Exercice écrit
Exercice 11 — Inégalité triangulaire (1)
Exercice
Dans cet exercice, on veut démontrer que, pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), \[|z+z'|\leqslant|z|+|z'|.\]
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\[|z+z'|^2\leqslant (|z|+|z'|)^2.\]Réponse
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\[|z+z'|=|z|+|z'|\iff z\overline{z'}\in\mathbb R_+.\]Réponse
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\[|z+z'|=|z|+|z'|\]si, et seulement si, \(z=0\) ou il existe \(\lambda\in\mathbb R_+\) tel que \(z'=\lambda z\).
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Soit \(M\) le point d’affixe \(z\) et \(M'\) le point d’affixe \(z+z'\).
Interpréter la relation
\[|z+z'|\leqslant|z|+|z'|\]en termes de distances.
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\[|z+z'|=|z|+|z'|.\]Réponse
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Dans cet exercice, on veut démontrer que, pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), \[|z+z'|\leqslant|z|+|z'|.\]
En utilisant la relation \(|z|^2=z\overline z\), exprimer \(|z+z'|^2\) en fonction de \(|z|^2\), \(|z'|^2\) et \(2\operatorname{Re}(z\overline{z'})\).
Démontrer que, pour tout nombre complexe \(z''\), \(\operatorname{Re}(z'')\leqslant|z''|\) et déterminer dans quel cas il y a égalité.
En déduire que
\[|z+z'|^2\leqslant (|z|+|z'|)^2.\]En déduire que
\[|z+z'|\leqslant |z|+|z'|.\]Montrer que
\[|z+z'|=|z|+|z'|\iff z\overline{z'}\in\mathbb R_+.\]En déduire que
\[|z+z'|=|z|+|z'|\]si, et seulement si, \(z=0\) ou il existe \(\lambda\in\mathbb R_+\) tel que \(z'=\lambda z\).
Soit \(M\) le point d’affixe \(z\) et \(M'\) le point d’affixe \(z+z'\).
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\[|z+z'|\leqslant|z|+|z'|\]en termes de distances.
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\[|z+z'|=|z|+|z'|.\]
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