Exercice écrit
Exercice 10 — Triangle équilatéral
Exercice
On rappelle qu’un triangle équilatéral \(ABC\) est direct si \(\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\bigr)=\dfrac\pi3\ [2\pi]\) et indirect si cet angle vaut \(-\dfrac\pi3\ [2\pi]\).
On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\), deux à deux distincts. On pose \(\displaystyle j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\). On veut démontrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(a+bj+cj^2=0\).
Signaler un problème dans l’énoncé
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterMontrer que \(1+j+j^2=0\).
Réponse
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
Explication
Soutenir 2kπ
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
En soutenant le projet à 9,99 € par mois, tu contribues au développement de Faire Les 2kπ et tu accèdes notamment aux explications détaillées.
Signaler un problème
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterMontrer que \(e^{i\pi/3}=-j^2\).
Réponse
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
Explication
Soutenir 2kπ
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
En soutenant le projet à 9,99 € par mois, tu contribues au développement de Faire Les 2kπ et tu accèdes notamment aux explications détaillées.
Signaler un problème
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecter
Montrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(\displaystyle\frac{c-a}{b-a}=-j^2\).
Réponse
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
Explication
Soutenir 2kπ
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
En soutenant le projet à 9,99 € par mois, tu contribues au développement de Faire Les 2kπ et tu accèdes notamment aux explications détaillées.
Signaler un problème
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterEn déduire que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(a+bj+cj^2=0\).
Réponse
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
Explication
Soutenir 2kπ
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
En soutenant le projet à 9,99 € par mois, tu contribues au développement de Faire Les 2kπ et tu accèdes notamment aux explications détaillées.
Signaler un problème
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterDémontrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral si, et seulement si, \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\).
Réponse
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
Explication
Soutenir 2kπ
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
En soutenant le projet à 9,99 € par mois, tu contribues au développement de Faire Les 2kπ et tu accèdes notamment aux explications détaillées.
Signaler un problème
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecter
Tout l’exercice
On rappelle qu’un triangle équilatéral \(ABC\) est direct si \(\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\bigr)=\dfrac\pi3\ [2\pi]\) et indirect si cet angle vaut \(-\dfrac\pi3\ [2\pi]\).
On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\), d’affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\), deux à deux distincts. On pose \(\displaystyle j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\). On veut démontrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(a+bj+cj^2=0\).
Montrer que \(1+j+j^2=0\).
Montrer que \(e^{i\pi/3}=-j^2\).
Montrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(\displaystyle\frac{c-a}{b-a}=-j^2\).
En déduire que \(ABC\) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, \(a+bj+cj^2=0\).
Démontrer que \(ABC\) est un triangle équilatéral si, et seulement si, \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\).
Si le lecteur ne s’affiche pas, ouvrir le PDF dans un nouvel onglet ou télécharger le PDF.
Toutes les réponses
Toutes les réponses
Connecte-toi ou crée un compte pour voir les réponses.
PDF des réponses verrouillé
Un compte est nécessaire pour consulter les réponses en ligne ; le PDF des réponses est réservé à 2kπ+.
Toutes les explications
Toutes les explications
Les explications approfondies sont accessibles aux soutiens 2kπ+.
Même dossier
Continuer dans ce dossier
17 exercices de « Nombres complexes — Exercices vers le supérieur », dans leur ordre pédagogique.
Exercice 10 / 17
-
Exercice 1 · Même dossier
Exercice
Exercice 1 — Module et argument
-
Exercice 2 · Même dossier
Exercice
Exercice 2 — Nombres complexes et géométrie (1)
-
Exercice 3 · Même dossier
Exercice
Exercice 3 — Nombres complexes et géométrie (2)
-
Exercice 4 · Même dossier
Exercice
Exercice 4 — Résolution d'équation
-
Exercice 5 · Même dossier
Exercice
Exercice 5 — Suite de nombres complexes
-
Exercice 6 · Même dossier
Exercice
Exercice 6 — Somme des racines n-ièmes de l'unité
-
Exercice 7 · Même dossier
Exercice
Exercice 7 — Produit des racines n-ièmes de l'unité
-
Exercice 8 · Même dossier
Exercice
Exercice 8 — Racines n-ièmes d'un nombre complexe
-
Exercice 9 · Même dossier
Exercice
Exercice 9 — Une fonction complexe
-
Vous êtes ici
Exercice 10 · Même dossier
Exercice
Exercice 10 — Triangle équilatéral
-
Exercice 11 · Même dossier
Exercice
Exercice 11 — Inégalité triangulaire (1)
-
Exercice 12 · Même dossier
Exercice
Exercice 12 — Inégalité triangulaire (2)
-
Exercice 13 · Même dossier
Exercice
Exercice 13 — Transformation du plan
-
Exercice 14 · Même dossier
Exercice
Exercice 14 — Exponentielle d'un nombre complexe
-
Exercice 15 · Même dossier
Exercice
Exercice 15 — Formule d'addition
-
Exercice 16 · Même dossier
Exercice
Exercice 16 — Construction d'un pentagone régulier
-
Exercice 17 · Même dossier
Exercice
Exercice 17 — Transformation de Fourier discrète