Exercice écrit
Exercice 20 — Une courbe entre deux exponentielles
Exercice 20
Adapté du BAC S Polynésie, juin 2003, problème, partie A, questions 1 à 5
On considère \(f(x)=\mathrm{e}^x\cos x\) sur \(\mathbb{R}\) et sa courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthogonal. Pour cette adaptation, on fournit la formule d’addition : \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\]
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Se connecterMontrer que \(-\mathrm{e}^x\leqslant f(x)\leqslant\mathrm{e}^x\) pour tout réel \(x\). En déduire que \(\mathcal C_f\) admet une asymptote au voisinage de \(-\infty\). La préciser.
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Se connecterCalculer \(f'\). Montrer que \(f\) est croissante sur \([-\pi/2;\pi/4]\) et décroissante sur \([\pi/4;\pi/2]\). Dresser le tableau de variations et indiquer les valeurs de \(f\) en \(-\pi/2\), \(\pi/4\) et \(\pi/2\).
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Adapté du BAC S Polynésie, juin 2003, problème, partie A, questions 1 à 5
On considère \(f(x)=\mathrm{e}^x\cos x\) sur \(\mathbb{R}\) et sa courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthogonal. Pour cette adaptation, on fournit la formule d’addition : \[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\]
Montrer que \(-\mathrm{e}^x\leqslant f(x)\leqslant\mathrm{e}^x\) pour tout réel \(x\). En déduire que \(\mathcal C_f\) admet une asymptote au voisinage de \(-\infty\). La préciser.
Déterminer les abscisses des points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), démontrer \[\cos x-\sin x=\sqrt2\cos(x+\pi/4).\]
Calculer \(f'\). Montrer que \(f\) est croissante sur \([-\pi/2;\pi/4]\) et décroissante sur \([\pi/4;\pi/2]\). Dresser le tableau de variations et indiquer les valeurs de \(f\) en \(-\pi/2\), \(\pi/4\) et \(\pi/2\).
Tracer \(\mathcal C_f\) sur \([-\pi/2;\pi/2]\) dans le repère fourni, qui reprend les graduations du support officiel.
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