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Exercice 21 — Transformation z ↦ −1/z

Terminale mathématiques expertes — Nombres complexes

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Soit \(f\) la fonction qui, à tout point \(M\) distinct de \(O\) et d’affixe \(z\), associe le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que \(z'=-\dfrac1z\).

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On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \[z_A=-1+i\qquad\text{et}\qquad z_B=\frac12e^{i\pi/3}.\]
1. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point \(A'\), image de \(A\) par \(f\).
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2. Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point \(B'\), image de \(B\) par \(f\).
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3. Placer les points \(A\), \(B\), \(A'\) et \(B'\) dans un repère orthonormé \((O\,;\vec u,\vec v)\).
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Soient \(r\) un réel strictement positif et \(\theta\) un réel. On considère le nombre complexe \(z=re^{i\theta}\).
1. Montrer que \(z'=\dfrac1r\,e^{i(\pi-\theta)}\).
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2. Est-il vrai que si un point \(M\), distinct de \(O\), appartient au disque de centre \(O\) et de rayon \(1\), sans appartenir au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), alors son image \(M'\) par \(f\) est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
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Soit \(\Gamma\) le cercle de centre \(K\) d’affixe \(z_K=-\dfrac12\) et de rayon \(\dfrac12\).
1. Montrer qu’une équation cartésienne de \(\Gamma\) est \(x^2+x+y^2=0\).
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2. On pose \(z=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) deux réels non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de \(z'\) en fonction de \(x\) et \(y\).
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3. Soit \(M\) un point, distinct de \(O\), du cercle \(\Gamma\). Montrer que l’image \(M'\) de \(M\) par \(f\) appartient à la droite d’équation \(x=1\).
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Soit \(f\) la fonction qui, à tout point \(M\) distinct de \(O\) et d’affixe \(z\), associe le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que \(z'=-\dfrac1z\).

On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \[z_A=-1+i\qquad\text{et}\qquad z_B=\frac12e^{i\pi/3}.\]
1. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point \(A'\), image de \(A\) par \(f\).
2. Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point \(B'\), image de \(B\) par \(f\).
3. Placer les points \(A\), \(B\), \(A'\) et \(B'\) dans un repère orthonormé \((O\,;\vec u,\vec v)\).
Soient \(r\) un réel strictement positif et \(\theta\) un réel. On considère le nombre complexe \(z=re^{i\theta}\).
1. Montrer que \(z'=\dfrac1r\,e^{i(\pi-\theta)}\).
2. Est-il vrai que si un point \(M\), distinct de \(O\), appartient au disque de centre \(O\) et de rayon \(1\), sans appartenir au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), alors son image \(M'\) par \(f\) est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
Soit \(\Gamma\) le cercle de centre \(K\) d’affixe \(z_K=-\dfrac12\) et de rayon \(\dfrac12\).
1. Montrer qu’une équation cartésienne de \(\Gamma\) est \(x^2+x+y^2=0\).
2. On pose \(z=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) deux réels non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de \(z'\) en fonction de \(x\) et \(y\).
3. Soit \(M\) un point, distinct de \(O\), du cercle \(\Gamma\). Montrer que l’image \(M'\) de \(M\) par \(f\) appartient à la droite d’équation \(x=1\).

D’après Bac S 2019

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