Exercice écrit
Exercice 13 — Un logo entre deux courbes
Exercice 13
Adapté du BAC S Antilles-Guyane, 19 juin 2018, exercice 3, partie A et B1
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Il le dessine à l’aide de deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1),\qquad g(x)=-\mathrm{e}^{-x}\cos x.\] On admet que \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Partie A — Étude de \(f\)
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Se connecterEn déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
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Déterminer le signe de \(f'(x)\).
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Partie B — Position relative
On note \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) les représentations graphiques de \(f\) et \(g\).
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Il le dessine à l’aide de deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1),\qquad g(x)=-\mathrm{e}^{-x}\cos x.\] On admet que \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
Partie A — Étude de \(f\)
Justifier que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-\mathrm{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant3\mathrm{e}^{-x}\).
En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Démontrer que \(f'(x)=\mathrm{e}^{-x}(2\cos x-1)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Sur \([-\pi;\pi]\) :
Déterminer le signe de \(f'(x)\).
En déduire les variations de \(f\).
Partie B — Position relative
On note \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) les représentations graphiques de \(f\) et \(g\).
Étudier la position relative de \(\mathcal C_f\) par rapport à \(\mathcal C_g\) sur \(\mathbb{R}\).
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