E3C G1SSMAT02629 — 2 (5 points)

Exercice 2 (5 points) À partir d’un premier segment de \(2\,\text{mm}\), on ajoute successivement un nouveau segment mesurant \(150\,\%\) de la longueur du précédent. Pour tout entier naturel \(n\geq 1\), on désigne par \(u_n\) la longueur, en mm, du \(n\)-ième segment. Ainsi \(u_1=2\) et \(u_2=3\).

1. Déterminer \(u_3\) et \(u_4\).

2. Pour tout entier naturel \(n\geq 1\), exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). En déduire la nature de la suite \((u_n)\).

3. Pour tout entier naturel \(n\geq 1\), exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

4. On cherche à déterminer à partir de combien de segments la longueur totale dépasse \(1\) mètre. On réalise pour cela un programme écrit en langage Python. Recopier et compléter sur la copie ce programme pour qu’il affiche le nombre attendu de segments.

   i = 1
   u = 2
   longueur = 2
   while longueur < 1000:
   i = ...
   u = ...
   longueur = ...
   print(i)

5. Ce programme affiche \(14\). Déterminer, par le calcul, la longueur de la spirale formée des \(14\) premiers segments. Arrondir le résultat au mm.