Exercice écrit
Exercice 22 — Suite complexe : convergence et alignement
Terminale mathématiques expertes — Nombres complexes
Soit \((z_n)\) la suite de nombres complexes définie par \(z_0=1\) et, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[z_{n+1}=\frac13\,z_n+\frac23\,i.\] Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose \(u_n=z_n-i\). On note \(A_n\) le point d’affixe \(z_n\), \(B_n\) le point d’affixe \(u_n\) et \(C\) le point d’affixe \(i\).
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Se connecterPour tout entier naturel \(n\), calculer le module de \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Se connecterDémontrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}|z_n-i|=0\).
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Soit \(n\) un entier naturel. Déterminer un argument de \(u_n\).
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Se connecterDémontrer que, lorsque \(n\) décrit l’ensemble des entiers naturels, les points \(B_n\) sont alignés.
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Se connecterDémontrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_n\) appartient à la droite d’équation \(y=-x+1\).
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D’après Bac S 2018
Tout l’exercice
Soit \((z_n)\) la suite de nombres complexes définie par \(z_0=1\) et, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[z_{n+1}=\frac13\,z_n+\frac23\,i.\] Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose \(u_n=z_n-i\). On note \(A_n\) le point d’affixe \(z_n\), \(B_n\) le point d’affixe \(u_n\) et \(C\) le point d’affixe \(i\).
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\), pour tout entier naturel \(n\).
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=\left(\frac13\right)^n(1-i).\]
Pour tout entier naturel \(n\), calculer le module de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Démontrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}|z_n-i|=0\).
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Soit \(n\) un entier naturel. Déterminer un argument de \(u_n\).
Démontrer que, lorsque \(n\) décrit l’ensemble des entiers naturels, les points \(B_n\) sont alignés.
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_n\) appartient à la droite d’équation \(y=-x+1\).
D’après Bac S 2018
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