Exercice écrit
Exercice 01 — Le quotient sinus
Exercice 1
Adapté du BAC Asie, 9 juin 2026, sujet 1, exercice 4
On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;2\pi]\) par \[g(x)=x\cos x-\sin x.\]
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\(x\) \(0\) \(\pi\) \(2\pi\) \(g\) \(0\)\(-\pi\)\(2\pi\)Réponse
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On considère \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) pour \(x\in]0;\pi[\).
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Se connecterMontrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\), puis étudier le signe de \(f'\) et le sens de variation de \(f\) sur \(]0;\pi[\).
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Se connecterDéterminer la limite de \(f\) en \(0\). On pourra utiliser le taux d’accroissement de la fonction sinus en \(0\).
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Se connecterPour deux réels \(r,s\) tels que \(0<r<s<\pi\), montrer que \[\frac r s<\frac{\sin r}{\sin s}.\]
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On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;2\pi]\) par \[g(x)=x\cos x-\sin x.\]
Montrer que \(g'(x)=-x\sin x\).
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\(x\) \(0\) \(\pi\) \(2\pi\) \(g\) \(0\)\(-\pi\)\(2\pi\)Dans la suite, on se limite à \(]0;\pi[\). Déduire du tableau le signe de \(g\) sur cet intervalle.
On considère \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) pour \(x\in]0;\pi[\).
Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\), puis étudier le signe de \(f'\) et le sens de variation de \(f\) sur \(]0;\pi[\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(0\). On pourra utiliser le taux d’accroissement de la fonction sinus en \(0\).
Pour deux réels \(r,s\) tels que \(0<r<s<\pi\), montrer que \[\frac r s<\frac{\sin r}{\sin s}.\]
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