinon.

Contrôle. Remplace la solution obtenue dans l’équation de départ, pas seulement dans la dernière ligne. Piège. « Passer de l’autre côté » n’est pas une opération autonome : ce raccourci signifie ajouter l’opposé aux deux membres. Au début, écris cette opération.

Résolvons \(-3\vec{w}+2\vec{u}=5\vec{u}\), sans supposer \(\vec{u}\) non nul.

On soustrait \(2\vec{u}\) aux deux membres :

Le coefficient du vecteur inconnu est \(-3\ne0\). Son inverse est \(-\tfrac13\). On multiplie les deux membres par cet inverse : Contrôle dans le départ. En remplaçant \(\vec{w}\) par \(-\vec{u}\), Les opérations étaient réversibles et le contrôle confirme la solution unique. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), la solution est simplement \(\vec{w}=\vec{0}\) ; rien dans le raisonnement ne l’interdit.

Résolvons \(\tfrac25\vec{w}=-3\vec{u}\). Le coefficient \(\tfrac25\) est non nul ; son inverse est \(\tfrac52\), puisque \(\tfrac52\times\tfrac25=\tfrac{10}{10}=1\).

Donc \(\boxed{\vec{w}=-\tfrac{15}{2}\vec{u}}\). En contrôle, On a inversé le nombre \(\tfrac25\), après avoir vérifié sa non-nullité. Le vecteur inconnu n’a pas été supposé inversible.

Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\), alors

Démonstration. Si \(a=b\), les multiples sont égaux. Réciproquement, soustraire \(b\vec{u}\) aux deux membres donne \(a\vec{u}-b\vec{u}=\vec{0}\), donc \((a-b)\vec{u}=\vec{0}\). La caractérisation du produit nul impose \(a-b=0\), puisque \(\vec{u}\ne\vec{0}\). En ajoutant \(b\) aux deux membres de \(a-b=0\), on trouve \(a=b\).

Limite. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), l’égalité \(a\vec{u}=b\vec{u}\) est vraie pour tous nombres \(a,b\), même différents. On ne « simplifie pas par \(\vec{u}\) » sans examiner cette condition ; la preuve correcte utilise le produit nul, pas une division par vecteur.

Essai guidé. Réduis \(2(3\vec{u}-\vec{v})-(\vec{u}+2\vec{v})\). Écris le moins de la seconde parenthèse comme un facteur \(-1\).

Correction.

À tenter avant de consulter. Réduis \(G=-3(2\vec{a}-\vec{b})+2(\vec{a}-4\vec{b})\). Puis factorise \(8\vec{a}-12\vec{b}\) par \(4\), et vérifie en redéveloppant.

Indice. Il y a quatre produits dans le premier calcul. Le produit \((-3)\times(-1)\) est positif.

Correction.

Pour la factorisation, \(8=4\times2\) et \(-12=4\times(-3)\), donc \(8\vec{a}-12\vec{b}=4(2\vec{a}-3\vec{b})\). Le contrôle donne \(4(2\vec{a}-3\vec{b})=(4\times2)\vec{a}-(4\times3)\vec{b}=8\vec{a}-12\vec{b}\).

Pour vérifier ta réponse. Chaque produit est visible avant réduction ; le signe du coefficient est conservé ; la factorisation restitue les deux termes initiaux.

Justification personnelle. Pourquoi l’écriture \(3(\vec{u}+\vec{v})=3\vec{u}+\vec{v}\) est-elle fausse en général ? Donne une explication et un contre-exemple précis.

Réponse possible. Le facteur \(3\) multiplie le déplacement total, donc chaque étape du chemin : la distributivité donne \(3\vec{u}+3\vec{v}\). Si \(\vec{u}=\vec{0}\) et \(\vec{v}\ne\vec{0}\), l’écriture proposée affirmerait \(3\vec{v}=\vec{v}\). En soustrayant \(\vec{v}\), on aurait \(2\vec{v}=\vec{0}\), impossible puisque \(2\ne0\) et \(\vec{v}\ne\vec{0}\).

Pour vérifier ta réponse. Nomme la distributivité et fournis des conditions qui rendent le contre-exemple réellement contradictoire.

Variation avec des fractions. Réduis \(\tfrac34\vec{u}-\tfrac16\vec{u}\) en montrant les changements de dénominateur.

Correction.

Donc On n’a changé ni la règle vectorielle ni le vecteur ; seule l’arithmétique des coefficients demande une nouvelle précaution.

Essai guidé. Résous \(4\vec{w}-\vec{u}=7\vec{u}\). Quelle opération fait disparaître \(-\vec{u}\) du membre de gauche ?

Correction. On ajoute \(\vec{u}\) aux deux membres :

donc \(4\vec{w}=8\vec{u}\). Comme \(4\ne0\), on multiplie les deux membres par \(\tfrac14\) : Le contrôle donne \(4(2\vec{u})-\vec{u}=(4\times2)\vec{u}-\vec{u}=(8-1)\vec{u}=7\vec{u}\).

À tenter avant de consulter. Résous \(-2\vec{w}+3\vec{u}=\vec{u}\), puis vérifie. Faut-il supposer \(\vec{u}\ne\vec{0}\) ?

Indice. Soustrais \(3\vec{u}\) aux deux membres. Le nombre à inverser sera \(-2\).

Correction.

Comme \(-2\ne0\), on multiplie par \(-\tfrac12\) : \(\tfrac{(-1)(-2)}2\vec{w}=\tfrac{(-1)(-2)}2\vec{u}\), donc \(1\vec{w}=1\vec{u}\), soit \(\vec{w}=\vec{u}\). Le contrôle donne \(-2\vec{u}+3\vec{u}=(-2+3)\vec{u}=\vec{u}\). On ne suppose pas \(\vec{u}\ne\vec{0}\) : le coefficient inversé est un nombre non nul indépendamment du vecteur donné.

Justification personnelle. Dans \(5\vec{w}=\vec{a}\), pourquoi \(\vec{w}=\tfrac15\vec{a}\) est-il valable même si \(\vec{a}=\vec{0}\) ?

Réponse possible. On multiplie les deux membres par \(\tfrac15\), qui existe parce que \(5\ne0\). Le coefficient de \(\vec{w}\) devient \(\tfrac15\times5=1\). Aucune inversion de \(\vec{a}\) n’est effectuée. Si \(\vec{a}=\vec{0}\), le résultat est \(\vec{w}=\vec{0}\), et l’équation initiale est vérifiée.

Pour vérifier ta réponse. Identifie le nombre inversé, sa non-nullité, la même opération aux deux membres et le cas du vecteur nul.

Variation. On fixe un vecteur \(\vec{a}\ne\vec{0}\). Combien de vecteurs \(\vec{w}\) vérifient respectivement \(0\vec{w}=\vec{0}\) et \(0\vec{w}=\vec{a}\) ?

Correction. Tous les vecteurs vérifient la première égalité puisque \(0\vec{w}=\vec{0}\). Aucun ne vérifie la seconde, puisque son membre de gauche est toujours nul et son membre de droite ne l’est pas. La disparition du coefficient de l’inconnue change donc complètement le problème ; on ne peut pas « diviser par zéro » pour isoler \(\vec{w}\).

Erreur de développement. « \(3(\vec{u}-2\vec{v})=3\vec{u}-2\vec{v}\). » Le second produit manque. Le rappel est \(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\).

Exemple plus simple corrigé. \(2(\vec{u}+\vec{v})=2\vec{u}+2\vec{v}\) : les deux termes reçoivent le facteur \(2\).

Nouvel essai. Développe \(-2(\vec{u}+4\vec{v})\). Correction. \((-2)\vec{u}+(-2)(4\vec{v})=-2\vec{u}+((-2)\times4)\vec{v}=-2\vec{u}-8\vec{v}\). Retour. L’expression initiale vaut \(3\vec{u}+3(-2\vec{v})=3\vec{u}+(3\times(-2))\vec{v}=3\vec{u}-6\vec{v}\).

Erreur d’équation. « Dans \(3\vec{w}=6\vec{u}\), je divise par le vecteur \(\vec{u}\). » Aucune division par vecteur n’est définie. Le coefficient de l’inconnue est le nombre \(3\).

Exemple plus simple corrigé. Pour \(2\vec{w}=\vec{a}\), multiplier les deux membres par \(\tfrac12\) donne \(\tfrac22\vec{w}=\tfrac12\vec{a}\), donc \(\vec{w}=\tfrac12\vec{a}\).

Nouvel essai. Résous \(-4\vec{w}=12\vec{v}\). Correction. \(-4\ne0\). On multiplie les deux membres par \(-\tfrac14\) :

Retour. Dans \(3\vec{w}=6\vec{u}\), multiplier les deux membres par \(\tfrac13\) donne \(\tfrac33\vec{w}=\tfrac63\vec{u}\), donc \(\vec{w}=2\vec{u}\), même si \(\vec{u}\) est nul.

Sans relire les exemples, réduis \(E=2(3\vec{u}-\vec{v})-3(\vec{u}+\vec{v})\), puis résous \(-2\vec{w}+E=\vec{u}-\vec{v}\). Vérifie la solution dans cette équation avec la valeur calculée de \(E\).

Indice. Développe les quatre produits pour \(E\), puis soustrais \(E\) aux deux membres. Le coefficient du vecteur inconnu est non nul.

Correction du calcul.

Correction de l’équation. Soustraire \(E\) aux deux membres donne Dans le membre de droite, on distribue \(-1\) : On multiplie les deux membres par \(-\tfrac12\), inverse de \(-2\ne0\) : Le contrôle donne

Pour vérifier ta réponse. Le développement, le moins devant la parenthèse, l’inverse du coefficient et le contrôle doivent chacun être justifiés. Si une étape échoue, reprends la partie correspondante des reprises ciblées, puis refais l’ensemble sans lire la correction.

À partir d’une origine donnée, un vecteur fixe une unique extrémité. Si ce vecteur est nul, l’extrémité est l’origine. Pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k\ne0\), le vecteur \(k\vec{u}\) garde sa direction ; il garde son sens si \(k>0\), le retourne si \(k<0\), et a pour norme \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) ou \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) selon le signe. Le facteur zéro donne le vecteur nul, auquel on n’attribue ni direction ni sens.

La relation de Chasles permet de faire apparaître un point intermédiaire :

On peut regrouper les multiples du même vecteur et distribuer un facteur réel sur une somme. Dans une équation, on effectue la même addition aux deux membres ; on peut multiplier les deux membres par l’inverse d’un coefficient réel non nul.

Le milieu \(I\) de \([AB]\) est le point de ce segment tel que \(AI=IB\). Si \(A\ne B\), il est strictement entre les deux extrémités et \(AI=IB=AB/2\). Si \(A=B\), le milieu est le point \(A\) lui-même.

Placement. \(A\ne B\). Un point \(M\) vérifie \(\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}\). Est-il sur la demi-droite \([AB)\) ?

Correction. Non. Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) a le sens contraire de \(\overrightarrow{AB}\), avec la même longueur. \(M\) est sur la demi-droite opposée, et \(A\) est le milieu de \([MB]\). Si tu as placé \(M=B\), reprends d’abord le rôle du signe du coefficient.

Milieu. Si \(AI=IB\), peut-on conclure que \(I\) est le milieu de \([AB]\) ?

Correction. Pas avec cette seule information. Par exemple, le sommet d’un triangle isocèle peut être à égale distance de \(A\) et de \(B\) sans appartenir à \([AB]\). Il faut aussi une information de position. Une égalité vectorielle correctement orientée pourra fournir cette information.

Supposons \(A\ne B\). La position de \(M\) se lit directement dans le coefficient \(t\).

Démonstration. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est non nul. Un coefficient positif impose la demi-droite \([AB)\) ; la comparaison de \(tAB\) et de \(AB>0\) distingue les positions avant \(B\), en \(B\) ou après \(B\). Un coefficient négatif impose le sens opposé et la longueur positive \((-t)AB\). Pour \(t=0\), la relation est \(\overrightarrow{AM}=\vec{0}\), donc \(M=A\).

Cas à part. Si \(A=B\), alors \(t\overrightarrow{AB}=\vec{0}\), quel que soit \(t\). La relation impose toujours \(M=A\). On ne peut plus utiliser le tableau pour distinguer des positions, puisque le déplacement de référence est nul.

Indice. La relation est de la forme \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\).

Premier geste. Repère \(A\), origine imposée, puis vérifie si \(A=B\) ou si \(t=0\). Dans ces cas, \(M=A\).

Sinon, choisis la demi-droite à partir du signe de \(t\), calcule la longueur positive demandée, puis reporte-la depuis \(A\). Si le coefficient est fractionnaire, un partage du segment en parts égales peut permettre une construction exacte ; une mesure à la règle reste un tracé approché.

Pourquoi le point est-il unique ? Sur une demi-droite donnée, à une distance positive donnée de son origine, il n’y a qu’un point. Le cas du vecteur nul est également unique.

Contrôle. Vérifie la relation depuis \(A\), et non depuis \(B\). Contrôle aussi la position : par exemple, un coefficient compris entre \(0\) et \(1\) ne peut pas placer le point au-delà de \(B\).

\(AB=4\) cm et \(\overrightarrow{AM}=-\tfrac32\overrightarrow{AB}\). Déterminons \(M\), puis le déplacement de \(B\) vers \(M\).

Le coefficient est négatif. On construit \(M\) sur la demi-droite issue de \(A\) opposée à \([AB)\), avec

Le point \(A\) est entre \(M\) et \(B\). Pour passer de l’origine \(A\) à l’origine \(B\), on ne conserve pas le même coefficient sans calcul : On a écrit \(1=\tfrac{1\times2}{1\times2}=\tfrac22\) pour mettre les coefficients au même dénominateur. Le vecteur \(\overrightarrow{BM}\) a donc le sens \(B\to A\) et une norme \(\tfrac52\times4=10\) cm. Cela concorde avec le contrôle géométrique \(BM=BA+AM=4+6=10\) cm, valable ici parce que \(A\) est entre \(B\) et \(M\).

Indice. Le point inconnu apparaît dans plusieurs vecteurs, par exemple \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{BM}\).

Premier geste. Choisis l’une des origines, par exemple \(A\), puis décompose l’autre vecteur par Chasles : \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\).

Remplace réellement ce vecteur dans l’équation, retourne \(\overrightarrow{BA}\) en \(-\overrightarrow{AB}\) si cela aide, puis regroupe les multiples de \(\overrightarrow{AM}\). On obtient une relation que l’on peut résoudre comme une équation vectorielle. Quand \(\overrightarrow{AM}\) est isolé, construis son extrémité \(M\).

Contrôle. La solution doit vérifier la relation initiale avec ses deux origines. Une relation bien résolue mais mal interprétée depuis \(B\) au lieu de \(A\) ne donne pas le bon point.

On donne \(A\ne B\). Cherchons le point \(M\) vérifiant

On choisit de tout exprimer à partir de \(A\). Par Chasles, \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\). On substitue cette expression, puis on regroupe : On ajoute \(\overrightarrow{AB}\) aux deux membres : Puisque \(3\ne0\), on multiplie les deux membres par \(\tfrac13\) : Le point \(M\) est donc sur \([AB]\), aux deux tiers du déplacement de \(A\) vers \(B\). Pour le construire, on partage \([AB]\) en trois parts égales et on prend la deuxième séparation en partant de \(A\).

Contrôle dans la relation initiale. On a

Alors Les opérations étaient réversibles, et le représentant d’origine \(A\) est unique : il existe exactement un tel point \(M\). Si l’on autorise \(A=B\), le même calcul donne \(\overrightarrow{AM}=\vec{0}\), donc \(M=A\) ; on ne parle alors plus de trois parts non nulles.

Pour construire les deux tiers de \([AB]\) sans dépendre d’une mesure décimale, supposons \(A\ne B\).

1. Trace depuis \(A\) une demi-droite différente de \([AB)\), dont la droite support n’est pas \((AB)\).

2. Avec une ouverture de compas positive \(d\), reporte successivement trois longueurs égales sur cette demi-droite : \(AP_1=P_1P_2=P_2P_3=d\).

3. Trace \((P_3B)\). Par \(P_1\) et \(P_2\), trace les parallèles à \((P_3B)\) ; elles coupent \([AB]\) en \(I_1\) et \(I_2\).

Pourquoi cela fonctionne ? Le rappel de Thalès utilisé ici est le suivant : dans un triangle \(AP_3B\), une parallèle à \((P_3B)\) coupant \([AP_3]\) en \(P\) et \([AB]\) en \(I\) donne \(AI/AB=AP/AP_3\). C’est un résultat géométrique de collège identifié, et le triangle est non aplati grâce au choix de la demi-droite.

Pour \(P=P_1\), on a \(AP_1=d\), \(AP_3=3d\), d’où

Pour \(P=P_2\), on a \(AP_2=2d\), d’où On a simplifié par le nombre \(d\ne0\), pas par une longueur éventuellement nulle. Les points sont dans le sens de \(A\) vers \(B\), donc \(\overrightarrow{AI_2}=\tfrac23\overrightarrow{AB}\) : \(I_2\) est le point recherché dans l’exemple.

Contrôle. Les trois parties \(AI_1,I_1I_2,I_2B\) ont même longueur \(AB/3\). Le choix de l’ouverture \(d\) ne change pas ces proportions. Si \(A=B\), on n’utilise pas la construction : le point demandé est déjà \(A\).

Pour tous points \(A,B,I\),

Du milieu à la relation. Si \(A\ne B\), le point \(I\) est sur \([AB]\), avec \(AI=AB/2\). Les déplacements \(A\to I\) et \(A\to B\) ont donc même direction et même sens, et la première norme est la moitié de la seconde. C’est exactement la définition du multiple \(\tfrac12\overrightarrow{AB}\).

De la relation au milieu. Si \(A\ne B\), le coefficient \(\tfrac12\), positif et inférieur à \(1\), impose \(I\in[AB]\) et \(AI=AB/2\). Comme \(I\) est entre les extrémités,

Le point \(I\) est donc bien le milieu.

Cas confondu. Si \(A=B\), le milieu est \(A\) et les deux membres de la relation vectorielle sont nuls. Réciproquement, la relation donne alors \(\overrightarrow{AI}=\vec{0}\), donc \(I=A\). L’équivalence reste vraie.

Pour tous points \(A,B,I\), les trois affirmations suivantes sont équivalentes :

Milieu et demi-parcours. Si \(I\) est le milieu et \(A\ne B\), les flèches \(A\to I\) puis \(I\to B\) vont dans le même sens avec la même longueur. Elles sont donc égales. Si \(A=B\), elles sont toutes deux nulles.

Réciproquement, si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), Chasles donne

En multipliant les deux membres par \(\tfrac12\), inverse de \(2\ne0\), on obtient \(\tfrac12\overrightarrow{AB}=\tfrac22\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\). La caractérisation précédente prouve que \(I\) est le milieu, y compris si les points sont confondus.

Demi-parcours et somme nulle. Si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), alors

Réciproquement, si \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\), ajoutons \(\overrightarrow{AI}\) aux deux membres : La précédente équivalence termine la preuve. Avec des flèches partant du milieu, on obtient donc des vecteurs opposés, non deux vecteurs égaux lorsque les extrémités sont distinctes.

On fixe un point \(O\), sans condition d’alignement avec \(A\) et \(B\). Pour tous points \(A,B,I\),

Démonstration. Chasles donne deux décompositions passant par \(I\) : \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\). Par substitution puis regroupement, Si \(I\) est le milieu, la somme entre parenthèses est nulle par la caractérisation précédente, et l’égalité annoncée suit.

Réciproquement, si \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\), la décomposition démontrée donne \(2\overrightarrow{OI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{OI}\). En soustrayant \(2\overrightarrow{OI}\) aux deux membres et en regroupant, on obtient

La caractérisation précédente conclut que \(I\) est le milieu. Ni la position de \(O\), ni le non-alignement des points, ni la non-nullité d’un vecteur n’ont été supposés.

Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si

En effet, le théorème précédent donne \(2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\). Multiplier les deux membres par \(\tfrac12\) donne \(\tfrac22\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\), donc la formule. Réciproquement, multiplier la formule par \(2\) redonne le théorème, puisque \(2\times\tfrac12=1\).

Il s’agit d’une somme de vecteurs ayant la même origine. On n’écrit pas ici \(I=(A+B)/2\) : une addition de points n’a pas été définie.

Indice. Le mot « milieu » apparaît dans les données ou dans l’objectif.

• Pour construire depuis l’extrémité \(A\), utilise \(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\).

• Pour reconnaître deux déplacements bout à bout, cherche \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

• Pour annuler deux vecteurs partant de \(I\), utilise \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\).

• Pour calculer depuis un autre point \(O\), utilise \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\).

Premier geste. Choisis l’écriture dont les origines sont déjà présentes dans le problème ; ne les change pas au hasard.

Pourquoi ? Toutes ces relations sont des caractérisations démontrées : elles permettent aussi bien de partir d’un milieu connu que de prouver qu’un point est un milieu.

Contrôle. Lis les flèches. Deux flèches de même origine \(I\), dirigées vers les extrémités distinctes d’un segment dont \(I\) est le milieu, doivent être opposées. Une seule égalité de normes ne suffit pas à reconnaître le milieu.

On connaît deux représentants \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) de même origine. Construisons le point \(I\) tel que \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\), puis interprétons-le.

1. Construis \(S\) tel que \(\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OB}\). Si \(O=B\), le déplacement à reporter est nul et \(S=A\).

2. Par Chasles, \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

3. Prends le milieu \(I\) de \([OS]\). Si \(O=S\), prends \(I=O\). Sinon, partage le segment en deux longueurs égales.

La caractérisation par le demi-déplacement donne

Le corollaire précédent prouve donc que \(I\) est aussi le milieu de \([AB]\).

Utilité. Cette construction fait comprendre une demi-somme de déplacements. Si l’objectif est seulement de construire le milieu d’un segment déjà tracé, on peut bien sûr construire directement son milieu : le détour par \(O\) n’est pas obligatoire.

Contrôle. Dans le cas de deux vecteurs non nuls de directions différentes, \(OASB\) est un parallélogramme, et \([OS]\) et \([AB]\) sont ses diagonales : le résultat concorde avec leur milieu commun. La preuve vectorielle reste valable quand cette figure est aplatie ou que des points sont confondus.

\(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([AC]\). Déterminons le vecteur \(\overrightarrow{IJ}\) à l’aide de \(\overrightarrow{BC}\).

Choix. Le point \(A\) est commun aux deux segments dont on connaît les milieux. Chasles avec l’étape \(A\) fait apparaître exactement les deux demi-déplacements utiles :

La quatrième ligne factorise le coefficient \(\tfrac12\) ; la dernière applique Chasles au chemin \(B\to A\to C\). Ce calcul est valable même si certains points sont confondus. Si \(B=C\), les deux milieux sont égaux et les deux membres sont nuls, ce qui fournit un contrôle de ce cas particulier.

Essai guidé. \(AB=8\) cm et \(\overrightarrow{AM}=\tfrac14\overrightarrow{AB}\). Où est \(M\) ? Quelles sont \(AM\) et \(MB\) ?

Correction. Le coefficient est positif et inférieur à \(1\), donc \(M\) est entre \(A\) et \(B\). On a \(AM=\tfrac14\times8=8/4=2\) cm. Puis \(MB=AB-AM=8-2=6\) cm. La soustraction de longueurs est justifiée par la position de \(M\) sur le segment.

À tenter avant de consulter. \(A\ne B\). On demande \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM}=-2\overrightarrow{AB}\). Exprime \(\overrightarrow{AM}\), construis \(M\) et vérifie la relation d’origine.

Indice. Commence par \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\).

Correction.

On place donc \(M\) de l’autre côté de \(A\) par rapport à \(B\), à la distance \(AM=AB\). La vérification repart de \(B\) : Le point \(A\) est le milieu de \([MB]\), non le point \(B\).

Pour vérifier ta réponse. L’origine est identifiée avant le tracé ; Chasles est écrit avec les bons points ; la construction est contrôlée dans la relation initiale.

Justification personnelle. Pourquoi la relation \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\), avec \(A,B,t\) donnés, détermine-t-elle un seul point \(M\) ?

Réponse possible. Le membre de droite est un vecteur fixé. Avec l’origine \(A\), son représentant a une unique extrémité. S’il est non nul, sa direction, son sens et sa norme imposent cette extrémité ; s’il est nul, l’extrémité est \(A\).

Pour vérifier ta réponse. Distingue le vecteur fixé et le point cherché, puis traite le cas nul sans lui attribuer de direction.

Variation. Que se passe-t-il pour \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AB}\) si \(A=B\) ?

Correction. \(\overrightarrow{AB}=\vec{0}\), donc \(-2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\). La relation impose \(\overrightarrow{AM}=\vec{0}\), soit \(M=A\). On n’a pas de demi-droite opposée à tracer. Plusieurs coefficients produiraient le même point dans ce cas, mais le point lui-même reste unique.

Essai guidé. On sait \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\). Utilise Chasles pour obtenir une relation entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AI}\), puis prouve que \(I\) est le milieu.

Correction.

En multipliant les deux membres par \(\tfrac12\), on trouve \(\tfrac12\overrightarrow{AB}=\tfrac22\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\). La caractérisation par le demi-déplacement donne \(I\) milieu de \([AB]\). Elle inclut le cas des points confondus.

À tenter avant de consulter. On donne quatre points \(O,P,Q,R\) vérifiant \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OR}\). Prouve que \(R\) est le milieu de \([PQ]\) en faisant apparaître deux vecteurs d’origine \(R\).

Indice. Décompose \(\overrightarrow{OP}\) et \(\overrightarrow{OQ}\) avec l’étape \(R\).

Correction. Par Chasles, \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}\) et \(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RQ}\). On remplace ces deux expressions dans la donnée :

On soustrait \(2\overrightarrow{OR}\) aux deux membres. Après annulation des termes opposés, il reste \(\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}=\vec{0}\). La caractérisation par deux vecteurs d’origine \(R\) prouve que \(R\) est le milieu de \([PQ]\).

Pour vérifier ta réponse. Les deux substitutions sont visibles, l’annulation est justifiée par une même opération aux deux membres, et la conclusion nomme la caractérisation utilisée.

Justification personnelle. Pourquoi l’égalité \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\) peut-elle caractériser un milieu même si \(O\) n’est pas aligné avec \(A\) et \(B\) ?

Réponse possible. Chasles ne demande pas que ses points soient alignés. Les décompositions par \(I\) donnent toujours \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\). L’égalité proposée équivaut donc à \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\), qui caractérise le milieu indépendamment du choix de \(O\).

Pour vérifier ta réponse. Ne justifie pas seulement par un dessin ; fais apparaître le rôle de Chasles et la somme nulle des deux vecteurs d’origine \(I\).

Variation. On connaît seulement \(\left\lVert \overrightarrow{AI}\right\rVert=\tfrac12 AB\). Cela suffit-il ?

Correction. Non. Si \(AB=4\) cm, on peut choisir un point \(I\) hors de \((AB)\) avec \(AI=2\) cm, par exemple sur le cercle de centre \(A\) et de rayon \(2\) cm. La norme demandée est correcte, mais \(I\) n’est pas sur \([AB]\). La relation vectorielle \(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\) impose aussi la direction et le sens ; la seule égalité des normes les a perdus.

Première erreur. « \(\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AB}\), donc je pars de \(A\) et reporte deux fois \(\overrightarrow{AB}\). » La relation donnée part de \(B\), pas de \(A\). Le rappel est \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\).

Exemple plus simple corrigé. Si \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}\), on effectue un déplacement \(A\to B\), puis encore le même depuis \(B\). On obtient \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).

Nouvel essai. Si \(\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}\), où est \(M\) ? Correction. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}\), donc \(M=A\). Le déplacement demandé depuis \(B\) est le retour \(\overrightarrow{BA}\).

Retour. Dans l’erreur initiale, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}=(1+2)\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}\). Le point est à trois déplacements de \(A\), mais à deux déplacements de \(B\). L’ordre des lettres règle la différence.

Première erreur. Pour \(A\ne B\), « \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\). » Ces deux flèches partent de \(I\) vers des côtés opposés : elles ne vont pas dans le même sens. Il faut écrire \(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}\), ou \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).

Exemple plus simple corrigé. Sur un segment de \(2\) cm, le milieu est à \(1\) cm de chaque extrémité. Les deux flèches partant du milieu ont même norme \(1\) cm mais des sens contraires ; leur somme est nulle.

Nouvel essai. Un point \(I\) vérifie \(\overrightarrow{IK}=-\overrightarrow{IL}\). Prouve que \(I\) est le milieu de \([KL]\).

Correction. On ajoute \(\overrightarrow{IL}\) aux deux membres :

La caractérisation par une somme nulle donne \(I\) milieu de \([KL]\), même si \(K=L=I\).

Retour. Dans la phrase initiale, choisis soit les deux parcours successifs \(A\to I\to B\), qui sont égaux, soit les deux départs depuis \(I\), qui sont opposés. Pour \(A=B=I\), tous ces vecteurs sont nuls ; ce cas ne justifie pas une égalité de vecteurs non nuls de sens contraires.

On donne un triangle \(ABC\) non aplati. Le point \(M\) est défini par \(\overrightarrow{AM}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}\), et \(I\) est le milieu de \([BC]\).

1. Construis \(M\) et exprime \(\overrightarrow{BM}\) à l’aide de \(\overrightarrow{AB}\).

2. Exprime \(\overrightarrow{AI}\) à l’aide de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\), puis déduis une expression de \(2\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}\).

Indices. Pour la première question, passe par \(A\). Pour la seconde, utilise la caractérisation du milieu avec l’origine \(A\), qui n’est pas sur \((BC)\).

Correction du placement. \(M\) est sur la demi-droite issue de \(A\) opposée à \([AB)\), avec \(AM=AB/2\). Puis

On a remplacé \(-1\) par \(\tfrac{(-1)\times2}{1\times2}=-\tfrac22\).

Correction du milieu. Puisque \(I\) est le milieu de \([BC]\), le théorème avec l’origine \(A\) donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\). Multiplions les deux membres par \(\tfrac12\), inverse de \(2\ne0\) :

En lisant l’égalité dans l’autre sens, on trouve En soustrayant \(\overrightarrow{AB}\) aux deux membres de \(2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\),

Pour vérifier ta réponse. Le point construit et les sens sont cohérents ; le changement d’origine est écrit ; la caractérisation de milieu est utilisée avec les bons points ; chaque opération aux deux membres est explicitée.

Sans mesurer une figure, comment prouver : (a) que deux points \(M\) et \(N\) sont confondus ; (b) que \(I\) est le milieu de \([AB]\) ? Propose une égalité vectorielle pour chaque question. N’effectue aucun calcul avant d’avoir écrit la cible.

Correction expliquée. (a) Choisir un même point de départ \(O\) et établir \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\) convient : un déplacement donné à partir de \(O\) a une unique arrivée. (b) Établir \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) convient : si \(A\ne B\), les deux demi-chemins ont même direction, même sens et même longueur ; si \(A=B\), cette égalité impose \(I=A=B\) et les deux vecteurs sont nuls. On peut aussi établir \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\) ; ces deux vecteurs sont alors opposés, y compris dans le cas nul. Si tu as proposé seulement \(IA=IB\), attention : pour \(A\ne B\), un point équidistant de \(A\) et \(B\) peut être hors de la droite \((AB)\). Lis le rappel qui suit avant de poursuivre.

Un vecteur représente un déplacement ; des représentants ont, s’ils ne sont pas nuls, même direction, même sens et même longueur. \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) et \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\). Le signe moins renverse le déplacement, il ne désigne pas une longueur négative.

Chemin de Chasles : \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}\), quels que soient les points. On peut aussi introduire un détour : \(\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}\). Une somme de vecteurs peut être regroupée et réordonnée ; deux opposés se compensent.

Multiples : \(k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\) et \((a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}\). Pour \(k<0\) et \(\vec{u}\ne\vec{0}\), le sens est inversé et la longueur multipliée par \(-k>0\). La multiplication par \(0\) donne \(\vec{0}\).

Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), ou encore \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\). Avec une origine quelconque \(O\), cela équivaut à \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\). En effet, Chasles donne \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\) ; leur somme vaut \(2\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\). Les deux derniers termes s’annulent exactement dans le cas du milieu. Si \(A=B\), le milieu est ce point lui-même et les égalités restent vraies.

Parallélogramme : pour quatre sommets distincts et non alignés pris dans l’ordre \(A,B,C,D\), \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). L’ordre \(DC\), et non \(CD\), est essentiel. On dispose alors aussi de \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Les diagonales ont le même milieu. Ces résultats de géométrie et de calcul vectoriel, établis dans les unités de base, sont rappelés ici avec les conditions nécessaires ; on ne les déduit pas de l’apparence du dessin.

Pour des points \(O,M,N\), l’égalité \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\) équivaut à \(M=N\).

Démonstration complète. Si \(M=N\), les deux écritures désignent le même déplacement. Réciproquement, si le vecteur commun est nul, son arrivée est son origine : \(M=O=N\). S’il n’est pas nul, la direction, le sens et la longueur prescrivent une unique arrivée à partir de \(O\) ; les deux arrivées sont donc le même point. Ce lemme permet de conclure sur des points à partir d’un calcul vectoriel.

1. Lire les données exactes. Remplacer « on dirait un milieu » par la donnée écrite « \(I\) est le milieu de \([AB]\) », si elle existe.

2. Traduire la cible. Points confondus : deux vecteurs de même origine égaux. Milieu : deux demi-chemins égaux, ou deux vecteurs de même origine opposés. Parallélogramme : deux côtés correctement orientés égaux, avec sommets non dégénérés.

3. Choisir les détours utiles. Introduire les points qui apparaissent dans les données. Pour exploiter \(\overrightarrow{CD}\), écrire par exemple \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\).

4. Remplacer, puis simplifier. Une ligne pour Chasles, une pour la substitution, une pour les opposés ou les coefficients. Éviter de changer simultanément les lettres et les signes.

5. Revenir à la question. L’égalité finale n’est pas à elle seule une conclusion rédigée : citer la caractérisation et vérifier ses conditions. Contrôler ensuite le sens et une position simple.

Cette méthode convient quand les données portent sur des déplacements, des milieux ou des parallélogrammes. Elle ne remplace pas une donnée manquante : une longueur seule ne fixe pas un vecteur.

Soit un triangle \(ABC\), et \(I\) le milieu de \([BC]\). On construit \(P\) et \(Q\) par

Ces relations définissent des points uniques : il suffit de construire les sommes de déplacements à partir de \(A\). Montrons que \(I\) est aussi le milieu de \([PQ]\).

Premier choix : utiliser une origine commune. La cible est \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AI}\), caractérisation du milieu avec l’origine \(A\). Le milieu donné de \([BC]\) fournit justement \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\).

La caractérisation donne donc : \(I\) est le milieu de \([PQ]\).

Deuxième voie : partir du milieu lui-même. Pour obtenir deux vecteurs opposés, on veut \(\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IQ}=\vec{0}\). On introduit \(A\) dans les chemins, car les données portent sur \(\overrightarrow{AP}\) et \(\overrightarrow{AQ}\) :

On retrouve la même conclusion. La première voie évite un détour ; la seconde explicite l’opposition autour de \(I\). Le premier calcul de la somme \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}\) est commun aux deux voies : on ne prétend pas que ce sont deux contrôles entièrement indépendants.

Dans l’exemple, \(P\) et \(Q\) doivent se trouver de part et d’autre de \(I\) et à la même distance de \(I\). Si ton dessin ne correspond pas, vérifie d’abord que tu as bien soustrait \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\), donc ajouté leurs opposés.

Un contrôle numérique de longueurs ou un dessin peut détecter une erreur, mais ne remplace pas la preuve générale. Un contrôle algébrique utile est de calculer le déplacement total :

La dernière égalité vient de \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\). Le segment \([PQ]\) a donc trois fois la longueur de \([BC]\), et le sens \(P\) vers \(Q\) est celui de \(B\) vers \(C\). C’est un contrôle de taille et de sens, pas une preuve autonome de la position du milieu.

Dans un parallélogramme \(ABCD\), \(J\) est le milieu de \([AB]\) et \(K\) celui de \([DC]\). Montrer \(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AD}\). Puis dire ce que cela apporte à la figure.

Guidage. 1. Écris \(\overrightarrow{JA}\) et \(\overrightarrow{DK}\) en fonction de côtés entiers. 2. Choisis le chemin \(J\to A\to D\to K\). 3. Utilise \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\). Essaie avant la correction.

Correction. Le milieu donne \(\overrightarrow{AJ}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{JA}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}\) ; il donne aussi \(\overrightarrow{DK}=\tfrac12\overrightarrow{DC}\). Ainsi

On connaît maintenant la direction, le sens et la longueur du déplacement de \(J\) vers \(K\). Le quadrilatère \(AJKD\) est un parallélogramme : on peut utiliser \(\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{DK}\), et ses sommets sont distincts et non alignés puisque \(ABCD\) est un véritable parallélogramme. Ne conclure ni « \(JK=AD\) suffit » ni « \(AJKD\) est un rectangle » : une longueur égale seule ne fournit pas la direction et aucun angle droit n’a été donné.

Dans un triangle \(ABC\), on construit \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}\). Que peut-on dire de \(M\) et \(N\) ? Rédige sans supposer d’abord la réponse à la lecture d’un dessin.

Indice à consulter après recherche. Compare deux vecteurs de même origine, en prenant \(A\) pour départ.

Correction détaillée. Par Chasles puis par la première donnée,

De même, avec la seconde donnée, L’addition est commutative : les deux sommes sont égales. Donc \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN}\). Le lemme « même origine, même arrivée » permet de conclure \(M=N\). Il ne faut pas seulement écrire « les vecteurs sont égaux, donc les points aussi » : l’origine commune \(A\) est la condition qui rend la conclusion légitime.

Pour vérifier ta réponse. Les deux chemins sont écrits, les deux données sont remplacées, la commutativité est identifiée et l’origine commune est mentionnée dans la conclusion.

Explique pourquoi, dans la seconde voie de l’exemple, le détour \(I\to A\to P\) est utile pour étudier \(\overrightarrow{IP}\). Pourquoi le détour \(I\to Q\to P\) n’est-il pas forcément un bon premier choix ?

Réponse possible. Le détour par \(A\) fait apparaître \(\overrightarrow{AP}\), dont on connaît une expression, \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\). Le détour par \(Q\) est exact lui aussi, mais fait apparaître \(\overrightarrow{QP}\), qui n’a pas encore été calculé. Une égalité vraie n’est pas forcément une étape utile. On choisit d’abord un détour qui rend une donnée utilisable.

Pour vérifier ta réponse. Ta réponse distingue la validité de Chasles de l’utilité du point intermédiaire ; elle nomme la donnée effectivement exploitée.

Dans la tentative précédente, supposons qu’on sache seulement \(BM=AC\) et \(CN=AB\). Peut-on encore conclure \(M=N\) ?

Réponse : non. Prenons \(ABC\) équilatéral, de côté \(s>0\). Choisissons \(M=A\) et \(N=B\). Alors \(BM=BA=s=AC\) et \(CN=CB=s=AB\), mais \(M\ne N\) car \(A\ne B\). Les deux égalités de longueurs sont bien vérifiées, et la conclusion échoue. Ce contre-exemple montre exactement ce qui a été perdu : les directions et les sens imposés par les égalités de vecteurs.

Première erreur. Dans l’exemple, on remplace \(\overrightarrow{PA}\) par \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\), alors que c’est la donnée pour \(\overrightarrow{AP}\). On a changé le sens de la flèche sans changer le signe de l’expression.

Rappel. \(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP}\). Il faut donc écrire

Le signe moins change les signes des deux termes. Pour renverser une égalité simple \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\), on renverse les deux flèches : \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\).

Exemple plus simple corrigé. Si \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}\), alors

Chaque signe moins correspond ici à un renversement explicite des extrémités.

Nouvel essai. On sait \(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZT}\). Simplifie \(\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{ZT}\) avant de lire.

Correction. \(\overrightarrow{YX}=-\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{ZT}\) ; donc \(\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{ZT}=-\overrightarrow{ZT}+\overrightarrow{ZT}=\vec{0}\).

Retour. Réécris les deux premières lignes du contrôle de \(\overrightarrow{PQ}\). Vérifie chaque remplacement contre les données, avant toute simplification. La substitution de \(\overrightarrow{PA}\) doit porter le signe moins devant toute la parenthèse ; la ligne suivante doit contenir \(-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

Dans un parallélogramme \(ABCD\), \(I\) est le milieu de \([AD]\) et \(J\) celui de \([BC]\). Établir \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}\), puis expliquer pourquoi \(AIJB\) est un parallélogramme. Essaie à une prochaine séance, sans le modèle sous les yeux.

Aide locale. \(\overrightarrow{IA}=-\tfrac12\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BJ}=\tfrac12\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Relie \(I\) à \(J\) en passant par \(A\) puis \(B\).

Correction.

Le côté orienté \(IJ\) égale le côté orienté \(AB\). Dans l’ordre \(A,I,J,B\), ce sont deux côtés opposés de même déplacement. Les quatre points sont distincts et non alignés ; donc \(AIJB\) est un parallélogramme. Une autre justification utilise directement \(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AD}=\tfrac12\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BJ}\).

Pour vérifier ta réponse. Tu dois retrouver le signe négatif de \(\overrightarrow{IA}\), utiliser le côté orienté \(BC\) dans le bon sens et citer une caractérisation complète. Si le calcul seul bloque, refais le nouvel essai de réparation avant de reprendre cette tâche.

1. Pour effectuer deux déplacements successifs, le second commence-t-il au départ du premier ou à son arrivée ?

2. Un marcheur revient exactement à son point de départ après avoir parcouru \(12\) m. Son déplacement est-il un vecteur de norme \(12\) m ?

Correction et orientation. 1. Le second commence à l’arrivée du premier : c’est le sens de « successifs ». Deux flèches déjà dessinées ailleurs doivent être transportées pour les mettre bout à bout. 2. Non : le vecteur reliant le départ à l’arrivée est nul puisque les points coïncident. La distance parcourue est pourtant \(12\) m. Si tu as confondu ces deux grandeurs, commence par le rappel suivant, puis par l’exemple du marcheur dans cette unité.

Un vecteur non nul fixe une direction, un sens et une longueur ; son représentant d’origine \(P\) a une unique extrémité \(Q\). On le construit en traçant la parallèle correspondante par \(P\), en choisissant le bon sens et en reportant la longueur au compas. Un vecteur nul laisse \(P\) inchangé.

\(-\vec{v}\) a la même direction et la même longueur que \(\vec{v}\), mais le sens contraire si \(\vec{v}\ne\vec{0}\). Le multiple \(2\vec{u}\) double la longueur et garde le sens ; \(-2\vec{v}\) double la longueur et renverse le sens. Pour le vecteur nul, tous ces multiples sont nuls.

Chasles exprime la composition de deux étapes : \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}\). Les lois d’addition autorisent regroupement et changement d’ordre. Elles concernent le déplacement global, pas l’identité des trajets. La norme d’un vecteur est la distance en ligne droite entre ses extrémités ; ce n’est pas automatiquement la somme des longueurs des étapes.

Une procédure de construction est une suite finie d’instructions précises qui part de données annoncées et produit les objets demandés. Pour qu’une autre personne puisse l’exécuter, elle doit indiquer le point de départ de chaque étape, l’objet à construire et l’ordre des opérations.

Le mot état désigne ici les objets déjà construits à un moment donné. Une instruction peut créer un nouveau point sans modifier les points déjà nommés. Une procédure correctement rédigée doit aussi dire que faire si un vecteur donné est nul.

Quand ? On demande un point \(M\) à partir d’une relation telle que \(\overrightarrow{OM}=\vec{u}-2\vec{v}\).

Premier geste. Fixer les données : \(O\) et les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\). Les vecteurs donnés restent les mêmes pendant toute la construction.

1. Réécrire l’expression en une somme de déplacements exécutables : \(\vec{u}+(-\vec{v})+(-\vec{v})\).

2. Nommer les points intermédiaires. Chaque nouvelle flèche part de l’extrémité de la précédente.

3. Pour chaque flèche, préciser direction, sens et longueur ; si elle est nulle, garder le point précédent.

4. Vérifier la sortie avec Chasles, en utilisant les noms réellement construits.

Une variante consiste à construire d’abord \(-2\vec{v}\), puis à l’ajouter à \(\vec{u}\). Le choix dépend du matériel et de la lisibilité ; les deux voies doivent produire le même déplacement global.

Entrées : un point \(O\), deux vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) donnés par des représentants. Sortie : le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=\vec{u}-2\vec{v}\).

À une étape nulle, l’arrivée est le départ de cette étape. On n’a pas à inventer une direction.

Preuve de la sortie. La procédure comporte trois étapes : elle se termine. Chacune définit un point unique, car un représentant d’origine fixée a une extrémité unique. Puis

La relation demandée est donc satisfaite, y compris si l’un des vecteurs est nul. L’algorithme est ici une procédure à la règle et au compas ; il ne nécessite ni coordonnées ni programme informatique.

Supposons \(\vec{u}=2\vec{v}\). La première étape avance de deux copies de \(\vec{v}\) ; la deuxième recule d’une copie ; la troisième recule encore d’une copie. L’arrivée est \(O\).

Dans le calcul, \(\overrightarrow{OM}=2\vec{v}-2\vec{v}=(2-2)\vec{v}=0\vec{v}=\vec{0}\), donc \(M=O\). Ce cas est un bon test d’une erreur de signe ou de départ. Il ne prouve pas la procédure pour tous les vecteurs : c’est la preuve par Chasles du bloc précédent qui est générale.

Essai guidé. Construis \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=2\vec{u}+\vec{v}\) en trois étapes. Complète les points de départ : \(O\to P\) avec \(\vec{u}\), puis \(\ldots\to Q\) avec \(\vec{u}\), puis \(\ldots\to M\) avec \(\vec{v}\).

Correction. La deuxième flèche part de \(P\) et la troisième de \(Q\). Les égalités sont \(\overrightarrow{OP}=\vec{u}\), \(\overrightarrow{PQ}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{QM}=\vec{v}\). Chasles donne

Tentative avant correction. Écris une procédure pour construire \(N\) tel que \(\overrightarrow{ON}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{u}\). Précise ce que tu fais si \(\vec{v}=\vec{0}\).

Indice. Conserve trois étapes et nomme leurs arrivées ; ne repars pas de \(O\) à chaque étape.

Correction. Construire \(R\) tel que \(\overrightarrow{OR}=\vec{u}\), puis \(S\) tel que \(\overrightarrow{RS}=-\vec{v}\), puis \(N\) tel que \(\overrightarrow{SN}=\vec{u}\). Si \(\vec{v}=\vec{0}\), prendre \(S=R\) ; la dernière étape part donc de ce même point. On vérifie

La réécriture finale peut servir de seconde construction : doubler d’abord \(\vec{u}\), puis ajouter \(-\vec{v}\).

Pour vérifier ta réponse. Les données restent fixes, chaque départ est l’arrivée précédente, le cas nul est traité et le calcul de contrôle reprend les points construits.

Une personne exécute \(\vec{u}\) puis \(\vec{v}\) ; une autre, depuis le même départ \(O\), exécute \(\vec{v}\) puis \(\vec{u}\). Explique pourquoi l’arrivée est la même et pourquoi cela ne signifie pas que les chemins soient identiques.

Réponse possible. Les déplacements globaux sont \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(\vec{v}+\vec{u}\), égaux par commutativité. À départ fixé \(O\), un vecteur détermine une unique arrivée. Mais les points intermédiaires sont les extrémités de représentants de \(\vec{u}\) et de \(\vec{v}\) ; ils peuvent différer. Par exemple, dans un parallélogramme non aplati, les deux parcours suivent deux paires différentes de côtés.

Pour vérifier ta réponse. Citer la commutativité et l’origine commune ; distinguer l’arrivée des points intermédiaires. Une simple mesure du dessin ne justifie pas l’égalité.

On réalise la construction de \(\vec{u}-2\vec{v}\) dans un logiciel de géométrie, puis on déplace les points qui définissent les vecteurs. L’égalité semble rester vraie.

Ce que l’observation apporte. Elle peut faire découvrir une erreur : mauvais départ, mauvais sens, copie de longueur non liée à la donnée. Pour tester une construction dynamique, les nouveaux points doivent dépendre des objets donnés ; un point simplement placé « à peu près au bon endroit » n’est pas une construction.

Ce qu’elle n’apporte pas. Même beaucoup de positions testées ne couvrent pas toutes les positions possibles. Elles ne remplacent pas la preuve de la sortie, écrite avec Chasles. Le cas nul peut aussi demander un traitement particulier dans le logiciel : l’échec d’un outil sur une droite indéfinie ne rend pas faux le résultat mathématique.

À décider. « J’ai déplacé les points dix fois, donc c’est démontré. » Est-ce correct ? Correction : non ; il s’agit d’observations favorables, pas d’une démonstration générale. Une preuve donne une raison valable pour chaque cas annoncé.

Première erreur. Pour additionner trois vecteurs, on construit trois flèches depuis \(O\) et on appelle \(M\) la dernière arrivée. La dernière flèche n’est pas la somme : elle représente seulement le troisième vecteur.

Rappel. Chasles demande une arrivée puis un départ portant le même point : \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\) se simplifie ; \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\) ne décrit pas ces deux étapes bout à bout.

Exemple plus simple corrigé. Avancer d’une flèche \(\vec{u}\), puis revenir par \(-\vec{u}\) : construire \(P\) depuis \(O\), puis \(Q\) depuis \(P\). Alors \(\overrightarrow{OQ}=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}\) et \(Q=O\). Construire les deux flèches depuis \(O\) ne représente pas cet aller-retour.

Nouvel essai. Dans les étapes \(O\to P\) avec \(\vec{u}\), \(P\to Q\) avec \(\vec{v}\), quel est le déplacement de \(O\) à \(Q\) ?

Correction. \(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\vec{u}+\vec{v}\). Les deux occurrences de \(P\) sont exactement le raccord nécessaire.

Retour. Dans ta procédure à trois étapes, surligne chaque arrivée et le départ suivant. Ils doivent coïncider. Corrige les départs avant de modifier les longueurs.

Depuis \(O\), construire \(T\) tel que \(\overrightarrow{OT}=-\vec{u}+2\vec{v}\). Donner une procédure de trois étapes, la preuve de la sortie et le cas \(\vec{u}=\vec{0}\).

Aide. Remplacer \(2\vec{v}\) par \(\vec{v}+\vec{v}\), et renverser la première flèche seulement.

Correction. Construire \(P\) par \(\overrightarrow{OP}=-\vec{u}\), \(Q\) par \(\overrightarrow{PQ}=\vec{v}\), \(T\) par \(\overrightarrow{QT}=\vec{v}\). Si \(\vec{u}=\vec{0}\), prendre \(P=O\). Dans tous les cas,

Pour vérifier ta réponse. Départs successifs explicites, sens du premier déplacement correct, égalité finale justifiée. Si le raccord manque, reprendre l’aller-retour corrigé du bloc précédent.

Pour décrire le déplacement d’un objet, on peut choisir un point qui le représente. Si ce point passe d’une position \(A\) à une position \(B\), son vecteur déplacement est \(\overrightarrow{AB}\). Ce modèle ne décrit pas la taille de l’objet, sa rotation ni sa vitesse au cours du trajet.

La distance parcourue additionne les longueurs effectivement parcourues. La norme du déplacement est seulement \(AB\), la distance entre les positions initiale et finale. Les unités doivent être cohérentes, par exemple toutes en mètres.

Sur un chemin rectiligne, un marcheur part de \(A\), va jusqu’à \(B\) à \(5\) m de \(A\), puis revient de \(3\) m vers \(A\) et s’arrête en \(C\).

\(C\) est entre \(A\) et \(B\). Les longueurs vérifient \(AC+CB=AB\), donc \(AC+3=5\). En soustrayant \(3\) aux deux membres, \(AC+3-3=5-3\), d’où \(AC=2\) m. Le vecteur déplacement est \(\overrightarrow{AC}\) : il a le sens de \(A\) vers \(B\) et la norme \(2\) m.

La distance parcourue est \(AB+BC=5+3=8\) m. Elle n’est pas égale à la norme \(2\) m du déplacement.

On peut aussi décrire le retour par \(\overrightarrow{BC}=-\tfrac35\overrightarrow{AB}\) : le signe moins donne le sens du retour et la longueur vaut \(\tfrac35\times5=\tfrac{3\times5}{5}=3\) m. Ainsi

Donc \(\overrightarrow{AC}=\tfrac25\overrightarrow{AB}\). Le coefficient est positif et la longueur vaut \(\tfrac25\times5=\tfrac{2\times5}{5}=2\) m : le contrôle confirme sens et distance directe.

Repère d’abord le départ, l’arrivée et les étapes. Pour le vecteur déplacement, écris la flèche départ-arrivée et utilise Chasles pour remplacer les étapes. Pour la distance parcourue, additionne les longueurs du trajet réellement suivi. Pour la norme du déplacement, considère uniquement la distance directe entre départ et arrivée. Contrôle les unités et demande-toi s’il y a eu un retour ou un détour.

Un trajet rectiligne toujours dans le même sens donne la même valeur pour distance parcourue et norme du déplacement. Un retour les distingue. Dans un trajet fermé, le déplacement est nul, même si la distance parcourue est positive.

Essai guidé. Un point fait le tour des quatre côtés d’un carré de côté \(4\) m et revient au sommet de départ \(A\). Écris la somme des quatre déplacements et calcule la distance parcourue.

Correction. En nommant les sommets successifs \(A,B,C,D\), Chasles donne

La norme du déplacement est \(0\) m. La distance parcourue est \(4+4+4+4=8+8=16\) m. Le modèle distingue bien une longueur de trajet et un vecteur nul.

Tentative. Sur un chemin rectiligne, un mobile avance de \(7\) m, puis recule de \(10\) m. Donner sa distance parcourue, la norme et le sens de son déplacement global.

Indice. Après les premiers \(7\) m du retour, il est revenu à son départ ; il lui reste encore une partie du retour à effectuer.

Correction. La distance parcourue est \(7+10=17\) m. Le retour se décompose en \(10=7+3\) : les \(7\) premiers mètres annulent l’aller, les \(3\) suivants poursuivent le recul. Le déplacement global a donc la norme \(3\) m et le sens contraire à celui de l’aller. Une norme de \(-3\) m serait impossible ; le signe se traduit par le sens du vecteur, pas par une longueur négative.

Pour vérifier ta réponse. Trois réponses distinctes : longueur du trajet, norme du vecteur, sens du vecteur. L’argument du retour au point de départ doit apparaître.

Pourquoi deux mouvements ayant le même vecteur déplacement ne prennent-ils pas forcément le même temps et ne parcourent-ils pas forcément la même distance ?

Réponse possible. Le vecteur ne conserve que la direction, le sens et la distance directe entre les deux positions. On peut aller directement de \(A\) à \(B\), ou faire auparavant un aller-retour puis rejoindre \(B\) : le vecteur final est toujours \(\overrightarrow{AB}\), mais le deuxième trajet est plus long. Le temps n’entre pas dans la définition ; deux mobiles peuvent suivre le même trajet à des vitesses différentes.

Pour vérifier ta réponse. Donner un exemple concret de trajet différent, et expliquer séparément l’absence d’information sur le temps. On ne peut pas déduire une vitesse du seul vecteur déplacement sans durée.

Deux déplacements rectilignes mesurent chacun \(3\) m, dans des sens contraires sur une même direction. Leurs normes sont égales, mais leurs vecteurs ne le sont pas. Si on exécute les deux successivement, le déplacement global est nul alors que la distance parcourue vaut \(3+3=6\) m.

Cela fournit un contre-exemple à la fausse règle « la norme d’une somme est toujours la somme des normes ». La règle vraie de Chasles porte sur les vecteurs, et non sur toutes les sommes de longueurs.

Première erreur. Dans l’aller de \(5\) m et le retour de \(3\) m, répondre « le déplacement vaut \(8\) m » additionne le trajet sans tenir compte du sens.

Rappel et exemple plus simple. Avancer de \(1\) m puis reculer de \(1\) m ramène au départ. Le vecteur déplacement est nul ; le trajet mesure \(1+1=2\) m. La norme se mesure entre les positions initiale et finale, pas le long de toutes les étapes.

Nouvel essai. Avancer de \(2\) m, puis reculer de \(1\) m : quelle norme du déplacement et quelle distance parcourue ?

Correction. Le retour retire \(1\) m aux \(2\) m d’avance : la position finale reste à \(2-1=1\) m du départ, dans le sens de l’aller. La distance parcourue est \(2+1=3\) m.

Retour. Reprendre le trajet \(5\) m puis \(3\) m : dessiner seulement les trois positions \(A,B,C\) ; comparer la longueur de \([AC]\) à la somme \(AB+BC\). Les deux questions demandent deux objets différents.

Sur une même ligne, un point avance de \(6\) m puis recule de \(9\) m. Décrire son vecteur déplacement par le sens et la norme, puis calculer la distance parcourue. Une autre personne part du même point et arrive au même endroit en ligne droite : a-t-elle le même vecteur déplacement ?

Aide. Décomposer le retour en « revenir au départ » puis « poursuivre ».

Correction. \(9=6+3\) : après un retour de \(6\) m, le mobile est au départ ; les \(3\) m restants le placent en sens contraire à l’avance initiale. Norme du déplacement : \(3\) m ; sens : celui du retour. Distance parcourue : \(6+9=15\) m. L’autre personne a le même départ et la même arrivée : elle a donc le même vecteur déplacement, mais son trajet direct mesure seulement \(3\) m.

Pour vérifier ta réponse. Aucune norme négative ; deux distances clairement nommées ; l’égalité des vecteurs ne doit pas être confondue avec une égalité des trajets.

• \(A\) est un point ; \([AB]\) est un segment ; \((AB)\), si \(A\ne B\), est une droite.

• \(AB\) est une distance, donc un nombre positif ou nul ; \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur, représenté par la flèche allant de \(A\) à \(B\).

• Pour un vecteur non nul, contrôler direction, sens et norme. Déplacer son représentant sans changer ces caractéristiques ne change pas le vecteur.

• \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) ; le vecteur nul a la norme \(0\), sans direction ni sens. Il est représenté en n’importe quel point par un départ et une arrivée confondus.

• Une translation de vecteur \(\vec{u}\) envoie chaque point \(P\) vers l’unique \(Q\) tel que \(\overrightarrow{PQ}=\vec{u}\). Pour construire \(Q\), tracer la parallèle utile, choisir le sens et reporter la longueur. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), prendre \(Q=P\).

Une figure ou une mesure peut suggérer une relation ; la preuve s’appuie sur des données, des définitions et des résultats établis. Une égalité de distances n’est pas une égalité vectorielle.

Pour tous points \(A,B,C\), Chasles donne

La somme est commutative et associative ; \(\vec{0}\) est neutre. Soustraire un vecteur consiste à ajouter son opposé : \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\). Ainsi, pour des vecteurs de même origine, Pour construire \(\vec{u}+\vec{v}\), on peut transporter le second à l’arrivée du premier. Avec deux représentants de même origine et de directions différentes, la diagonale du parallélogramme construit sur les deux flèches représente la somme. Si un vecteur est nul ou si les directions sont les mêmes, la construction bout à bout reste valable ; ne forcer aucun parallélogramme non aplati.

Pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k>0\), \(k\vec{u}\) conserve le sens et multiplie la norme par \(k\) ; pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k<0\), il renverse le sens et multiplie la norme par \(-k>0\). Si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), le produit est nul. Les lois sont

On peut ajouter le même vecteur aux deux membres d’une égalité. Pour isoler \(\vec{x}\) dans \(a\vec{x}=\vec{b}\) avec \(a\ne0\), multiplier les deux membres par le réel \(1/a\) : \((1/a)(a\vec{x})=((1/a)a)\vec{x}=1\vec{x}=\vec{x}\). On ne divise jamais par un vecteur. Aucune condition \(\vec{x}\ne\vec{0}\) n’est requise : seul le coefficient \(a\) doit être non nul.

Même point. \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\) équivaut à \(M=N\) : à origine fixée, l’arrivée d’un déplacement est unique.

Milieu. Les trois formulations suivantes sont équivalentes : \(I\) milieu de \([AB]\) ; \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) ; \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\). Avec une origine quelconque \(O\), on a aussi

Si \(A=B\), le milieu est ce point et les identités restent vraies. Si \(A\ne B\), \(IA=IB\) ne suffit pas sans l’alignement, alors que l’égalité vectorielle correcte contient les informations de direction et de sens.

Parallélogramme. Pour un quadrilatère non aplati \(ABCD\) dont les sommets sont distincts et dans cet ordre, les propriétés suivantes sont équivalentes : être un parallélogramme ; vérifier \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ; avoir des diagonales \([AC]\) et \([BD]\) de même milieu. On a également \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Ne renverser qu’un côté transforme une égalité en une opposition.

Les indices orientent un choix, sans décider mécaniquement à ta place. Après le premier geste, écris pourquoi chaque ligne est permise.

1. On donne deux flèches parallèles de même longueur, mais de sens contraires. Représentent-elles le même vecteur ? Que se passe-t-il si la longueur commune est nulle ?

2. \(ABCD\) est un parallélogramme non aplati. Parmi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), lesquelles sont vraies ? Justifier sans mesurer.

3. Pour quatre points quelconques \(A,B,C,D\), simplifier \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}\). L’ordre d’écriture oblige-t-il à conserver ce même ordre dans le calcul ?

4. Les flèches \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\vec{v}\) ont des directions différentes. Construire une flèche représentant \(\vec{u}+\vec{v}\), puis une flèche représentant \(\vec{u}-\vec{v}\). Indiquer les origines de tes réponses.

5. Un vecteur \(\vec{u}\) a pour norme \(6\) cm. Décrire \(-\tfrac32\vec{u}\) et \(0\vec{u}\) : direction, sens lorsque cela a un sens, et norme.

6. Un mobile avance de \(4\) m puis revient de \(4\) m sur la même ligne. Un autre ne bouge pas. Comparer les deux vecteurs déplacement et les deux distances parcourues. Peut-on en déduire les durées ?

Indices progressifs. A1 : le cas nul n’a pas de sens. A2 : lire l’ordre des lettres. A3 : chercher des étapes qui se raccordent. A4 : distinguer somme et différence ; la soustraction change une flèche. A5 : le signe règle le sens, pas une longueur négative. A6 : comparer départ et arrivée avant d’additionner les longueurs.

A1. Pour une longueur positive, les vecteurs ne sont pas égaux : leurs sens sont contraires. Si la longueur vaut \(0\), ce sont deux représentants du vecteur nul, donc ils sont égaux ; on ne peut plus parler de leurs sens contraires. Il faut alors corriger la description initiale, pas attribuer un sens au vecteur nul.

A2. Les égalités \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) sont vraies : les côtés opposés d’un parallélogramme, orientés dans le même sens, représentent les mêmes déplacements. En revanche, \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}\). Comme les sommets sont distincts, \(\overrightarrow{AB}\ne\vec{0}\) ; il n’est pas égal à son opposé. Donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) est fausse.

A3. La commutativité permet de rapprocher les termes utiles :

Chaque réduction utilise un raccord de Chasles ou deux opposés. Les points peuvent être confondus : Chasles reste valable. L’ordre du trajet initial et l’ordre algébrique des termes ne sont pas des contraintes identiques.

A4. Pour la somme, transporter \(\vec{v}\) depuis \(A\) : construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OB}\). Alors \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\vec{u}+\vec{v}\). On peut construire le parallélogramme \(OAMB\) ; la diagonale orientée \(OM\) convient. Les directions étant différentes, le parallélogramme n’est pas aplati.

Pour la différence, une réponse immédiate est la flèche de \(B\) vers \(A\) :

Son origine est \(B\), non \(O\). Si l’on exige une origine \(O\), transporter ensuite \(\overrightarrow{BA}\) à partir de \(O\) : la représentation change, pas le vecteur.

A5. Le vecteur \(\vec{u}\) est non nul car sa norme est \(6\) cm. Pour \(-\tfrac32\vec{u}\), la direction est la même et le sens est contraire, puisque \(-\tfrac32<0\). La norme vaut

\(0\vec{u}=\vec{0}\), de norme \(0\) ; aucune direction ni aucun sens ne lui sont attribués. L’expression « longueur \(-9\) cm » serait une confusion entre le signe du coefficient et la norme.

A6. Le premier mobile revient au départ : son vecteur déplacement est nul, comme celui de la personne immobile. Les distances parcourues sont en revanche \(4+4=8\) m et \(0\) m. Les durées ne sont pas données ; le vecteur seul ne les détermine pas.

Pour vérifier ta réponse. Une réponse correcte distingue objets et cas nuls ; A3 contient des raccords justifiés ; A4 nomme départ et arrivée de chaque flèche ; A6 sépare déplacement, trajet et durée. Si seule une lettre ou un résultat est donné, complète la justification avant de conclure que tu sais refaire.

1. Réduire \(\displaystyle -\frac32(2\vec{u}-4\vec{v})+\frac13(3\vec{u}+6\vec{v})\) sans oublier aucun produit. Indiquer un contrôle simple.

2. Résoudre, pour le vecteur inconnu \(\vec{x}\), l’égalité \(\displaystyle \frac23\vec{x}+\vec{u}=\frac16\vec{x}+2\vec{v}\). Vérifier la solution dans les deux membres.

3. Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\). On construit \(M\) tel que \(\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\). Que peut-on dire de \(M\) et \(I\) ? Justifier.

4. Une personne affirme : « Pour tous points \(A,B,C\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\) par Chasles. » Trouver un contre-exemple sans coordonnées, puis proposer une égalité correcte.

5. Les points \(A,B,C,D\) sont quelconques. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([CD]\). Déterminer \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\). Les points peuvent-ils être confondus ?

Indices après recherche. B1 : deux produits issus de chaque parenthèse. B2 : soustraire d’abord \(\tfrac16\vec{x}\) aux deux membres ; mettre les fractions au même dénominateur. B3 : traduire le milieu avec l’origine \(A\). B4 : on peut choisir une configuration avec un milieu ; une figure chiffrée n’est pas obligatoire. B5 : introduire \(J\) dans le chemin de \(I\) à \(C\), et \(I\) dans celui de \(J\) à \(B\).

On multiplie chaque terme de chaque parenthèse par son coefficient extérieur :

Les coefficients se calculent séparément, en gardant les signes : Ainsi l’expression vaut Contrôle simple. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), l’expression initiale devient comme l’expression réduite \(-2\vec{0}+8\vec{v}=8\vec{v}\). Ce test peut détecter une erreur de signe, mais la preuve de l’identité pour tous les vecteurs est le développement complet, pas cet unique test.

On soustrait \(\tfrac16\vec{x}\) aux deux membres, puis on soustrait \(\vec{u}\) aux deux membres :

Le coefficient se simplifie avec le dénominateur commun \(6\) : On obtient \(\tfrac12\vec{x}=2\vec{v}-\vec{u}\). Le nombre \(\tfrac12\) est non nul ; son inverse est \(2\), car \(2\times\tfrac12=\tfrac22=1\). On multiplie donc les deux membres par \(2\) : Ainsi \(\boxed{\vec{x}=4\vec{v}-2\vec{u}}\). Aucune hypothèse \(\vec{x}\ne\vec{0}\) n’est nécessaire.

Vérification dans l’égalité initiale. Pour ce vecteur, le membre de gauche vaut

Ici \(1=\tfrac{1\times3}{1\times3}=\tfrac33\), donc \(-\tfrac43+1=\tfrac{-4+3}{3}=-\tfrac13\). Le membre de droite vaut On a simplifié \(\tfrac46=\tfrac{2\times2}{3\times2}=\tfrac23\) et \(\tfrac26=\tfrac{1\times2}{3\times2}=\tfrac13\) ; puis \(2=\tfrac{2\times3}{1\times3}=\tfrac63\), donc \(\tfrac23+2=\tfrac{2+6}{3}=\tfrac83\). Les deux membres sont égaux. Les opérations étant réversibles, la solution est unique.

Puisque \(I\) est le milieu de \([BC]\), les vecteurs \(\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{IC}\) sont opposés. Chasles donne

Alors la donnée définissant \(M\) devient Les deux vecteurs ont le même départ \(A\) ; l’unicité de l’arrivée impose \(M=I\). La factorisation par \(\tfrac12\) ne divise pas par un vecteur : c’est la distributivité à l’envers.

Choisissons deux points distincts \(B,C\) et prenons \(A\) comme milieu de \([BC]\). Alors \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont opposés, d’où \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\). Mais \(\overrightarrow{BC}\ne\vec{0}\), puisque \(B\ne C\). L’égalité proposée est donc fausse pour cette configuration : cela suffit à réfuter l’affirmation « pour tous points ».

L’erreur de Chasles est le raccord : dans \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), l’arrivée du premier est \(B\) alors que le départ du second est \(A\). Deux égalités correctes sont

On peut donc corriger l’expression initiale en \(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\), pas en invoquant Chasles sur deux flèches qui ne se raccordent pas.

Le milieu \(I\) donne \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\) ; le milieu \(J\) donne \(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\vec{0}\). Il manque \(\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{JC}\) dans la somme initiale : les deux détours suggérés vont précisément les faire apparaître.

Les deux premiers groupes s’annulent par les milieux ; le troisième réunit deux opposés. Les identités restent vraies si certains points coïncident : Chasles et les caractérisations du milieu utilisées incluent les cas nuls. Aucun quadrilatère non aplati n’était requis.

Ne compte pas seulement les résultats justes : repère la première ligne qui n’est pas justifiée. Voici des retours possibles, avec un geste immédiatement refaisable.

• Confusion distance/vecteur : compare \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) pour \(A\ne B\). Les distances sont égales, les sens contraires. Reprends ensuite A1 ou A6 ; pour développer l’explication, retour à Déplacements et vecteurs.

• Mauvais raccord : écris \(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}\) avec les points de ton exercice, puis retente A3 ou B4 ; retour à Additionner.

• Signe extérieur perdu : écris \(-(\vec{u}-\vec{v})=(-1)\vec{u}+(-1)(-1)\vec{v}=-\vec{u}+\vec{v}\), puis retente B1 ; retour à Opposés et différence.

• Coefficient mal simplifié : refaire \(\tfrac23-\tfrac16=\tfrac{2\times2}{3\times2}-\tfrac16=\tfrac{4-1}{6}=\tfrac12\), puis la multiplication par \(2\) aux deux membres de B2 ; retour à Calculer et résoudre.

• Conclusion géométrique absente : nomme la caractérisation exacte et ses conditions. Dans B3, le dernier argument est l’origine commune \(A\) ; retour à Placer un point et exploiter un milieu.

Ces orientations ne diagnostiquent pas ton niveau à partir d’un résultat isolé. Si plusieurs lignes bloquent, travaille une difficulté à la fois et explique le premier blocage à une personne qui peut t’aider.

À une prochaine séance, avant de relire, effectue ces trois tâches :

1. Construire un représentant de \(\vec{u}-\vec{v}\) depuis un point \(O\) et justifier la procédure.

2. Réduire \(-2(\vec{u}-3\vec{v})+\vec{u}\) en montrant les produits.

3. Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), expliquer pourquoi \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\) est faux lorsque \(A\ne B\), puis traiter \(A=B\).

Aides. Ajouter l’opposé pour 1 ; distribuer \(-2\) sur les deux termes pour 2 ; opposer les deux demi-flèches pour 3.

Corrections. 1. Construire \(P\) tel que \(\overrightarrow{OP}=\vec{u}\), puis \(M\) tel que \(\overrightarrow{PM}=-\vec{v}\). Chasles donne \(\overrightarrow{OM}=\vec{u}+(-\vec{v})=\vec{u}-\vec{v}\) ; une étape nulle garde le point précédent.

2. \(-2(\vec{u}-3\vec{v})+\vec{u}=(-2)\vec{u}+[(-2)\times(-3)]\vec{v}+\vec{u}=-2\vec{u}+6\vec{v}+\vec{u}=(-2+1)\vec{u}+6\vec{v}=-\vec{u}+6\vec{v}\).

3. Pour \(A\ne B\), les deux vecteurs de départ \(I\) ont des sens contraires et sont non nuls : ils sont opposés, non égaux. Si \(A=B\), le milieu est \(I=A=B\) ; les deux vecteurs sont nuls et donc égaux. La condition change la réponse.

Pour vérifier ta réponse. Un tracé contrôlé, des signes explicités et les deux cas du milieu. En cas d’erreur, reprendre l’aide correspondante ci-dessus, refaire une correction à voix haute puis revenir à la tâche sans la correction visible. La reprise est proposée ; elle ne présume pas que tu l’as déjà réussie.