Exercice 7 — Calculer avec les nombres complexes (2)

On note \(j\) un nombre complexe, solution de l’équation \(1+z+z^2=0\). On peut affirmer que \[(j+j^2+j^3)^3\] est égal à :

1. \(0\)

2. \(1\)

3. \(j\)

4. \(j^2\)

On note \(\operatorname{Re}(z)\) la partie réelle et \(\operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire d’un nombre complexe \(z\). Si \(z_1\) et \(z_2\) désignent deux nombres complexes non nuls, alors \[\operatorname{Re}\bigl((z_1+iz_2)(1+i)\bigr)\] est égale à :

1. \(\operatorname{Re}(z_1-z_2)-\operatorname{Im}(z_1+z_2)\)

2. \(\operatorname{Re}(z_1)-\operatorname{Im}(z_2)\)

3. \(\operatorname{Re}(z_1-z_2)\)

4. \(\operatorname{Im}(z_1)-\operatorname{Re}(z_2)\)

Soit \(p\) un nombre réel et \((E)\) l’équation suivante : \[2pz^2+(1-p)z+2p=0.\] À quel ensemble doit appartenir \(p\) pour que \((E)\) ait deux racines complexes conjuguées distinctes ?

1. \(\left[-\dfrac13\,;\,\dfrac15\right]\)

2. \(\left]-\dfrac13\,;\,\dfrac15\right[\)

3. \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac13\right]\cup\left[\dfrac15\,;\,+\infty\right[\)

4. \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac13\right[\cup\left]\dfrac15\,;\,+\infty\right[\)