Exercice écrit

Exercice 1 — Module et argument

Exercice

Pour tout point \(M\) du plan, l’affixe de \(M\) est notée \(z_M\). Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts de \(O\). Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier.

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  1. Proposition 1. Si \(\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt2-i\sqrt6}\), alors \(|z|=\frac12\) et \(\arg(z)=\dfrac{7\pi}{12}\ [2\pi]\).

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  2. Proposition 2. Si \(\displaystyle z=-2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\), alors \(|z|=2\) et \(\arg(z)=-\dfrac{3\pi}{4}\ [2\pi]\).

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  3. Proposition 3. Si \(A\) et \(B\) sont symétriques par rapport à \(O\), alors \(z_A=\overline{z_B}\).

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  4. Proposition 4. Si \(|z_A|=|z_B|=|z_C|\), alors \(ABC\) est un triangle équilatéral.

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  5. Proposition 5. Si \(\arg(z_A)=\pi+\arg(z_B)\ [2\pi]\), alors \(O\), \(A\) et \(B\) sont alignés.

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