Pour deux points distincts \(A\) et \(B\), le déplacement de \(A\) vers \(B\) est caractérisé par :

• sa direction, celle de la droite \((AB)\) ; des droites parallèles ont la même direction ;

• son sens, de \(A\) vers \(B\) ; une direction permet deux sens ;

• sa longueur, la distance \(AB\).

Un vecteur non nul est un tel déplacement. La flèche \(A\to B\) est un représentant du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) ; on peut aussi nommer ce vecteur \(\vec{u}\). \(A\) est l’origine du représentant et \(B\) son extrémité.

La norme d’un vecteur est sa longueur : \(\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=AB\). Ne pas confondre le point \(A\), le segment \([AB]\), la distance \(AB\) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Le déplacement qui ne change pas la position définit le vecteur nul \(\vec{0}\) : pour tout point \(A\), \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\). Sa norme vaut \(0\) ; il n’a ni direction ni sens.

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu’ils ont mêmes direction, sens et norme. Deux vecteurs nuls sont égaux ; aucun vecteur non nul n’est égal au vecteur nul.

L’origine du représentant n’est pas une caractéristique du vecteur : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) peuvent être égaux avec \(A\ne C\). Attention. Une même longueur ne suffit pas. Pour \(A\ne B\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont même direction et même norme, mais des sens contraires.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) et tout point \(M\), il existe un unique point \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\).

Démonstration. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), il faut et il suffit de prendre \(N=M\). Sinon, par \(M\), on trace l’unique droite de la direction de \(\vec{u}\), on choisit la demi-droite de son sens, puis on y reporte la longueur positive \(\left\lVert \vec{u}\right\rVert\). Un seul point convient. On utilise ici les constructions euclidiennes usuelles : parallèle par un point et report d’une longueur sur une demi-droite.

Conséquence. Pour une même origine \(O\),

Le sens direct vient de l’unicité ; le sens réciproque est immédiat puisque les deux flèches sont alors identiques.

La translation de vecteur \(\vec{u}\) associe à chaque point \(M\) l’unique point \(N\) vérifiant \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\). Elle applique le même déplacement à tous les points. La translation de vecteur nul laisse tous les points fixes.

Résultat admis dans cette unité ; le motif est précisé ci-dessous.

Une translation conserve les longueurs, l’alignement, le parallélisme, les angles et les milieux. L’image d’un segment orienté non réduit à un point garde aussi sa direction et son sens : elle représente le même vecteur. Un représentant nul reste nul.

Ces propriétés géométriques sont admises ici comme fondations, sans utiliser les règles de calcul vectoriel à venir. Leurs preuves par parallélogrammes et triangles égaux sont développées dans le cours long.

Quand ? Construire \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}\), ou l’image de \(M\) par la translation qui envoie \(A\) sur \(B\).

1. Tester le cas nul : si \(A=B\), prendre \(N=M\).

2. Sinon, tracer par \(M\) la parallèle à \((AB)\) ; si \(M\in(AB)\), garder cette droite.

3. Choisir le sens de \(A\) vers \(B\), puis reporter au compas la longueur \(AB\) depuis \(M\).

Le point obtenu est unique par la propriété précédente. Contrôle. Vérifier les trois caractéristiques : parallélisme, sens, longueur. Pour une figure entière, construire l’image de chaque sommet avec le même déplacement.

On donne \(AB=3{,}6\) cm et un point \(M\) hors de \((AB)\). Pour obtenir \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}\), tracer par \(M\) la parallèle à \((AB)\), choisir le sens \(A\to B\) et y reporter \(3{,}6\) cm. Ainsi \((MN)\parallel(AB)\), les parcours ont le même sens et \(MN=AB\) : la définition de l’égalité vectorielle justifie la réponse.

Tourner toute la feuille ne change pas cette égalité. Les noms des points sont plus fiables que « vers le haut » ou « vers la droite ».

Résultat admis dans cette unité ; le motif est précisé ci-dessous.

Un parallélogramme non aplati est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles. Les lettres \(ABCD\) se lisent dans l’ordre du contour ; ses diagonales sont \([AC]\) et \([BD]\).

Ses côtés opposés ont même longueur et ses diagonales ont le même milieu. Réciproquement, un quadrilatère non aplati dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.

Ces propriétés de géométrie du collège sont rappelées et admises dans ce noyau ; leurs démonstrations par triangles égaux sont laissées dans le cours long.

Soient \(A,B,C\) trois points non alignés et \(D\) un point. Alors

Premier sens. Dans le parallélogramme, les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens. Leurs vecteurs sont donc égaux.

Réciproque. Supposons \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Construisons \(D'\) à l’intersection de la parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(C\). Les directions sont différentes, donc cette intersection existe et est unique. Le quadrilatère \(ABCD'\) est un parallélogramme ; le premier sens donne \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D'C}\). Ainsi \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D'C}\). En retournant les deux flèches, \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD'}\) ; l’unicité du représentant d’origine \(C\) donne \(D=D'\).

Corollaire. Dans ce parallélogramme, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) également : même raisonnement sur l’autre paire de côtés opposés. Attention. Une égalité vectorielle avec des points alignés reste possible ; elle ne permet pas d’annoncer un parallélogramme non aplati.

Si \(A\) et \(B\) sont distincts, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) et \(C\notin(AB)\), commencer par orienter les deux flèches. Le contour du parallélogramme est \(A\to B\to D\to C\to A\) : c’est \(ABDC\), et non \(ABCD\).

En effet, \((CD)\) est parallèle à \((AB)\) et hors de cette droite ; \(D\) n’est donc pas sur \((AB)\). La caractérisation appliquée à \(A,B,D,C\) demande bien \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Contrôle. Suivre le contour sans croisement, puis identifier les diagonales \([AD]\) et \([BC]\).

Le milieu de \([AB]\) est le point \(I\) qui appartient à \([AB]\) et vérifie \(AI=IB\). Si \(A=B\), le segment est réduit à ce point et son milieu est \(A\).

Pour tous points \(A,B,I\),

Démonstration. Si \(I\) est le milieu et \(A\ne B\), les deux déplacements successifs \(A\to I\) et \(I\to B\) ont mêmes direction, sens et longueur. Si \(A=B\), ils sont tous deux nuls.

Réciproquement, si les deux vecteurs égaux sont nuls, \(A=I=B\). Sinon, leur direction commune impose l’alignement de \(A,I,B\) ; leur même sens impose que \(I\) soit entre \(A\) et \(B\), et leurs normes égales donnent \(AI=IB\). Les deux conditions de la définition sont satisfaites. Attention. \(IA=IB\) seul ne suffit pas : le sommet d’un triangle isocèle est à égale distance de sa base sans en être le milieu. Pour un milieu et \(A\ne B\), les flèches \(I\to A\) et \(I\to B\) sont de sens contraires : ne pas écrire \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\).

Les points \(A,B,C\) sont non alignés, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) et \(I\) est le milieu de \([AD]\). Montrons que \(I\) est le milieu de \([BC]\).

La méthode du bon contour donne le parallélogramme \(ABDC\). Ses diagonales \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu. Puisque \(I\) est celui de \([AD]\), il est donc aussi celui de \([BC]\). Contrôle. La conclusion se traduit par \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}\), et non par \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}\). La preuve repose sur les hypothèses et le théorème, pas sur une mesure du dessin.

Choisir un point \(O\), puis construire \(A\) et \(B\) tels que

La somme de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est \(\boxed{\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{OB}}\). Les représentants sont placés bout à bout ; la somme va du premier départ à la dernière arrivée.

Démonstration. Avec un autre départ \(O'\), construisons \(A'\) et \(B'\) avec les mêmes déplacements. La translation qui envoie \(O\) sur \(O'\) conserve les vecteurs des segments. L’image de \(A\) est donc \(A'\), par unicité du représentant d’origine \(O'\) ; l’image de \(B\) est de même \(B'\). Elle envoie \(\overrightarrow{OB}\) sur le vecteur égal \(\overrightarrow{O'B'}\).

La définition donne ainsi le même vecteur, y compris si certains points sont confondus ou alignés. Elle utilise la conservation géométrique par translation, non une règle d’addition supposée à l’avance.

Pour tous points \(A,B,C\), éventuellement alignés ou confondus,

Démonstration. Dans la définition de la somme, partir de \(A\), aller à \(B\), puis à \(C\) donne précisément le déplacement \(A\to C\).

Le point \(B\) est une étape commune. On ne « simplifie » pas des lettres comme des facteurs. En particulier, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) n’est pas une chaîne de Chasles déjà raccordée.

Données. \(\vec{u}=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{OB}\).

Premier geste. Si les deux vecteurs sont non nuls et de directions différentes, construire \(C\) à l’intersection de la parallèle à \((OB)\) passant par \(A\) et de la parallèle à \((OA)\) passant par \(B\). Le contour est \(OACB\).

Les côtés opposés donnent \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\), d’où

Contrôle. Choisir la diagonale issue de \(O\), non l’autre diagonale. Si les directions sont les mêmes, construire bout à bout ; si un vecteur est nul, la somme est l’autre. On ne force pas une intersection de droites confondues.

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\), \(\boxed{\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}}\).

Démonstration. Si un vecteur est nul, le déplacement total est l’autre. Pour deux directions différentes, les deux chemins du parallélogramme précédent arrivent au même point \(C\).

Pour une même direction, si les sens sont identiques, la somme des longueurs se parcourt dans ce sens, quel que soit l’ordre. Si les sens sont contraires, les longueurs se compensent : il reste leur différence dans le sens du plus long, ou le déplacement nul si elles sont égales. L’ordre ne change donc ni le sens restant ni la longueur.

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\),

Démonstration. Construire successivement \(O\to A\) avec \(\vec{u}\), \(A\to B\) avec \(\vec{v}\), puis \(B\to C\) avec \(\vec{w}\). Regrouper les deux premières étapes ou les deux dernières donne dans les deux cas \(O\to C\). Une étape nulle, placée avant ou après, ne change pas l’arrivée.

Quand ? Une somme contient des vecteurs nommés par des points.

1. Repérer un raccord arrivée-départ, par exemple \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{AB}\).

2. Utiliser la commutativité pour placer ces termes côte à côte et l’associativité pour les regrouper.

3. Appliquer Chasles, puis recommencer avec le nouveau vecteur.

Contrôle. Le vecteur final relie le départ de la chaîne reconstruite à son arrivée. Une chaîne fermée donne le vecteur nul, pas une distance parcourue nulle.

Pour des points quelconques \(A,B,C,D\),

Le chemin utile est \(C\to A\to B\to D\). Si \(D=C\), le résultat est \(\overrightarrow{CC}=\vec{0}\).

Un marcheur va de \(A\) à \(B\), à \(5\) m de \(A\), puis revient de \(3\) m vers \(A\) et s’arrête en \(C\). Les points sont alignés avec \(C\in[AB]\).

Le déplacement est \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) ; il a le sens \(A\to B\) et sa norme vaut \(AC=5-3=2\) m. La distance parcourue vaut au contraire \(5+3=8\) m. Une somme vectorielle n’est donc pas une somme de normes.

Pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\), son opposé \(-\vec{u}\) a même direction et même norme, mais le sens contraire. On pose \(-\vec{0}=\vec{0}\). Pour tous points \(A,B\), \(\boxed{-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}}\) : inverser l’ordre des points renverse le déplacement.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\), \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\) et \(-(-\vec{u})=\vec{u}\).

Démonstration. Si \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\), alors \(\vec{u}+(-\vec{u})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) par Chasles. Retourner la flèche deux fois restitue le vecteur initial, cas nul compris.

Lemme d’unicité. Si \(\vec{u}+\vec{w}=\vec{0}\), alors \(\vec{w}=-\vec{u}\) : en ajoutant \(-\vec{u}\) aux deux membres et en regroupant,

Soustraire \(\vec{v}\), c’est ajouter son opposé :

On soustrait des vecteurs, non leurs seules longueurs.

Premier geste. Remplacer \(\vec{u}-\vec{v}\) par \(\vec{u}+(-\vec{v})\). Depuis l’origine imposée \(O\), construire \(A\) tel que \(\overrightarrow{OA}=\vec{u}\), puis \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB}=-\vec{v}\). Alors \(\overrightarrow{OB}=\vec{u}-\vec{v}\).

Seul le second déplacement est renversé. Si un vecteur est nul, l’étape correspondante laisse le point en place. Contrôle. Ajouter ensuite \(\vec{v}\) : \((\vec{u}-\vec{v})+\vec{v}=\vec{u}\), car les deux déplacements opposés se compensent.

Pour tous points \(O,A,B\),

Démonstration. \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}\), par définition, commutativité, puis Chasles.

Le représentant obtenu va de l’extrémité du vecteur soustrait vers celle du premier. Son origine est \(B\), non nécessairement \(O\).

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Démonstration de l’équivalence. Si \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{0}\), ajouter \(\vec{v}\) aux deux membres donne \(\vec{u}=\vec{v}\). Réciproquement, \(\vec{u}=\vec{v}\) donne \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{v}-\vec{v}=\vec{0}\).

Démonstration de la seconde égalité. La somme de \(\vec{u}+\vec{v}\) et de \((-\vec{u})+(-\vec{v})\) vaut \((\vec{u}-\vec{u})+(\vec{v}-\vec{v})=\vec{0}\), par commutativité et associativité. Le lemme d’unicité de l’opposé conclut. Attention. Dans \(\vec{w}-(\vec{u}+\vec{v})\), le moins porte sur les deux termes : on obtient \(\vec{w}-\vec{u}-\vec{v}\).

Le trajet est \(S\to T\to R\to Q\), donc le départ et l’arrivée concordent avec \(\overrightarrow{SQ}\). Seule la flèche précédée du moins a été retournée.

Soient \(k\) un nombre réel et \(\vec{u}\) un vecteur.

• Si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), on définit \(k\vec{u}=\vec{0}\).

• Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k>0\), le vecteur \(k\vec{u}\) a même direction, même sens que \(\vec{u}\), et sa norme est \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert\).

• Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\) et \(k<0\), il a même direction, le sens contraire, et sa norme est \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\). Ici \(-k>0\).

Le réel \(k\) est un coefficient (ou scalaire) ; le résultat \(k\vec{u}\) est un vecteur. À origine fixée, ces caractéristiques définissent une unique extrémité. Attention. Le signe négatif n’est jamais une longueur négative ; il indique un changement de sens.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) et tout réel \(k\),

Démonstration. Le facteur \(1\) conserve les trois caractéristiques ; \(-1\) ne change que le sens. Les cas nuls sont donnés par définition. Deux déplacements identiques bout à bout doublent la longueur dans le même sens : leur somme vaut \(2\vec{u}\), également si \(\vec{u}=\vec{0}\).

On donne un point \(P\), un réel \(k\) et un vecteur \(\vec{u}\) ; on cherche le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{PM}=k\vec{u}\).

Premier geste. Tester les cas nuls : si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), prendre \(M=P\).

Sinon, tracer par \(P\) la droite de direction \(\vec{u}\) ; choisir le même sens si \(k>0\), le sens contraire si \(k<0\) ; reporter la longueur positive indiquée dans la définition. Contrôle. Vérifier séparément origine \(P\), direction, sens et longueur. Le signe seul ne dit pas si la longueur augmente ou diminue.

On donne \(AB=6\) cm et \(P\). Pour construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{PM}=-\tfrac23\overrightarrow{AB}\), choisir sur la parallèle à \((AB)\) passant par \(P\) le sens contraire à \(A\to B\), puis reporter

Le vecteur a le sens contraire et une norme plus petite que celle de \(\overrightarrow{AB}\). Une norme de \(-4\) cm n’aurait aucun sens.

Démonstration. Si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), le produit est nul par définition. Réciproquement, si \(k\ne0\) et \(\vec{u}\ne\vec{0}\), sa norme vaut \(k\left\lVert \vec{u}\right\rVert>0\) lorsque \(k>0\), ou \((-k)\left\lVert \vec{u}\right\rVert>0\) lorsque \(k<0\). Il n’est donc pas nul.

Pour tous réels \(a,b\) et tout vecteur \(\vec{u}\),

Démonstration. Si \(a=0\), \(b=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\), les deux membres sont nuls. Sinon, la direction ne change pas. Les quatre cas suivants donnent exactement le sens et la norme prescrits pour \((ab)\vec{u}\).

Dans chaque ligne, le facteur de longueur écrit est positif. L’égalité des trois caractéristiques conclut.

Pour tous réels \(a,b\) et tout vecteur \(\vec{u}\),

Démonstration. Pour \(\vec{u}=\vec{0}\), ou si l’un des coefficients est nul, l’égalité est immédiate. Sinon, les déplacements ont la même direction.

• Si \(a,b>0\), les longueurs s’ajoutent dans le sens de \(\vec{u}\) : \((a+b)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\).

• Si \(a,b<0\), elles s’ajoutent dans le sens contraire : \((-a-b)\left\lVert \vec{u}\right\rVert=(-(a+b))\left\lVert \vec{u}\right\rVert\).

• Si les signes sont contraires, prendre d’abord \(a>0\) et \(b<0\). Les longueurs \(a\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) et \((-b)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) se compensent. Si \(a+b>0\), il reste \((a+b)\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) dans le sens de \(\vec{u}\) ; si \(a+b<0\), il reste \((-(a+b))\left\lVert \vec{u}\right\rVert\) dans le sens contraire ; si \(a+b=0\), le déplacement est nul. Le cas \(a<0\), \(b>0\) suit par commutativité.

Dans tous les cas, c’est la définition de \((a+b)\vec{u}\).

Résultat admis dans cette unité ; le motif est précisé ci-dessous.

Pour tout réel \(k\) et tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Théorème admis dans ce cours central. Sa démonstration géométrique complète utilise Thalès, puis distingue les positions alignées, les changements de sens et les cas nuls ; elle est conservée dans le cours long.

La formule est valable même si les vecteurs n’ont pas la même direction. Un dessin ou un essai numérique peut l’illustrer, mais ne la démontre pas en général.

Pour tout réel \(k\) et tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\),

Démonstration. Par la loi des produits successifs, \(k(-\vec{v})=k((-1)\vec{v})=(-k)\vec{v}=-(k\vec{v})\). Appliquer le théorème précédent à \(\vec{u}+(-\vec{v})\) donne le résultat. Cette preuve dépend du théorème admis ; elle ne remplace pas sa démonstration.

Soit \(t\) un réel et \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\). Supposons d’abord \(A\ne B\). La définition du produit permet de lire la position de \(M\) :

Justification. Le signe fixe la demi-droite ; la comparaison de la longueur obtenue avec \(AB>0\) fixe la position. L’unicité du représentant traite \(t=0\) et \(t=1\).

Si \(A=B\), alors \(\overrightarrow{AB}=\vec{0}\) et la relation impose \(M=A\) pour tout \(t\) : aucune direction n’est à attribuer au vecteur nul.

Quand ? Une expression contient des parenthèses et plusieurs termes portant sur les mêmes vecteurs.

1. Distribuer chaque coefficient sur tous les termes de sa parenthèse.

2. Calculer les produits de nombres, avec leurs signes.

3. Regrouper les termes portant sur le même vecteur : \(a\vec{u}+b\vec{u}=(a+b)\vec{u}\).

Contrôle. Vérifier chaque produit avant le regroupement. Un signe moins placé devant une parenthèse agit sur tous ses termes.

Contrôle. Le facteur \(-2\) produit les deux termes \(-2\vec{u}\) et \(-8\vec{v}\). Dans le cas \(\vec{v}=\vec{0}\), les deux expressions donnent \(4\vec{u}\) ; c’est un contrôle partiel, non une preuve de la formule générale.

Quand ? Un même facteur réel, ou un même vecteur, apparaît dans plusieurs termes.

Repérer ce facteur, puis retrouver les termes restants. Par exemple,

Contrôle. Redévelopper \(3(2\vec{u}-3\vec{v})\) donne \(6\vec{u}-9\vec{v}\) : aucun signe ni facteur ne doit disparaître. On n’a pas divisé par un vecteur.

On peut ajouter le même vecteur aux deux membres d’une égalité. On peut multiplier les deux membres par un même réel ; cette opération est réversible si le réel est non nul.

Démonstration. Ajouter \(\vec{t}\) se défait en ajoutant \(-\vec{t}\), par associativité et annulation. Multiplier par \(c\ne0\) se défait en multipliant par le réel \(1/c\), car

Multiplier par \(0\) transforme toute égalité en \(\vec{0}=\vec{0}\) et fait perdre l’information initiale ; ce n’est pas une opération réversible.

Premier geste. Regrouper les termes inconnus pour arriver à \(a\vec{x}=\vec{b}\).

• Si \(a\ne0\), multiplier les deux membres par \(1/a\) : \(\vec{x}=(1/a)\vec{b}\). Il y a un unique vecteur solution.

• Si \(a=0\) et \(\vec{b}=\vec{0}\), tous les vecteurs conviennent.

• Si \(a=0\) et \(\vec{b}\ne\vec{0}\), aucun vecteur ne convient.

Contrôle. Remplacer l’inconnue dans l’égalité initiale. La non-nullité exigée porte sur le coefficient \(a\), jamais sur le vecteur inconnu.

Résolvons \(-3\vec{w}+2\vec{u}=5\vec{u}\), le vecteur \(\vec{u}\) étant donné.

donc \(\boxed{\vec{w}=-\vec{u}}\). Contrôle. \(-3(-\vec{u})+2\vec{u}=3\vec{u}+2\vec{u}=5\vec{u}\). La solution reste valable si \(\vec{u}=\vec{0}\) ; on obtient alors \(\vec{w}=\vec{0}\).

Si \(\vec{u}\ne\vec{0}\), alors \(a\vec{u}=b\vec{u}\) équivaut à \(a=b\).

Démonstration. Soustraire \(b\vec{u}\) donne \((a-b)\vec{u}=\vec{0}\). Le critère du produit nul et \(\vec{u}\ne\vec{0}\) imposent \(a-b=0\), donc \(a=b\). La réciproque est immédiate. Attention. Si \(\vec{u}=\vec{0}\), on a \(a\vec{u}=b\vec{u}\) pour tous \(a,b\) ; on ne peut plus conclure \(a=b\).

Quand ? Un point inconnu \(M\) apparaît dans plusieurs vecteurs, par exemple \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{BM}\).

1. Choisir une origine commune, ici \(A\).

2. Introduire cette origine par Chasles : \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\).

3. Remplacer dans l’égalité, regrouper les termes en \(\overrightarrow{AM}\) et isoler ce vecteur par une opération réversible.

4. Construire son représentant d’origine \(A\) ; l’unicité de l’extrémité assure celle du point solution.

Contrôle. Substituer la relation obtenue dans l’égalité initiale et comparer la position de \(M\) au signe et à la taille du coefficient.

Soient \(A\ne B\). Cherchons \(M\) tel que \(2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}\).

Par Chasles, \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\). D’où

On a multiplié par \(1/3\), réel défini puisque \(3\ne0\). Toutes les étapes sont réversibles. Il existe donc un unique \(M\), situé aux deux tiers de \([AB]\) à partir de \(A\).

Contrôle. \(\overrightarrow{BM}=(-1+\tfrac23)\overrightarrow{AB}=-\tfrac13\overrightarrow{AB}\). Ainsi \(2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=(\tfrac43-\tfrac13)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\). Si \(A=B\), le même calcul impose \(\overrightarrow{AM}=\vec{0}\), donc \(M=A\) ; on n’utilise alors aucune direction.

Données. \(A\ne B\). Pour construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\tfrac23\overrightarrow{AB}\) sans simple estimation à la règle graduée :

1. Tracer une demi-droite issue de \(A\), différente de \([AB)\) et non portée par \((AB)\).

2. Au compas, y reporter trois fois une même longueur \(d>0\) : \(AP_1=P_1P_2=P_2P_3=d\).

3. Relier \(P_3\) à \(B\), puis tracer par \(P_2\) la parallèle à \((P_3B)\) ; elle coupe \([AB]\) en \(M\).

Justification. Dans le triangle non aplati \(AP_3B\), le théorème de Thalès (résultat de collège rappelé ici) donne

Les dénominateurs sont non nuls : \(AB>0\) et \(3d>0\). Comme \(M\in[AB]\), le sens est celui de \(A\) vers \(B\), donc \(\overrightarrow{AM}=\tfrac23\overrightarrow{AB}\). Contrôle. Vérifier les trois reports égaux et le parallélisme ; une division visuelle approximative ne remplace pas la construction exacte.

Pour tous points \(A,B,I\) et une origine quelconque \(O\), les affirmations suivantes sont équivalentes :

Démonstration.

1. Si \(I\) est le milieu, \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), donc Chasles donne \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\), puis \(\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\). Réciproquement, cette dernière égalité donne

   \[\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AB} =\tfrac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI},\]
   donc \(I\) est le milieu par la caractérisation déjà démontrée.

2. Comme \(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}\), l’égalité \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\) équivaut à \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}\), donc au milieu.

3. Par deux décompositions de Chasles,

   \[\begin{aligned} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} &=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})\\ &=2\overrightarrow{OI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}). \end{aligned}\]
   Cette somme vaut \(2\overrightarrow{OI}\) si et seulement si \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\), en soustrayant le même vecteur \(2\overrightarrow{OI}\) aux deux membres.

4. Multiplier par \(1/2\) transforme \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}\) en la dernière formule ; multiplier par \(2\) restitue la précédente.

Ces preuves incluent \(A=B\) et n’imposent aucune position particulière à \(O\). Attention. La demi-somme porte sur des vecteurs. On n’écrit pas \(I=(A+B)/2\) : l’addition de points n’a pas été définie.

Quand ? Les données portent sur des déplacements, un milieu ou un parallélogramme.

1. Traduire la conclusion : points confondus \(\Rightarrow\) vecteurs de même origine égaux ; milieu \(\Rightarrow\) l’une des écritures du théorème ; parallélogramme \(\Rightarrow\) égalité de côtés correctement orientés, sous les conditions de non-alignement.

2. Choisir les chemins de Chasles qui font apparaître les vecteurs donnés. Pour un milieu, choisir l’écriture utilisant les origines déjà présentes.

3. Substituer les données, réduire, puis revenir à la conclusion en citant la caractérisation et ses conditions.

Contrôle. Ne jamais remplacer une donnée par « cela se voit ». Une égalité de normes ne fournit pas à elle seule une égalité vectorielle.

Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\). Les points \(P,Q\) sont définis par

Chaque égalité détermine un point unique. Montrons que \(I\) est le milieu de \([PQ]\).

Choix. Toutes les données vectorielles partent de \(A\) : viser \(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AI}\). Le milieu donné de \([BC]\) fournit \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\).

La caractérisation du milieu, appliquée à \(P,Q,I\) avec l’origine \(A\), donne bien : \(I\) est le milieu de \([PQ]\). Contrôle. Les deux flèches partent de la même origine \(A\) ; le point \(I\) de la conclusion est bien celui des données. La figure illustre le résultat, mais le calcul le prouve.

Exemple de référence. Depuis \(O\), construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=\vec{u}-2\vec{v}\).

Premier geste. Réécrire \(\vec{u}-2\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})+(-\vec{v})\). Construire successivement

Chaque flèche part de l’arrivée précédente ; une étape nulle ne change pas de point. Chaque extrémité est unique et la construction se termine après trois étapes.

Justification. Chasles donne

Contrôle. Si \(\vec{u}=2\vec{v}\), l’arrivée doit être \(O\), car \(\overrightarrow{OM}=2\vec{v}-2\vec{v}=\vec{0}\). Ce cas particulier contrôle la construction, sans remplacer la preuve générale par Chasles.

• \(A\) : point ; \([AB]\) : segment ; \((AB)\) : droite si \(A\ne B\) ; \(AB\) : distance ; \(\overrightarrow{AB}\) : vecteur.

• Un vecteur non nul se caractérise par direction, sens, norme. L’origine de son représentant peut changer.

• \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\) : norme nulle, aucune direction ni aucun sens.

• Une translation de vecteur \(\vec{u}\) envoie \(M\) sur l’unique \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN}=\vec{u}\).

Une égalité de distances n’est pas une égalité vectorielle. Le dessin sert à comprendre et à contrôler ; les données et les résultats établis servent à démontrer.

La distributivité générale est admise dans ce noyau ; son corollaire sur une différence a été démontré à partir d’elle.

Pour \(\vec{u}\ne\vec{0}\), un coefficient positif conserve le sens, un coefficient négatif le renverse ; la norme reste positive. Un coefficient nul donne \(\vec{0}\).

Dans \(a\vec{x}=\vec{b}\), on peut multiplier par \(1/a\) seulement si \(a\ne0\). On ne divise pas par un vecteur et on n’impose pas \(\vec{x}\ne\vec{0}\).

Même point : \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}\) si et seulement si \(M=N\).

Milieu : pour tous points \(A,B,I\), et toute origine \(O\),

Les cas \(A=B\) restent inclus.

Parallélogramme : si \(A,B,C\) sont non alignés,

On a alors aussi \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) et les diagonales \([AC]\), \([BD]\) ont le même milieu. Lire le contour avant de nommer les diagonales.