Exercice écrit

Exercice 69 – Une fraction rationnelle qui devient géométrique

  • 1re spé maths
  • Suites numériques

Exercice

On définit

\[u_0=3,\qquad u_{n+1}=\frac{3u_n}{u_n+1}.\]

On admet que \(u_n>2\) et on pose

\[v_n=\frac{u_n-2}{u_n}.\]

a) Calculer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

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b) En déduire \(v_n\), puis montrer que

\[u_n=\frac{2\cdot3^{n+1}}{3^{n+1}-1}.\]
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c) Étudier les variations de \((u_n)\) et conjecturer sa limite.

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d) Déterminer le premier rang tel que \(u_n<2{,}05\).

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