Exercice 26 — Oscillations amorties et tangentes communes

Dans un repère orthogonal, on considère \(f(x)=e^{-x}\cos(4x)\) et \(g(x)=e^{-x}\), définies sur \([0\,;\,+\infty[\). On note \(\Gamma\) et \(\mathcal C\) leurs courbes respectives. La courbe \(\Gamma\) est fournie ci-dessous. Pour les calculs de dérivées, on pourra utiliser les identités \[\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1,\qquad \sin(4x)=4\sin x\cos x(2\cos^2x-1).\]

1. 1. Montrer que \(-e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant e^{-x}\) pour \(x\geqslant0\).

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   2. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

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2. Déterminer les coordonnées des points communs à \(\Gamma\) et \(\mathcal C\).

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3. On définit \(u_n=f(n\pi/2)\) pour \(n\in\mathbb N\).

   1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique. Préciser sa raison.

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   2. En déduire son sens de variation et étudier sa convergence.

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4. 1. Montrer que \(f'(x)=-e^{-x}[\cos(4x)+4\sin(4x)]\) pour \(x\geqslant0\), en dérivant l’écriture polynomiale en \(\cos x\) donnée ci-dessus.

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   2. En déduire que \(\Gamma\) et \(\mathcal C\) ont même tangente en chacun de leurs points communs.

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5. Donner une valeur approchée à \(10^{-1}\) près par excès du coefficient directeur de la tangente \(\mathcal T\) à \(\Gamma\) au point d’abscisse \(\pi/2\). Compléter le graphique en y traçant \(\mathcal T\) et \(\mathcal C\).