Exercice écrit

Exercice 11 — Résolution d'équation de degré 3

Exercice

Nombres complexes : point de vue algébrique et polynômes — Exercices vers le supérieur Nombres complexes : partie algébrique

Soit \(a\) un nombre réel strictement supérieur à \(1\). Soit \((E)\) et \((E')\) les équations d’inconnue complexe \(z\) : \[(E):\ z^2-4z+4a^2=0 \qquad\text{et}\qquad (E'):\ z^3-4z^2+4a^2z=0.\]

Justifier que l’équation \((E)\) admet deux racines complexes non réelles.
On note \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E)\). Donner les expressions de \(z_1\) et \(z_2\) en fonction de \(a\).
En déduire l’ensemble \(S'\) des solutions de l’équation \((E')\).

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