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Exercice écrit

Exercice 16 — Transformer un essai

Exercice 16

Dossier BAC — Fonctions cosinus et sinus Fonctions cosinus et sinus

Adapté du BAC S Métropole–La Réunion, 20 juin 2016, exercice 4

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai marqué au point E, situé à l’extérieur de \([AB]\). Il tape le ballon depuis un point T qu’il choisit sur \([EM]\), perpendiculaire à \((AB)\), sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux A et B.

Figure pédagogique originale, conservée depuis les assets du paquet.

Le joueur cherche la position de T qui rend l’angle \(\widehat{ATB}\) le plus grand possible. On note \(x=ET\). On a \(EM=50\) m, \(EA=25\) m et \(AB=5,6\) m. On note \(\alpha,\beta,\gamma\) les mesures en radians de \(\widehat{ETA}\), \(\widehat{ETB}\) et \(\widehat{ATB}\).

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  1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB, exprimer \(\tan\alpha\) et \(\tan\beta\) en fonction de \(x\).

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  2. La fonction tangente est définie sur \(]0;\pi/2[\) par \(\tan x=\sin x/\cos x\). Montrer qu’elle est strictement croissante sur cet intervalle.

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  3. On admet que \(\gamma\in]0;\pi/2[\) et que \[\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\] pour les angles considérés. Montrer que \(\tan\gamma=\dfrac{5,6x}{x^2+765}\).

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  4. Montrer que maximiser \(\gamma\) revient à minimiser sur \(]0;50]\) la fonction \(f(x)=x+\dfrac{765}{x}\). Montrer qu’il existe une unique valeur de \(x\) pour laquelle l’angle est maximal. Déterminer cette valeur au mètre près et une mesure de l’angle à \(0,01\) radian près.

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