Exercice écrit
Exercice 14 — L'écart entre deux courbes
Exercice 14
Adapté du BAC S Polynésie, 9 septembre 2015, exercice 1, partie B, questions 1 à 4
On admet que, pour tout réel \(\theta\), \[\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\cos\left(\theta-\frac\pi4\right).\] Sur \([0;+\infty[\), on considère \[f(x)=\mathrm{e}^{-x}\cos x,\quad g(x)=\mathrm{e}^{-x},\quad h(x)=g(x)-f(x).\]
Les trois représentations graphiques sont données ci-dessous.
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Justifier que \(\mathcal C_g\) est située au-dessus de \(\mathcal C_f\) sur \([0;+\infty[\).
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Se connecterDémontrer que \(h'(x)=\mathrm{e}^{-x}[\sqrt2\cos(x-\pi/4)-1]\).
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Se connecterJustifier que \(\sqrt2\cos(x-\pi/4)-1\geqslant0\) sur \([0;\pi/2]\) et que cette expression est négative ou nulle sur \([\pi/2;2\pi]\).
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Adapté du BAC S Polynésie, 9 septembre 2015, exercice 1, partie B, questions 1 à 4
On admet que, pour tout réel \(\theta\), \[\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\cos\left(\theta-\frac\pi4\right).\] Sur \([0;+\infty[\), on considère \[f(x)=\mathrm{e}^{-x}\cos x,\quad g(x)=\mathrm{e}^{-x},\quad h(x)=g(x)-f(x).\]
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les limites de \(f\) et \(g\) en \(+\infty\) ;
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Justifier que \(\mathcal C_g\) est située au-dessus de \(\mathcal C_f\) sur \([0;+\infty[\).
Démontrer que \(y=0\) est une asymptote horizontale aux deux courbes.
Démontrer que \(h'(x)=\mathrm{e}^{-x}[\sqrt2\cos(x-\pi/4)-1]\).
Justifier que \(\sqrt2\cos(x-\pi/4)-1\geqslant0\) sur \([0;\pi/2]\) et que cette expression est négative ou nulle sur \([\pi/2;2\pi]\).
En déduire le tableau de variations de \(h\) sur \([0;2\pi]\).
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