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Exercice 17 — Polygones d'aire fixée

Exercice 17

Dossier BAC — Fonctions cosinus et sinus Fonctions cosinus et sinus

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Adapté du BAC S Centres étrangers, 13 juin 2017, exercice 4

Pour tout entier $n\geqslant4$, on considère un polygone régulier $P_n$ de centre O et d’aire $1$. Il est constitué de $n$ triangles superposables à OA$_n$B$_n$, isocèle en O. On note $r_n=OA_n$.

Partie A — Un hexagone

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Justifier que OA$_6$B$_6$ est équilatéral et que son aire vaut $1/6$.
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Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur issue de B$_6$.
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En déduire que $r_6=\sqrt{\dfrac2{3\sqrt3}}$.
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Partie B — Cas général

Dans un repère orthonormé, A$_n$ se trouve sur l’axe horizontal positif. On note $\theta_n\in]0;\pi/2]$ la mesure de l’angle $\widehat{A_nOB_n}$.

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Exprimer la hauteur issue de B$_n$ en fonction de $r_n$ et $\theta_n$, puis établir que l’aire du triangle vaut $\dfrac{r_n^2}{2}\sin\theta_n$.
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Donner $\theta_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que $r_n=\sqrt{\frac2{n\sin(2\pi/n)}}.$
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Partie C — Étude de la suite

On considère $f(x)=x/\sin x$ sur $]0;\pi[$. Ainsi, $r_n=\sqrt{\frac1\pi f\left(\frac{2\pi}{n}\right)}.$ On admet que $f$ est strictement croissante sur $]0;\pi[$.

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Montrer que $(r_n)$ est décroissante. On pourra d’abord démontrer $0<\dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\pi$ pour $n\geqslant4$.
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En déduire que $(r_n)$ converge. On ne demande pas sa limite et on admet, pour la suite, $L=1/\sqrt\pi$.
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On traduit le programme officiel en Python :
```
from math import sqrt, sin, pi
def seuil():
    n = 4
    while sqrt(2/(n*sin(2*pi/n))) > 0.58:
        n = n + 1
    return n
```
Quelle valeur numérique renvoie cette fonction ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
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Adapté du BAC S Centres étrangers, 13 juin 2017, exercice 4

Partie A — Un hexagone

Justifier que OA$_6$B$_6$ est équilatéral et que son aire vaut $1/6$.
Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur issue de B$_6$.
En déduire que $r_6=\sqrt{\dfrac2{3\sqrt3}}$.

Partie B — Cas général

Dans un repère orthonormé, A$_n$ se trouve sur l’axe horizontal positif. On note $\theta_n\in]0;\pi/2]$ la mesure de l’angle $\widehat{A_nOB_n}$.

Exprimer la hauteur issue de B$_n$ en fonction de $r_n$ et $\theta_n$, puis établir que l’aire du triangle vaut $\dfrac{r_n^2}{2}\sin\theta_n$.
Donner $\theta_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que $r_n=\sqrt{\frac2{n\sin(2\pi/n)}}.$

Partie C — Étude de la suite

On considère $f(x)=x/\sin x$ sur $]0;\pi[$. Ainsi, $r_n=\sqrt{\frac1\pi f\left(\frac{2\pi}{n}\right)}.$ On admet que $f$ est strictement croissante sur $]0;\pi[$.

Montrer que $(r_n)$ est décroissante. On pourra d’abord démontrer $0<\dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\pi$ pour $n\geqslant4$.
En déduire que $(r_n)$ converge. On ne demande pas sa limite et on admet, pour la suite, $L=1/\sqrt\pi$.
On traduit le programme officiel en Python :
```
from math import sqrt, sin, pi
def seuil():
    n = 4
    while sqrt(2/(n*sin(2*pi/n))) > 0.58:
        n = n + 1
    return n
```
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